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2014高考数学总复习 第1章 集合与常用逻辑用语单元检测 新人教A版


第一章

单元测试
( )

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?NB 等于 A.{1,5,7} C.{1,3,9} 答案 A 解析 即在 A 中把 B 中有的元素去掉. 2.已知全集 U=R,设集合 A={x|y=ln(2x-1)},集合 B={y|y=sin(x-1)},则(?UA)∩B 为 1 A.( ,+∞) 2 1 C.[-1, ] 2 答案 C 1 B.(0, ] 2 D .? B.{3,5,7} D.{1,2,3}

1 1 解析 如图,阴影部分表示集合(?UA)∩B,而集合 A={x|x> },?UA={x|x≤ }.B={y|-1≤y≤1}, 2 2 1 1 所以(?UA)∩B={x|x≤ }∩{y|-1≤y≤1}={x|-1≤x≤ }. 2 2 3.已知?ZA={x∈Z|x<6},?ZB={x∈Z|x≤2},则 A 与 B 的关系是 ( A.A? B C.A=B 答案 A 4.已知集合 A 为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B 解析 ∵“A∩{0,1}={0}”得不出“A={0}”,而“A={0}”能得出“A∩{0,1}={0}”, ∴“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件. 5.已知命题 p:? x∈R,x -2x+1>0;命题 q:? x∈R,sinx=1.则下列判断正确的是 A.綈 q 是假命题 C.綈 p 是假命题 答案 A 解析 由题意可知,p 假 q 真.
1
2

)

B.A? B D.?ZA??ZB

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.q 是假命题 D.p 是真命题

6.已知集合 A={x|y=

x+1 },B={x|x>a},则下列关 系不可能成立的是 x-2
( )

A.A? B C.A?B 答案 D 解析 由?
? ?x+1≥0, ?x-2≠0 ?

B.B? A D.A? ?RB

可得 A=[-1,2)∪(2,+∞),前三个选项都有可能,对于选项 D,?RB=(-

∞,a],不可能有 A? ?RB. 7.设全集 U=R,A={x|x -5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a 为常数)且 11∈B,则 A.?UA∪B=R C.?UA∪?UB=R 答案 D 解析 A={x|x<-1或x>6},∵11∈B,∴a>|11-5|=6.又由|x-5|<a,得 5-a<x<5+a,而 5-a< -1,5+a>11.画数轴知选 D. 8.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“? x0∈R,x0+x0+1<0”的否定是“? x∈R,x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 答案 D 解析 A 中原命题的否命题为“若 x ≠1, 则 x≠1”, 故 A 错; 在 B 中, “x=-1”是“x -5x-6=0” 的充分不必要条件,故 B 错;C 中命题的否定应为“? x∈R,x +x+1≥0”,故 C 错;在 D 中,逆否命题 与原命题同真假,易知原命题为真,则其逆否命题也为真命题,因此 D 正确. 9.已知直线 l1:x+ay+1=0,直线 l2:ax+y+2=0,则命题“若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 平行”的否命题为 A.若 a≠1 且 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 B.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 C.若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 不平行 D.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 平行 答案 A 解析 命题“若 A,则 B”的否命题为“若綈 A,则綈 B”,显然“a=1 或 a=-1”的否定为“a≠1 且 a≠-1”,“直线 l1 与 l2 平行”的否定为“直线 l1 与 l2 不平行”,所以选 A. 10.命题“? x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B.A∪?UB=R D.A∪B=R

(

)

(

)

)
2

A.a≥4 C.a≥5 答案 C

B.a≤4 D.a≤5

解析 命题“? x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4,故其充分不必要条件是实数 a 的 取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为 C. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 11.“a=1”是“函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π ”的________条件. 答案 充分不必要 1 12.设全集为 R,集合 A={x| ≤1},则?RA____ ____.
2 2

