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【新课标】2013高二下学期期末考试(数学理)


2013 学年度下学期

高二数学理期末测试
[新课标版]
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ (选择题 卷

共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.复数

(1 ? 3i) 2 3i ? 1

的值是





A.2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 2 ( )

2. f ' ( x0 ) =0 是可导函数 f (x) 在点 x ? x0 处取极值的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知(

20 2 x ? ) 的展开式中,不含 x 的项是 ,那么正数 p 的值是 2 27 p x
B.2 C.3 D.4





A. 1

5.如果 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 的方差为 3,那么 2 (a1 ? 3) .2 (a2 ? 3) . 2 (a3 ? 3) .2 (a4 ? 3) .2 (a5 ? 3) .2 (a6 ? 3) 的方差是( A.0 B.3
2006



C.6 天是 C.星期四

D.12 ( D.星期日 ( D ) )

6.今天为星期四,则今天后的第 2 A.星期一 7.函数 y ?

B.星期二

2( x ? a) 的图象如右图所示,则 ( x ? a)2 ? b A. a ? (0,1), b ? (0,1) B. a ? (0,1), b ? (1, ??)
C. a ? (?1,0), b ? (1, ??) D. a ? (?1,0), b ? (0,1)

8.有一排 7 只发光二级管,每只二级管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 只二级管点 亮,但相邻的两只二级管不能同时点亮,根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜 色来表示不同的信息,则这排二级管能表示的信息种数共有 ( )

A.10

B.48

C.60

D.80 ( )

9.设随机变量 ? ~ N (0,1) ,记 ?( x) ? P(? ? x) ,则 P(?1 ? ? ? 1) 等于 A. 2?(1) ? 1 C. B. 2?(?1) ? 1 D. ?(1) ? ?(?1)

? (1) ? ? (?1) 2

10.把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里,如果数学必须比 历史先上,则不同的排法有 ( ) A.48 B.24 C.60 D.120 11. 口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球, 放回的每次模取一个球, 有 定义数列 ?an ?:

?? 1 第n次摸取红球 如果 Sn 为数列 ?an ?的前 n 项之和,那么 S7 ? 3 的概率为 an ? ? ? 1 第n次摸取白球
( A. )

224 729

B.

28 729

C.

35 2387

D.

28 75

12.有 A.B.C.D.E.F6 个集装箱,准备用甲.乙.丙三辆卡车运送,每台卡车一次运两 个.若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其它任何限制;要把这 6 个集装箱 分配给这 3 台卡车运送,则不同的分配方案的种数为 ( ) A.168 B.84 C.56 D.42

第Ⅱ (非选择题满分 90) 卷
二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. (2x+

x )4 的展开式中 x3 的系数是

14.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为__________. 15.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第 n 个等式为_________.
3 2 2 16.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? k ? 1(k ? 0) ,若 f (x) 的单调减区间是 (0,4) ,

则在曲线 y ? f (x) 的切线中,斜率最小的切线方程是_________________.

三、解答题 17. (12 分)求证: (1) a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ;

(2) 6 + 7 >2 2 + 5 .

18. (12 分)已知(
3

4 1 3 n + x2) 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x

(1)含 x 的项; (2)系数最大的项.

19. (本小题满分 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选 修甲的概率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ? 表示 该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (Ⅰ )记“函数 f ( x) ? x ? ?x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率;
2

(Ⅱ )求 ? 的分布列和数学期望.

20. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x
3

(1)求函数 f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值 (2)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程

3 2

21. (12分)函数数列 ? f n (x)? 满足: f1 ( x) ? (1)求 f 2 ( x), f 3 ( x) ;

x 1? x2

( x ? 0) , f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)]

(2)猜想 f n (x) 的表达式,并证明你的结论.

3 22. (14 分)已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? )( x ? a) . 2
(I)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围; (II)若 f ?(?1) ? 0 , (ⅰ 求函数 f ( x) 的单调区间; ) (ⅱ 证明对任意的 x1 , x2 ? (?1, 0) ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? )

5 恒成立 16

参考答案
一、选择题 ABDCD A D DAC BD 二、填空题 13.24 14.

2 3
16. 12 x ? y ? 8 ? 0

15. 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? (?1) n?1 ? n 2 ? (?1) n?1 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 三、解答题 17.证明: (1) ∵a 2 ? b 2 ? 2ab , a2 ? 3 ? 2 3a , b2 ? 3 ? 2 3b 将此三式相加得:2 (a2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b , ∴a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) . ;

(2)要证原不等式成立,只需证( 6 + 7 ) >(2 2 + 5 ) , 即证 2 42 ? 2 40 .∵ 上式显然成立, ∴ 原不等式成立.
n 2 18.解: (1)由题设知 Cn ?2 ? 45,即Cn ? 45,?n ? 10.
1 2 11r ?30 12

2

2

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10?r ? ( x 3 )r ? C10 x 4 ? C10 x3 ? 210 x3 .

