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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:5.5 数列的综合应用(共55张PPT)


第五节 数列的综合应用

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三年14考

高考指数:★★★

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能
用相关知识解决相应的问题.

1.数列的综合应用常以递推关系为背景,考查等差数列、等比 数列的通项公式和前n项和公式. 2.常在与其他知识的交汇处命题,考查学生的转化与化归能力, 如与函数、不等式、解析几何等交汇考查. 3.各种题型都有可能出现.

数列的综合应用 (1)解答数列应用题的步骤 ①审题——仔细阅读材料,认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转

化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.
③求解——求出该问题的数学解.

④还原——将所求结果还原到原实际问题中.

具体解题步骤用框图表示如下:
审题,找出题意

实际应用题
中的数学关系

构建数列模型
分析 转化

翻译

作答

数学问题的解

运用数列知识求解 与数列有关的

数学问题

(2)数列应用题常见模型
①等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型 是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. ②等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时, 该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. ③递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递推关系,还

是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.

【即时应用】(1)思考:银行储蓄单利公式及复利公式是什么 模型? 提示:单利公式——设本金为a元,每期利率为r,存期为n, 则本利和an=a(1+rn),属于等差模型.复利公式——设本金为 a元,每期利率为r,存期为n,则本利和an=a(1+r)n,属于等 比模型.

(2)小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用 零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期

1年(存12次),到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月
利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为

_______元.

【解析】由题意知,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+
…+2ar+ar= 答案:78ar
12(12 + 1) ar =78ar. 2

(3)有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒 的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样 的病毒(假设病毒不繁殖),则细菌将病毒全部杀死至少需要 _______秒钟.

【解析】设需要n秒钟,
则1+21+22+…+2n-1≥100,
1- 2n ∴ ? 100, ∴n≥7. 1- 2

答案:7

等差、等比数列的综合应用

【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项
(1)要重视审题,善于联系.将等差、等比数列与函数、不等式、

方程、应用性问题等联系起来.
(2)对于等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比 数列的通项、前n项和,以及等差、等比数列项之间的关系, 往往用到转化与化归的思想方法.

【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 { n } 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n
b an

项和Tn.
【解题指南】(1)列出关于a1,d的方程组,求出a1,d. (2)先求
bn , 再利用(1)中所得an求bn,最后用错位相减法求Tn. an

ì 3创2 5 4 ? ? 3a1 + d + 5a1 + d = 50 【规范解答】(1)依题意得 ? , 2 2 í ? ? (a + 3d) 2 = a (a + 12d) ? 1 1 1 ì a1 = 3 ? ? ? 解得 í . ?d= 2 ? ?

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1.

(2)

bn =3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1, an

Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1 3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n 则-2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n
3(1- 3n- 1 ) = 3 + 2? 1- 3 \ Tn = n 3n. (2n + 1) ? 3n - 2n 3n ,

【反思·感悟】1.解答本题(1)时,列出关于a1,d的方程组是 关键,求解本题(2)时,求出bn是关键.

2.利用等比数列前n项和公式时,注意公比q的取值,同时对等
差、等比数列的性质,要熟悉它们的推导过程,合理使用性质, 可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求 解.

数列的实际应用
【方法点睛】1.数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题 的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象 为数学中的等差、等比数列问题,然后求解.

2.处理分期付款问题时的注意事项
(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注:

最后一次付款没有利息).
(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之 和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有 掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系. 【提醒】解数列应用题要明确问题属于哪一种类型,即明确是 等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是求Sn,特别是要 弄清项数.

【例2】从经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,

并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后
每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业估计收入400万 元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业
1 收入每年会比上年增加 . 4 1 5

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收 入为bn万元,写出表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

【解题指南】解决本题(1)的关键是正确理解题意,根据题意

找出第一年投入的金额和旅游业的收入,第二年投入的金额和
旅游业的收入,从而根据等比数列写出表达式,在解决第(2) 问时,首先列出不等关系式,然后利用换元法求解.

【规范解答】(1)第一年投入为800万元, 第二年投入为800(1- 1 )万元,
1 n-1 第n年的投入为800(1) 万元, 5 5

所以,n年内的总投入为:an=800+800(1- 1 )+…+800(1- 1 )n-1
5 5

=4 000-4 000 ( ) n .

4 5

第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400(1+ )
万元.
1 n-1 ) 万元,所以,n年内的旅游业总 4 1 1 5 收入为bn=400+400(1+ )+…+400(1+ )n-1=1 600 ( )n -1 600. 4 4 4

1 4

第n年旅游业收入为400(1+

(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入,由此bn-an>0,
4 5 5 4 5 化简得2 ( )n +5 ( 4 )n -7>0, 4 5 设 ( 4 )n =x,代入上式,得5x2-7x+2>0, 5 解此不等式,得 x < 2 或x>1(舍去), 5 4 2 即 ( )n < , 由此得n≥5. 5 5

即1 600 ( )n -1 600-4 000+4 000 ( )n >0,

故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.

【反思·感悟】1.解答本题时,理解题意是关键,其中an,bn是 等比数列的前n项和,而非第n项. 2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手,推出若干项, 逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系,从而建 立等比数列模型.

3.与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念,

在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题;在人口数量的
研究中也要研究增长率问题;金融问题更多涉及复利的问题, 这都与等比数列有关.

数列与函数、不等式的综合应用 【方法点睛】1.数列与函数的综合问题 一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题. 2.数列与不等式的综合问题 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题,多与数列求和相联系,

最后利用函数的单调性求解.
(2)以数列为背景的不等式证明问题,多与数列求和有关,有

时利用放缩法证明.