2

x

答案 {x|0≤x<1} 1 1 1-x 解析 A={x| ≤1}={x| -1≤0}={x| ≤0}=

x

x

x

{x|x≥1 或 x<0},因此?RA={x|0≤x<1}. 13.满足条件:M∪{a,b}={a,b,c}的集合 M 的个数是________. 答案 4 个 14 .设全集 U = A ∪ B = {x ∈ N |lgx<1} ,若 A∩( ? UB) = {m|m = 2n + 1 , n = 0,1,2,3,4} ,则集合 B = ________. 答案 {2,4,6,8} 解析
*

A ∪ B = {x ∈ N*|lgx<1} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , A∩( ? UB) = {m|m = 2n + 1 , n = 0,1,2,3,4} =

{1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. π 1 15.“α ≠ ”是“cosα ≠ ”的________条件. 3 2 答案 必要不充分 16.下列命题中是假命题的是________. ①存在 α ,β ∈R,有 tan(α +β )=tanα +tanβ ②对任意 x>0,有 lg x+lgx+1>0 ③△ABC 中,A>B 的充要条件是 sinA>sinB ④对任意 φ ∈R,函数 y=sin(2x+φ )都不是偶函数 答案 ④ 解析 对于①,当 α =β =0 时,tan(α +β )=0=tanα +tanβ ,因此选项①是真命题;对于②, 1 2 3 3 2 注意到 lg x+lgx+1=(lgx+ ) + ≥ >0,因此选项 B 是真命题;对于③,在△ABC 中,由 A>B?a>b? 2 4 4 2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中 R 是△ABC 的外接圆半径),因此选项③是真命题;对于④,注意到当 φ = π 时,y=sin(2x+φ )=cos2x 是偶函数,∴④是假命题. 2
3
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|x -5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,求实数 m 的 值组成的集合. 1 1 答案 {0,- ,- } 2 3 解析 A={x|x -5x+6=0}={2,3},A∪B=A,∴B? A. ①当 m=0 时,B=?,B? A; 1 ②当 m≠0 时,由 mx+1=0,得 x=- .
2 2

m

1 ∵B? A,∴- ∈A.

m

1 1 1 1 ∴- =2 或- =3,得 m=- 或- . m m 2 3 1 1 ∴满足题意的 m 的集合为{0,- ,- }. 2 3 18.(本小题满分 12 分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真 假. (1)有一个实数 α ,sin α +cos α ≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 恰有唯一的解; (4)存在实数 x0,使得 1 =2. x -x0+1
2 0 2 2 2 2

解析 (1)是特称命题;用符号表示为:? α ∈R,sin α +cos α ≠ 1,是一个假命题. (2)是全称命题;用符号表示为:? 直线 l,l 存在斜率,是一个假命题. (3)是全称命题;用符号表示为:? a,b∈R,方程 ax+b=0 恰有唯一解,是一个假命题. (4)是特称命题;用符号表示为:? x0∈R, 1 =2 是一个假命题. x -x0+1
2 0

19.(本小题满分 12 分)已知命题“? x∈R,|x-a|+|x+1|≤2”是假命题,求实数 a 的取值范围. 答案 (-∞,-3)∪(1,+∞) 解析 =|a+1|, 因此有|a+1|>2,a+1<-2 或 a+1>2, 即 a<-3 或 a>1. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 20.(本小题满分 12 分)已知集合 E={x||x-1|≥m},F={x| 10 依题意知,对任意 x∈R,都有|x-a|+|x+1|>2;由于|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|

x+6

>1}.

4

(1)若 m=3,求 E∩F; (2)若 E∪F=R,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)当 m=3 时,E={x||x-1|≥3}={x|x≤-2 或 x≥4},

F={x|

10

x+6

>1}={x|

x-4 <0}={x|-6<x<4}. x+6

∴E∩F={x|x≤-2 或 x≥4}∩{x|-6<x<4}={x|-6<x≤-2}. (2)∵E={x||x-1|≥m}, ①当 m≤0 时,E=R,E∪F=R,满足条件. ②当 m>0 时,E={x|x≤1-m 或 x≥1+m}, 由 E∪F=R,F={x|-6<x<4}, 1-m≥-6, ? ? ∴?1+m≤4, ? ?m>0,

解得 0<m≤3.