?

,令

11r ? 30 6 ? 3, 得r ? 6, 含x3的项为T7 ? C10 x3 12
55?30 12 25 12

(2)系数最大的项为中间项,即 T6 ? C x
5 10

? 252x .

19.解:设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z

? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08, ? x ? 0.4 ? ? 解得? y ? 0.6 依题意得 ? xy(1 ? z ) ? 0.12, ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88, ? z ? 0.5 ? ?
(I)若函数 f ( x) ? x ? ?x 为 R 上的偶函数,则 ? =0
2

当 ? =0 时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.

? P( A) ? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z )
=0.4× 0.5× 0.6+(1-0.4) (1-0.5) (1-0.6)=0.24 ∴ 事件 A 的概率为 0.24 (II)依题意知 ? =0.2 则 ? 的分布列为

?
P

0 0.24

2 0.76

∴? 的数学期望为 E ? =0× 0.24+2× 0.76=1.52 20.解: (1) f '( x) ? 3( x ? 1)( x ? 1) 当 x ?[?3, ?1) 或 x ? (1, ] 时, f '( x ) ? 0 ,?[?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x ) 的单调增区间 当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 ,?[?1,1] 为函数 f ( x ) 的单调减区间 又 f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f ( ) ? ? 当 x ? ?1 时, f ( x)max ? 2
3 3 (2)设切点为 Q( x? , x? ? 3x? ) ,则所求切线方程为 y ? ( x? ? 3x? ) ? 3( x?2 ?1)( x ? x? ) 3 由于切线过点 P(2, ?6) ,??6 ? ( x? ? 3x? ) ? 3( x?2 ?1)(2 ? x? ) ,解得 x? ? 0 或 x? ? 3

3 2

3 2

3 2

9 ,? 当 x ? ?3 时, f ( x)min ? ?18 8

所以切线方程为 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 21.解: (1) f 2 ( x) ? f 1 ( f 1 ( x)) ?

f1 ( x) 1 ? f ( x)
2 1

?

x 1 ? 2x 2 x 1 ? 3x 2

f 3 ( x) ? f 1 ( f 2 ( x)) ?

f 2 ( x) 1 ? f 22 ( x)

?

(2)猜想: f n ( x) ?

x 1 ? nx
2

(n ? N ? )

下面用数学归纳法证明: ① n=1 时, f1 ( x) ? 当

x 1? x2
?

,已知,显然成立

② 假设当 n ? K ( K ? N ) 时 ,猜想成立,即 f k ( x) ? 则当 n ? K ? 1 时,

x 1 ? kx 2

x f k ?1 ( x) ? f1 ( f k ( x)) ? f k ( x) 1 ? f k2 ( x) ? x 1 ? kx 2 ? x 1 ? (k ? 1) x 2 1? ( )2 1 ? kx 2

即对 n ? K ? 1 时,猜想也成立. 由① 可得 f n ( x) ? ②

x 1 ? nx
2

(n ? N ? ) 成立

3 3 3 22.解: 解:(Ⅰ ∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? . ) 2 2 2 ?( x) ? 0 有实数解. ∵ 函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f 3 ∴D ? 4a2 ? 4 ? 3 ? ? 0 ,…………………4 分 2
因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? (Ⅱ (ⅰ f ?(?1) ? 0 ,∴3 ? 2a ? ) )∵ ∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? ∴a2 ?

9 . 2

3 2 3 2 )?( , ? ?) . 2 2

3 9 ? 0 ,即 a ? . 2 4 3 1 ? 3( x ? )( x ? 1) . 2 2 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 2

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 2

1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? 1] , [? , ? ?) ; 2 1 单调减区间为 [?1, ? ] . 2 (ⅱ )由(ⅰ )的结论可知, 1 25 1 49 f ( x) 在 [?1, ? ] 上的最大值为 f (?1) ? ,最小值为 f (? ) ? ; 2 8 2 16

1 27 1 49 f ( x) 在 [? , 0] 上的的最大值为 f (0) ? ,最小值为 f (? ) ? . 8 2 16 2
∴ f ( x) 在 [?1, 0] 上的的最大值为 f (0) ?

27 1 49 ,最小值为 f (? ) ? . 8 2 16 27 49 5 ? ? . 8 16 16

因此,任意的 x1 , x2 ? (?1, 0) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?


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