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4.2.1直线与圆的位置关系学案


4.2.1 直线与圆的位置关系
一、学习目标 1、理解直线与圆的位置关系;会利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 2、会判断直线和圆的位置关系 3、通过例题的分析讨论,提高学生的综合运用知识的能力 二、学习重点、难点: 重点:根据给定直线和园的方程,判断直线与圆的位置关系 难点:判断方法的选择 三、学习过程 (一)知识链接: 1、 直线方程的一般式为:__ 2、 圆的标准方程为:______ 3、 圆的一般方程为:_____ _________________ ________圆心为:___ ____半径为:__ _____

_________圆心为:_____ ___半径为:_________

4、 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为:_______ _________ (二)自学引导: 1、直线与圆的位置关系有几种?在初中如何定义?

2、判断直线与圆的位置关系的方法 (1) 、解方程组 ?

?3 x ? y ? 6 ? 0
2 2 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0

由此方程组的解的个数你能确定直线与圆的位置关系吗?你能在未解出方程组的情况下 确定解的个数吗?该如何确定?

(2) 、你能由圆心到直线距离 d 与圆的半径 r 之间的大小比较判断直线和圆的位置关系 吗?该如何确定?如何计算圆心到直线的距离 d?

3、归纳结论 位置关系 相离 相切 相交

d 与 r 的关系 解的个数



直线与圆的位置关系的判断方法主要步骤: 几何方法: (1)把直线方程化为__________式,利用圆的方程求出圆的_____ _和_______ (2)利用______________公式求出圆心到直线的距离 (3)作判断:当__________时,直线与圆相离;当_________时,直线与圆相切; 当__________时,直线与圆相交 代数方法: (1)把____方程和_____方程联立成方程组 (2)利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程 (3)求出其__________的值 (4)比较 ? 与 0 的大小:当 ? >0 时,直线与圆____;当 ? =0 时,直线与圆____;当 ? <0 时,直线与圆______ (三)应用实践: 例 1、用两种方法判断直线 x+2y+9=0 与圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 的位置关系,若相交,
2 2

求出相交弦长。

变式:已知过点 M(-3,-3)的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截的弦长为 4 5 ,求
2 2

直线的方程。

例 2、求实数 m,使直线 x-my+3=0 和圆 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 分别满足下列条件:
2 2

(1)相交; (2)相切; (3)相离。

例 3、自点 A(-1,4)作图(x-2) +(y-3) =1 的切线 L,求切线 L 的方程。

2

2

例 4、已知圆 C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5, 直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0, (1) 求证:对 m ? R, 直线 l 圆 C 总有两个不同的交点; (2) 若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若 | AB |? 17 求 l 的倾斜角

四、学习小结 判断直线与圆的位置关系有两种方法 ① 判断直线与圆的方程组是否有解 a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切?有两组,则相交 ;b. 无解,则直线与圆相离 ② 如果直线的方程为 Ax ? By ? C ? 0 , 圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 则圆心到直线 的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

⑴如果 d ? r 时,直线与圆相离; ⑵如果 d ? r 时,直线与圆相切; ⑶如果 d ? r 时,直线与圆相交; 五、练习巩固: 1、直线 5x+12y-8=0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 8 的位置关系是____________________
2 2

2、若直线 ax+by=1 与圆 x ? y ? 1 相交,则点 P(a,b)与圆的位置关系是___________
2 2

3、圆 x ? y ? 2 上的点到直线 3x+4y+25=0 的距离的最小值为_______________
2 2

4、方程|x|-1=

表示的曲线是_________________

5、过点 P(4,0)引圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的两条切线,则切线方程为: 过两切点的直线方程为: 6、圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x+y+1=0 的距离为
2 2

的点共有

个。

7、若点 P(3,1)是圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 8、以 N(1,3)为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程是___________ 9、圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 在点 p (1, 3 ) 处的切线方程是____________ 10、求直线 x+2y-3=0 被圆 ( x ? 2) 2 ?( y ? 1) 2 ? 4 截得的弦 AB 的长。

11、从圆 ( x ? 1) 2 ?( y ? 1) 2 ? 1 外一点 P(2,3) ,向圆引切线,求切线长。

12、已知圆 C 的圆心在直线 L:2x-y+1=0 上,与直线 L 2 :3x-4y+9=0 相切且截直线 L: 4x-3y+3=0 所得弦长为 2,求圆 C 的方程。

13、已知圆满足:○截 y 轴所得的弦长为 2;○被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3 :1; 1 2 3 ○圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为

5 , 求该圆的方程。 5

14、已知直线 L:y=x+b 曲线 C: y=

有两个公共点,求 b 的取值范围。


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