综上,实数 m 的取值范围为 m≤3. 21.(本小题满分 12 分)已知命题 p:A={x|a-1<x<a+1,x∈R},命题 q:B={x|x -4x+3≥0}. (1)若 A∩B=?,A∪B=R,求实数 a; (2)若綈 q 是 p 的必要条件,求实数 a. 答案 (1)a=2 (2)a=2 解析 由题意得 B={x|x≥3 或 x≤1}, (1)由 A∩B=?,A∪B=R,可知 A=?RB=(1,3), ∴?
?a+1=3, ? ? ?a-1=1,
2

∴a=2.

(2)∵B={x|x≥3 或 x≤1},∴綈 q:{x|1<x<3}. ∴綈 q 是 p 的必要条件,即 p? 綈 q. ∴A? ?RB=(1,3). ∴?
?a+1≤3, ? ? ?a-1≥1,

∴2≤a≤2,∴a=2.
2

22.(本小题满分 12 分)已知 P={x|x -8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.若存在,求 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件.若存在,求出 m 的范围. 答案 (1)m 不存在 (2)m≤3 解析 (1)P={x|-2≤x≤10},

S={x|1-m≤x≤m+1}.
若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,
5

?1-m=-2, ? ∴? ? ?1+m=10,

∴m 不存在.

(2)若存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件, ∴S? P. 若 m<0,即 S=?时,满足条件.

m+1≥1-m, ? ? 若 S≠?,应有?1-m≥-2, ? ?m+1≤10,
解之得 0≤m≤3. 综之得,m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

1.已知全集 U=Z,集合 A={x|x =x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于

2

A.{-1,2} C.{0,1} 答案 A

B.{-1,0} D.{1,2}

解析 依题意知 A={0,1},(?UA)∩B 表示全集 U 中不在集合 A 中,但在集合 B 中的所有元素,故图中 的阴影部分所表示的集合等于{-1,2},选 A. 2.下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=a -b(a>0,且 a≠1)的图像不过第二象限 C.p:x=1,q:x =x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案 A 解析 B 选项中,当 b=1,a>1 时,q 推不出 p,因而 p 为 q 的充分不必要条件.C 选项中,q 为 x= 0 或 1,q 不能够推出 p,因而 p 为 q 的充分不必要条件.D 选项中,p、q 可以互推,因而 p 为 q 的充要条 件.故选 A. 1 2 2 3.设集合 P={x|x -x-2≥0},Q={y|y= x -1,x∈P},则 P∩Q= ( 2 )
2

(

)

x

6

A.{m|-1≤m< 2} C.{m|m≥2} 答案 C

B.{m|-1<m<2} D.{-1}

1 2 解析 本题考查集合的概念及运算,根据题意知 P={x|x≥2 或 x≤-1},又因为当 x∈P 时,y= x 2
? 1? ? 1 ? -1∈?- ,+∞?,故 Q=? y|y≥- ?,故 P∩Q={m|m≥2}. 2? ? 2 ? ?

4 .已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数 都是负数.则下列命题中为真命题的是 A.(綈 p)或 q C.(綈 p)且(綈 q) 答案 D B .p 且 q D.(綈 p)或(綈 q)

解析 由于命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,因此,命题綈 q 是真命题,于是(綈 p)或(綈 q)是真 命题. 5.如下四个电路图,视“开关甲闭合”为条件甲,“灯泡乙亮”为结论乙,以贴切、形象的诠释甲 是乙的必要不充分条件的图形是 ( )

答案 B 6.(2012·江西)若全集 U={x∈R|x ≤4},则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA 为 A.{x∈R|0<x<2} C.{x∈R|0<x≤2} 答案 C 解析 由已知得,全集 U={x∈R|-2≤x≤2},集合 A={x∈R|-2≤x≤0},结合数轴得?UA={x∈ B.{x∈R|0≤x<2} D.{x∈R|0≤x≤2}
2

R|0<x≤2},故选 C 项. 7.(2012·陕西)集合 M={x|lgx>0},N={x|x ≤4},则 M∩N= ( A.(1,2) C.(1,2] 答案 C 解析 因为 M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2},所以 M∩N={x|1<x≤2}=(1,2].故选 C 项.
7
2

