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选修2-3第二章《随机变量及其分布》测试题卷及详解


选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》测试题卷
考试时间:100 分钟,满 分:150 分 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) 1.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红球放 回袋中,直到取到红球 为止.若抽取的次数为 ξ,则表示“放回 5 个红球”事件的是( A.ξ=4 C.ξ=6 2.已知随机变量 X 的分布列如下表: X P 则 m 的值为( 1 A.15 是下列哪个事件的概率( ) 1 B. 5 ) B.事件 A,B 至少有一个发生 D.事件 A,B 都不发生 ) D.n=7,p=0.45 2 C. 15 4 D.15 1 1 15 2 2 15 3 m 4
[来源:学科网]

)

B.ξ=5 D.ξ≤5

5 1 3

4 15

3.已知 A, B 是两个相互独立事件, P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,那么 1-P(A)P(B)

A.事件 A,B 同时发生 C.事件 A,B 至多有一个发生

4.设随机变量 X~B(n,p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,则 ( A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32

5. 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数, 事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( A. C. 1 8 2 5 ) B. D. 1 4 1 2 )

6.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,…,n,如果 P(X<4)=0.3,那么( A.n=3 C.n=10 B.n=4 D.n=9

2 3 7.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为 3 4 一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( 1 A. 2 B. 5 12 1 C. 4 ) 1 D. 6

2 3 8.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为 3 4 一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( 1 A. 2 5 B. 12 1 C. 4 ( ) 1 D. 6 )

9. 已知 ξ 的分布列如下表,若 η=2ξ+2,则 D(η)的值为 ξ P 1 A.- 3 5 B. 9 -1 1 2 0 1 3 1 1 6 10 C. 9 20 D. 9

10. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动, 教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学, 这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学. 若小组内同学甲猜对成语的概率 是 0.4,同学乙猜对成语的概率是 0.5,且规定猜对得 1 分,猜不对得 0 分,则这两个同学各 猜 1 次,得分之和 X(单位:分)的数学期望为( A.0.9 D.1.1 二、填空题(每小题 6 分, 共 24 分) 11.已知某次英语考试的成绩 X 服从正态分布 N(116,64),则 10000 名考生中成绩在 140 分以 上的人数为________. 12.若离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 9c2-c 1 3-8c ) B.0.8 C.1.2

则常数 c=________,P(X=1)=________. 13.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛, 则所选 3 人中女生人数不超过 1 人 的概率是________. 14.已知 X 的分布列为: X P -1 1 2 0 1 6 1 a

设 Y=2X+1,则 Y 的数学期望 E(Y)的值是________. 三、解答题(共计 76 分). 15.(本题满分 12 分)某人投弹命中目标的概率 p=0.8. (1)求投弹一次,命中次数 X 的均值和方差; ( 2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差. 16. (本题满分 12 分)某同学参加 3 门课程的考试 .假设该同学第一门课程取得优秀成绩的

4 概率为 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p、q(p>q),且不同课程是否取得 5 优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为: ξ P 0 6 125 1 a 2 b 3 24 125

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p,q 的值. 17. (本题满分 12 分)某市有 210 名学生参加数学竞赛预赛,随机抽阅 60 名学生答卷,成 绩如下: 成绩(分) 人数 1 0 2
[来源:学+

3 0

4 6

5 15

6 21

7 12

8

[来源:学_

9 3

10 0

科+网]

科_网]

0

3

(1)求样本的数学平均成绩和标准差(精确到 0.01). (2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程. 18. (本题满分 12 分)如图所示,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位: 吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水 量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列、数学期望与方差. 19.(本题满分 14 分)某师范大学地理学院决定从 n 位优秀毕业生(包括 x 位女学生,3 位男 学生)中选派 2 位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派 的机会是相同的. 3 (1)若选派的 2 位学生中恰有 1 位女学生的概率为 ,试求出 n 与 x 的值; 5 (2)记 X 为选派的 2 位学生中女学生的人数,写出 X 的分布列. 20.(本题满分 14 分)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二 等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的 利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值);

(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果此 时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》测试题卷答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) 1. 【答案】 C 【解析】 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故 ξ=6. 2. 【答案】 B 【解析】利用概率之和等于 1,得 m= 3. 【答案】 C 【解析】因为 A,B 相互独立,故 P(A)P(B)=P(AB),而事件 AB 的对立事件即为事件 A,B 至多有一个发生. 4. 【答案】 A
?n=8, ? 【解析】∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6,D(X)=np(1-p)=1.28,∴? ? ?p=0.2.