1 2x + 3 数列{a }满足 a = 1,a ), 【例3】已知函数 f (x) = , 1 n+ 1 = f ( n an 3x

n∈N*,
(1)求数列{an}的通项公式; (2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn; (3)令bn=
1 a n - 1a n

(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若 Sn< m - 2 003
2

对一切n∈N*成立,求最小正整数m. 【解题指南】(1)可由已知得an+1与an的关系,从而判断出数列 的类型.

(2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)、(3)问.

【规范解答】(1) ? a n+ 1 = f (
2 3

2 + 3a n 1 2 )= = an + , an 3 3

∴{an}是以 为公差的等差数列. 又 a1 = 1, \ a n =
2 1 n+ . 3 3

(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
4 (a 2 + a 4 + 鬃 a 2n ) ? 3 5 4n 1 n( + + ) 4 3 3 3 4 =- ? = - (2n 2 + 3n). 3 2 9 =-

b (3)当n≥2时,n =

1 a n- 1a n

=

1 2 1 2 1 ( n - )( n + ) 3 3 3 3

=

9 1 1 ( ), 2 2n - 1 2n + 1

又 b1 = 3 = 9 (1- 1 ),
2 3

∴Sn=b1+b2+…+bn
9 1 1 1 1 1 = (1- + - + ? ) 2 3 3 5 2n - 1 2n + 1 9 1 9n = (1)= , 2 2n + 1 2n + 1 9n m - 2 003 对一切n∈N*成立. ? Sn = < 2n + 1 2 9n 9 9n 9 1 递增,且 < . = (1) 2n + 1 2 2n + 1 2 2n + 1 m - 2 003 9 即m≥2 012. \ , 2 2

∴最小正整数m=2 012.

【反思·感悟】1.在求最小正整数m的值时,把问题转化为不 等式恒成立问题,而Sn最值的求法使用了数列的单调性. 2.数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函 数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点, 该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运

算求解能力,因而一直成为高考命题者的首选.

【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011·陕西高考) 如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交 曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点

处的切线与x轴交于点P2.再从P2作
x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列

点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记Pk点的坐标为 (xk,0)(k=1,2,…,n). (1)试求xk与xk-1的关系(k=2,…,n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.

【解题指南】(1)求出曲线y=ex在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方

程,令y=0可得xk与xk-1的关系.
(2)把线段长转化为点的纵坐标,利用等比数列求和公式求解.

【规范解答】(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),∵y=ex,∴y′=ex,
…………………………………………………………………3分 ∴Qk-1(xk-1,exk-1),在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程 是y-exk-1=exk-1(x-xk-1),令y=0,则xk=xk-1-1(k=2,…,n). …………………………………………………………………6分

(2)∵x1=0,xk-xk-1=-1,∴xk=-(k-1),

∴|PkQk|=exk=e-(k-1),……………………………………9分
于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
1- e- n e - e1- n = , - 1 1- e e- 1 1- n 即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| = e - e . e- 1

=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=

…………………………………………………………12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议: 在解答本题时有两点容易造成失分:

失 (1)不明确题意,无法求出在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线 分 方程. 警 示 (2)对数列的应用意识较差,不会把求和问题转化为数 列求和解决.

解决数列与其他知识的综合问题时,还有以下几点容易造 成失分,在备考时要高度关注:

(1)等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误;
备 (2)不能熟练掌握函数、方程、三角、不等式等知识,从 考 而不能顺利地利用数列知识解题. 建 议 (3)不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数

形结合等思想方法解题. 另外应培养对数列知识的应用意识,当问题与自然数n有 关时,可考虑是否能用数列知识解决.

1.(2012·运城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn) 和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9的值 等于( (A)52 ) (B)40 (C)26 (D)20

Sn+ 1 - Sn = 3n - 2, 【解析】选B.由题意,知 (n + 1) - n

∴Sn+1-Sn=3n-2,即an+1=3n-2,∴an=3n-5,

因此数列{an}是等差数列,a5=10,
∴a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40.

ì n2 ? 2.(2012·赣州模拟)已知函数 f (n ) = ? 2 í ?- n ? ?

当n为奇数时 , 当n为偶数时

且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于(

)

(A)0

(B)100

(C)-100

(D)10 200

【解析】选B.∵an=f(n)+f(n+1),

∴a1+a2+a3+…+a100=[f(1)+f(2)]+[f(2)+f(3)]+[f(3)+
f(4)]+…+[f(100)+f(101)]=[(32-22)+(52-42)+(72-62) +…+(1012-1002)]+[(12-22)+(32-42)+(52-62)+…+(9921002)]=(5+9+13+…+201)-(3+7+11+…+199)=100.

3.(2012· 黄冈模拟)某企业2011年初贷款a万元,年利率为r, 按复利计算,从2011年末开始,每年偿还一定金额,计划第5 年还清,则每年应偿还的金额为______万元.

【解析】假设每年还x万元,则有x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2
x[(1+r)5 - 1] \ = a(1 + r)5 , r ar(1+r)5 5 5 即 x[(1+r) - 1] ar(1+r) , \ x = = . (1+r)5 - 1 ar(1+r)5 答案: (1+r)5 - 1

+x(1+r)+x=a(1+r)5,

4.(2012·临沂模拟)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是各
项均为正数的等比数列,a1=b1=1且a2=b2+1,a3=b3+1.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,求满足 Sn ? 的最小正整数n.
an ?1 >100 n

【解析】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
?1 ? d ? q ? 1 ?d ? 2 则? ,解得 ? , 2 ?q ? 2 ?1 ? 2d ? q ? 1

所以an=2n-1,bn=2n-1. (2)Sn=1+2+22+…+2n-1=2n-1,
Sn ? an ?1 2n ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 3> , 100 n n

∴2n>103.

∵n是正整数,∴满足要求的最小正整数n是7.


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