)

B.[1,2) D.[1,2]

8.(2012·福建)下列命题中,真命题是 A.? x0∈R, B.? x∈R,2 >x
x
2

(

)

≤0

C.a+b= 0 的充要条件是 =-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 答案 D 解析 ∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质,得 ab>1. 即 a>1,b>1? ab>1. 9. (2012·浙江)设 a∈R, 则“a=1”是“直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 l1 与 l2 平行的充要条件为 a(a+1)=2×1 且 a×4≠1×(-1),可解得 a=1 或 a=-2, 故 a=1 是 l1∥l2 的充分不必要条件. 10.(2012·安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 ( )

a b

b⊥m,则“α ⊥β ”是“a⊥b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A

(

)

解析 由面面垂直的性质定理,可得 α ⊥β ,α ∩β =m,b? β ,b⊥m? b⊥α .又∵a? α ,∴a⊥b, 但反之则不成立. 11.已知命题 p:“x>3”是“x >9”的充要条件,命题 q:“ 2> 2”是“a>b”的充要条件,则 A.“p 或 q”为真 C.p 真 q 假 答案 A B.“p 且 q”为真 D.p,q 均为假
2

a b c c

a b 1 2 解析 由 x>3 能够得出 x >9, 反之不成立, 故命题 p 是假命题; 由 2> 2能够推出 a>b, 反之, 因为 2>0, c c c

8

所以由 a>b 能推出 2> 2成立,故命题 q 是真命题.因此选 A. 12.已知命题 p:? x∈(-∞,0),2 <3 ,命题 q:? x∈(0,1),log2x<0,则下列命题为真命题的是 A.p∧q C.(綈 p)∧q 答案 C B.p∧(綈 q) D.p∨(綈 q)
x x

a b c c

解析 由指数函数的图像与性质可知,命题 p 是假命题,由对数函数的图像与性质可知,命题 q 是真 命题,则命题“p∧q”为假命题,命题“p∨(綈 q)”为假命题,命题“(綈 p)∧q”为真命题,命题“p∧ (綈 q)”为假命题,故选 C. 13.有下列四个命题,其中真命题是 A.? n∈R,n ≥n B.? n∈R,? m∈R,m·n=m C.? n∈R,? m∈R,m <n D.? n∈R,n <n 答案 B 1 解析 对于选项 A,令 n= 即可验证其不正确;对于选项 C、选项 D,可令 n=-1 加以验证,均不正 2 确,故选 B. 14.设 x,y∈R,则“|x|≤4 且|y|≤3”是“ + ≤1”的 16 9 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 画图易知,{(x,y)||x|≤4 且|y|≤3}? {(x,y)| + ≤1}. 16 9 15.命题“? x∈R,x +ax-4a<0”为假命题,是“-16≤a≤0”的________条件. 答案 充要 解析 ∵“? x∈R,x +ax-4a<0”为假命题, ∴“? x∈R,x +ax-4a≥0”为真命题,∴Δ =a +16a≤0,即-16≤a≤0.故为充要条件. 16.已知命题 p:α =β 是 ta nα =tanβ 的充要条件. 命题 q:?? A.下列命题中为真命题的有________. ①p 或 q ②p 且 q ③綈 p 答案 ①③
9
2 2 2 2 2 2 2

(

)

x2

y2

(

)

x2

y2

④綈 q

17.已知集合 A={1,a,5},B={2,a +1}.若 A∩B 有且只有一个元素,则实数 a 的值为________. 答案 0 或-2 解析 若 a=2,则 a +1=5,A∩B={2,5},不合题意舍去. 若 a +1=1,则 a=0,A∩B={1}. 若 a +1=5,则 a=±2. 而 a=-2 时,A∩B={5}. 若 a +1=a,则 a -a+1=0 无解. ∴a=0 或 a=-2. 18.命题“若 x <1,则-1<x<1”的逆否命题是________. 答案 若 x≥1 或 x≤-1,则 x ≥1 解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后,再交换位置,注意“-1<x<1”的否定是“x≥1
2 2 2 2 2 2 2

2

或 x≤-1”.

10


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