3 1 = . 15 5

5. 【答案】B C3+C2 4 C2 1 【解析】P(A)= 2 = ,P(AB)= 2= . C5 10 C5 10
1 P ( AB ) 1 10 由条件概率计算公式,得 P(B|A)= = ? . 4 4 P ( A) 10
2 2 2

6. 【答案】 C 【解析】 1 ∵P(X=k)= (k=1,2,3,…,n),∴0.3=P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) n

3 = .∴n=10. n 7.【答案】 B 2 1 1 【解析】 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件 A,因事件相互独立.所以 P(A)= × + 3 4 3 3 5 ×= . 4 12 8.【答案】 B 【解析】设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品;事件 B:乙实习生加工的零件为一等品, 2 3 则 P(A)= ,P(B)= ,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为: P(A B )+P( A B)= 3 4

2 3 2 3 5 P(A)P( B )+P( A )P(B)= × (1- )+(1- )× = . 3 4 3 4 12 9【答案】 D 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 1 1 1 1 【解析】E(ξ)=-1× +0× +1× =- ,D(ξ)=? ?-1+3? ×2+?0+3? ×3+?1+3? ×6=9, 2 3 6 3 ∴D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)= 10. 【答案】A 【解析】 依题意得, 得分之和 X 的可能取值分别是 0,1,2, 且 P(X=0)=(1-0.4)(1-0.5)=0.3, P(X=1)=0.4× (1-0.5)+(1-0.4)× 0.5=0.5, P(X=2)=0.4× 0.5=0.2,因此,这两个 同学各猜 1 次,得分之和 X(单位:分)的数学期望为 0× 0.3+1× 0.5+2× 0.2=0.9. 二、填空题(每小题 6 分, 共 24 分) 11. 【答案】13 【解析】由已知得 μ=116,σ=8. 1 ∴P(92<X≤140)=P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,∴P(X>140)= (1-0.9974)=0.0013,∴成 2 绩在 140 分以上的人数为 13. 12.【答案】 1 1 3 3
2

20 ,故选 D. 9

9c -c+3-8c=1 ? ? 2 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知:?0≤9c -c≤1 ? ?0≤3-8c≤1 1 1 P(X=1)=3-8× = . 3 3 4 13. 【答案】 5 【解析】设所选女生人数为 X,则 X 服从超几何分布, 其中 N=6,M=2,n=3,则
3 2 C0 C1 4 2C4 2C4 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= 3 + 3 = . C6 C6 5

1 ,解得 c = . 3

14. 【答案】

2 3

1 1 1 1 1 1 1 【解析】 由分布列的性质,a=1- - = ,∴E(X)=-1× +0× +1× =- ,因此 E(Y) 2 6 3 2 6 3 6 2 =E(2X+1)=2E(X)+1= . 3 三、解答题(共计 76 分).

15. 【解析】(1) 投弹一次,X 服从两点分布;随机变量 X 的分布列为: X P 0 0.2 1 0.8 6分

因为 X 服从两点分布,故 E(X)=p=0.8,D(X)=p(1-p)=0.8× 0.2=0.16. (2)由题意知,命中次数 Y 服从二项分布,即 Y~B(10,0.8), ∴E(Y)=np=10× 0.8=8,D(Y)=np(1-p)=10× 0.8× 0.2=1.6. 12 分

4 16.【解析】事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.由题意知 P(A1)= ,P(A2) 5 =p,P(A3)=q. 2分

(1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的, 所以该生至少 有 1 门课程取得优秀成绩的概率是: 6 119 1-P(ξ=0)=1- = . 125 125 6分

