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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 数系的扩充和复数的概念


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3.1.1

3.1.1
【学习要求】

数系的扩充和复数的概念

1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.
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2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些 基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条 件. 【学法指导】 可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性, 认识复数代数形式的结构,从本质上理解复数和有序数 对的对应关系.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.1.1

1.复数的有关概念
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(1)复数 ①定义:形如a+bi的数叫做复数,其中a,b∈______, R 虚数单位 实部 i叫做__________.a叫做复数的______,b叫做复数的

虚部 ______.
z=a+bi z ②表示方法:复数通常用字母____表示,即________.
(2)复数集

全体复数 ①定义:__________所构成的集合叫做复数集.
C ②表示:通常用大写字母____表示.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.1.1

2.复数的分类及包含关系 ?实数?b=0? ? ?纯虚数?a=0? ? (1)复数(a+bi,a,b∈R)? ?虚数?b≠0??非纯虚数?a≠0? ? ? ? (2)集合表示:

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3.复数相等的充要条件

a=c且b=d 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?__________.

研一研· 问题探究、课堂更高效

3.1.1

探究点一
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复数的概念

问题1 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么 怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢?
答 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根, 即i· i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数.

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3.1.1

问题2 如何理解虚数单位i?


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(1)i2=-1.

(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.
(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中 很多结论在复数集中不再成立. (4)若i2=-1,那么i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n=1.

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问题3 什么叫复数?怎样表示一个复数?
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形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,复数通常用字

母z表示,即z=a+bi,这一表示形式叫复数的代数形 式,其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.

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问题4 什么叫虚数?什么叫纯虚数?
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答 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b≠0时叫做虚数; 当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.

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例1

请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,

虚数还是纯虚数. 1 ①2+3i;②-3+ i;③ 2+i;④π;⑤- 3i;⑥0. 2
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解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数; 1 ②的实部为-3,虚部为2,是虚数; ③的实部为 2,虚部为1,是虚数; ④的实部为π,虚部为0,是实数; ⑤的实部为0,虚部为- 3,是纯虚数; ⑥的实部为0,虚部为0,是实数.

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小结 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚
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部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它 的符号叫做复数的虚部.

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跟踪训练1

符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请

举出例子;若不存在,请说明理由. (1)实部为- 2的虚数;
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(2)虚部为- 2的虚数; (3)虚部为- 2的纯虚数; (4)实部为- 2的纯虚数.
解 (1)存在且有无数个,如- 2+i等;

(2)存在且不唯一,如1- 2i等; (3)存在且唯一,即- 2i; (4)不存在,因为纯虚数的实部为0.

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m2+m-6 例2 当实数m为何值时,复数z= +(m2-2m)i为 m (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
?m2-2m=0 ? (1)当? ?m≠0 ?


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,即m=2时,复数z是实数;

?m2-2m≠0, ? (2)当? ?m≠0 ?

即m≠0且m≠2时,复数z是虚数; ?m2+m-6 ? =0 m (3)当? ?m2-2m≠0 ? ,

即m=-3时,复数z是纯虚数.

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小结 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚 部满足的条件,可列方程或不等式求参数.

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m?m+2? 跟踪训练2 实数m为何值时,复数z= +(m2+2m m-1 -3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解 (1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0, m?m+2? 本 且 有意义即m-1≠0,解得m=-3. m-1 课
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(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,

m?m+2? 且 有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3. m-1 m?m+2? (3)要使z是纯虚数,m需满足 =0, m-1 且m2+2m-3≠0, 解得m=0或m=-2.

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探究点二
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两个复数相等

问题1 两个复数能否比较大小?
答 如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大 小.

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问题2 两个复数相等的充要条件是什么?



复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,

b,c,d∈R).

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例3
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已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,
?2x-1=-y, ? 由复数相等的充要条件得? ?1=y-3. ?

求x与y.



3 ? ?x=- , 2 解得? ?y=4. ?

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小结 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然
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后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以 确定两个独立参数.

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x2-x-6 跟踪训练3 已知 =(x2-2x-3)i(x∈R),求x的值. x+1
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解 由复数相等的定义得
?x2-x-6 ? =0, x+1 ? ?x2-2x-3=0. ? 解得:x=3,

所以x=3为所求.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.1.1

1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实
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数a,b的值分别是 A. 2,1 C.± 2,5
解析
?a2=2 ? 令? ?-2+b=3 ?

( C ) B. 2,5 D.± 2,1
,得a=± 2,b=5.

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3.1.1

2.下列复数中,满足方程x2+2=0的是
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( C )

A.± 1 C.± 2i

B.± i D.± 2i

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3.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为 ( B ) A.1
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B.0 D.-1或1

C.-1

解析

?m?m+1?=0 ? 由题意知? 2 ?m -1≠0 ?



∴m=0.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

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4.下列几个命题: ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等; ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等; ③1-ai(a∈R)是一个复数;
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④虚数的平方不小于0; ⑤-1的平方根只有一个,即为-i; ⑥i是方程x4-1=0的一个根; ⑦ 2i是一个无理数. 其中正确命题的个数为 A.3个 C.5个 B.4个 D.6个 ( B )

解析 命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.1.1

1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到复 数z的不同情况;
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2.两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用 两个复数相等的条件进行判断.


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