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指数函数与对数函数的关系教学案


高一数学教学案
班级 姓名 学号

教学时间:07.11.9

教案序号:32

设计人:贾仁春 审查人:孙慧欣

一、

教学目标:

1. 知识目标:使学生能正确比较指数函数和对数函数性质的关系,能以它们为例对反函 数进行解释和直观解释. 2. 能力目标:从观察图像引出概念,能培养学生观察,分析,探究问题的能力,数形结 合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力.

二、

教学重点难点

重点:对指数函数和对数函数性质关系的比较,及对反函数概念的理解; 难点:反函数的概念。

三、

课前自学:

(一) 基础知识梳理: 学点一:
指数函数与对数函数的关系: 性质 a>0 0<a<1 性质关系

图像

1.关于 y=x 对称.

指数函数 定义域 对数函数 指数函数 值域 对数函数 指数函数 特殊点 对数函数 指数函数 单调性 对数函数 4.单调性不变. 5. 增减速度一快一慢. 3.横纵坐标互换 2.定义域、值域互换

增减速度

注:同底数的指数函数与对数函数性质关系,也体现了互为反函数的两函数之间的性质 关系。
1

总结: (1)底数互为倒数的指数函数图像关于 (2)底数互为对数的对数函数图像关于 (3)同底的指数函数与对数函数图像关于 学点二: 反函数:
(1)定义:

对称。 对称。 对称。

. (2)求反函数的步骤:反解——互换——定域 (3)互为反函数的函数图像关于直线 (4)函数具有反函数的条件 对称。 .

(二)典型例题解析
例 1.设函数 f ( x) ? x ? 2x ?1, x ? 1, 则 f (2) ?
2 ?1



例 2.已知 y=2x+m 和 y=nx-3 互为反函数,求 m,n.

-1 例 3、已知函数 f(x)=a -k 的图像过点(1,3) 。其反函数 y=f ( x) 的图像过点(2,0) ,则

x

f(x)=

.

例 4.设有三个函数,第一个函数是 y ? f ( x) ,它的反函数就是第二个函数,而第三个 函数的图像与第二个函数的图像关于 y 轴对称,则第三个函数是( ) A. y ? ? f ( x) B. y ? ? f (? x) C. y ? ? f
?1

(? x)

D. y ? f

?1

( ? x)

例 5.求下列函数的反函数: (1) y ? 2 x ; (3) y ? log3 x (2) y ? 3 ;
x

( x ? 0) ;
2

(4) y ? e

2x

(x ? R) .

(二) 自学检测
1.已知函数 y ? f ( x) 的反函数图像过点(1,5) ,则函数 y ? f ( x) 的图像必过点( A.(1,1) B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5) )

2. 设函数 f ( x) ? loga ( x ? b)(a ? 0且a ? 1) 的图像过点 (2, 1) , 其反函数的图像过点 (2, 8) ,则 a+b 等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3

四.课堂导学:
(一)当堂检测:
1.下列函数随 x 增大而增大速度最快的是( ) A. y ?

1 x e 100

B. y ? 100ln x

C.

y ? x100

D. y ? 100 ? 2x

2.设 a ? 0, a ? 1 ,则 y ? log a x 的反函数与 y ? log a A.x 轴 B.y 轴 C.y=x

1 的反函数的图像关于( )对称。 x
D.原点

3.若函数 y ? f A.(5,-2)

?1

,则函数 y ? f ( x ? 5) 的图像经过点( ) ( x) 的图像经过点(-2,0) B.(-2,-5) C.(-5,-2) D.(2,-5)

(二)重难点突破
利用互为反函数的图像关于直线 y=x 对称,可求反函数,化繁为简,达到事半功倍
3

的功效。

(四)课堂小结
1、指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的区别与联系。 2、互为反函数的函数具备的性质: (1)原函数与反函数定义域值域互换; (2)互为反函数的图像关于直线 y=x 对称; (3)互为反函数的两个函数单调性是一致的。

五、跟踪练习
1 、已知函数 f ( x) ? 2 ? b 的反函数为 f
x ?1

( x) ,若 y ? f ( x)?1 的图像经过 Q(5,2),则

b=

. )

2、已知 a>0 且 a ? 1 ,函数 y ? a x 与函数 y ? loga (? x) 的图像只能是下图中的(

3、将 y ? 2x 图像(

)再关于直线 y=x 对称的图像,可得到 y ? log2 ( x ? 1) 的图像。 B、先向右平移一个单位 D、先向下平移一个单位 ,求 f
?1

A、先向做平移一个单位 C、先向上平移一个单位 4、设函数 f ( x) ? 4 ? 2
x x ?1

(0) 的值。

4


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