1 6 (2)由题意知:P(ξ=0)=P( A 1·A 2·A 3)= (1-p)(1-q)= , 5 125 4 24 6 3 P(ξ = 3)= P(A1A2A3) = pq = . 整理得 pq = , p + q= 1.由 p > q,可得 p = , q = 5 125 25 5 2 . 5 12 分 1 (4× 6+5× 15+6× 21+7× 12+8× 3+9× 3)=6,同样 60

17. 【解析】(1)样本的数学平均成绩 x =

可求出方差 s2=1.5,所以标准差约为 1.22. 故样本的数学平均成绩为 6 分,标 准差约为 1.22. 6分

(2)由(1)可 估计出 μ=6,σ=1.22.因为总体服从正态分布,所以正态曲线的近似方程为
-( 1 φ(x)= e 1.22 2π x - 6) 3
2

.

12 分

18. 【解析】(1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得 x=0.12. 4分 (2)由题意知,X~B(3,0.1). 5分

1 因此 P(X = 0) = C 0 0.93 = 0.729 , P(X = 1) = C3 × 0.1× 0.92 = 0.243 , P(X = 2) = C 2 0.12× 0.9 = 3× 3×

0.027,P(X=3)=C3 0.13=0.001. 3× 故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.729

8分

1 0.243

2 0.027

3 0.001

X 的数学期望为 E(X)=3× 0.1=0.3. X 的方差为 D(X)=3× 0.1× (1-0.1)=0.27. 12 分

19. 【解析】(1)从 n 位优秀毕业学生中选派 2 位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为

2 Cn =

Cn-3C3 n(n ? 1) 1 , 2 位学生中恰有 1 位女学生的结果数为 C1 3.依题意可得 = n-3C3=(n-3)× C2 n 2 4分

1

1

( n ? 3) ? 3 3 = ,化简得 n2-11n+30=0,解得 n1=5,n2=6. 5 n( n ? 1) 2

?n=5 ?n=6 ? ? 当 n=5 时,x=5-3=2;当 n=6 时,x=6-3=3,故所求的值为? 或? . ? ? ?x=2 ?x=3

7


2 ? ?n=5 C0 2C3 (2)当? 时,X 可能的取值为 0,1,2.X=0 表示只选派 2 位男生,这时 P(X=0)= 2 C5 ?x=2 ?

3 = , 10
1 C1 3 2C3 X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)= 2 = , C5 5

C2 1 2 X=2 表示选派 2 位女生,这时 P(X=2)= 2= . C5 10 X 的分布列为: X P 11 分
0 ? ?n=6 C2 3C3 当? 时,X 可能的取值为 0,1,2.X= 0 表示只选派 2 位男生,这时 P(X=0)= 2 = C6 ?x=3 ?

0 3 10 3 5

1
[来源:学科网

2 1 10

ZXXK]

1 , 5
1 C1 3 3C3 X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)= 2 = , C6 5 0 C2 3C3 1 X=2 表示选派 2 位女生,这时 P(X=2)= 2 = . C6 5

X 的分布列为: X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

14 分 20.【解析】(1)由于 1 件产品的利润为 ξ,则 ξ 的所有可能取值为 6,2,1,-2,由题意知: P(ξ=6)= 126 50 20 4 =0.63,P(ξ=2)= =0.25,P(ξ=1)= =0.1,P(ξ=-2)= =0.02. 200 200 200 200

6分 故 ξ 的分布列为 ξ P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

8分 (2)1 件 产 品 的 平 均 利 润 为 E(ξ) = 6× 0.63 + 2× 0.25 + 1× 0.1 + ( - 2)× 0.02 = 4.34( 万 元). 10 分

(3)设技术革新后三等品率为 x,则此时 1 件产品的平均利润为 E(ξ)=6× 0.7+2× (1-0.7-x -0.01)+1× x+(-2)× 0.01=4.76-x. 由 E(ξ)≥4.73,得 4.76-x≥4.73,解得 x≤0.03,所以三等品率最多为 3%. 14 分


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