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人教A版必修2 4.1 圆的标准方程课件 课件(共30张PPT)


赵州桥,建于隋炀帝大业年间(595-605年),至今已有 1400年的历史,出自著名匠师李春之手,是今天世界上最 古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。

复习引入
我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
y M

r
A O

x

1、什么是圆?
如图,在一个平面内,线段CP绕它固定的一个 端点C旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫做圆 。 2、圆有什么特征呢? (1)圆上各点到定点(圆心)的距 离都等于定长(半径r);
(2)到定点的距离等于定长的点 都在同一个圆上.

思考:
在平面直角坐标系中, 圆心--确定圆的位置 如何确定一个圆呢? 半径--确定圆的大小

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定 了.

因此一个圆最基本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用 坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离. y
r O M (x, y)

A(a,b) x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合:

p ? ?M || MA |? r?
y M (x, y) r O

A(a,b) x

圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示?

根据两点间距离公式:P 1P 2 ? 则点M、A间的距离为:MA ?
即:

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 .

p ? ?M | MA |? r?
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上?

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.
把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆 的方程,把它叫做圆的标准方程.



(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程 问题:圆的标准方程有什么特征? (1)有两个变量x,y,形式都是与某个实数差的平方;
(2)两个变量的系数都是1
(3)方程的右边是某个实数的平方,也就是一定为正数。

特殊位置的圆方程

圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方

程是什么?
因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和半径 r 带入圆的标准方程:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

得: 整理得:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

2

x ?y ?r
2 2

2

典型例题

) 例1 写出圆心为 A(2,?3,半径长等于 5的圆的方程, 并判断点 M1 (5,?7),M 2 (? 5 ,?1) 是否在这个圆上.
解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 方程是:

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2
2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

点与圆的位置关系
从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需 将这个点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的 方程成立,则在这个圆上,反之如果不成立则不在 这个圆上.
还是在圆外呢?
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 )在圆 内呢?

y

M3
M2

o
A M1

x

2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 )在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢? 还是在圆外呢?

可以看到:点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ;

点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r .
y

M3
M2

o
A M1

x

例2

?ABC

的三个顶点的坐标分别A(5,1),

B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆. 2 2 2 解法一:设所求圆的方程是 (1)

(x ? a) ? ( y ? b) ? r

因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐 标都满足方程(1).于是
2 2 2 ( 5 ? a ) ? ( 1 ? b ) ? r ? ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),
C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.
解: 解此方程组,得:

?a ? 2, ? , ?b ? -3 ? 2? 25. ?r
所以,?ABC 的外接圆的方程 ( x ? 2)
2

待 定 系 数 法
? ( y ? 3) ? 25 .
2

4

解法二:
因为A(5,1)和B(7,-3),所以线段AB 的中点的坐标为(6,-1),直线
-15 -10 -5

2

A
5 10

-2

O E C

D B

AB的斜率 k AB ?

1? 3 ? ?2 5?7

l1

-4

因此线段AB的垂直平分线 l1 的方 程是:
y ?1 ?

-6

-8

l2

即:

x ? 2y ?8 ? 0

1 ? x ? 6? 2

△ABC的外接圆的圆心O的坐
-10

因为B(7,-3)和C(2,-8) ,所以线段 BC的中点的坐标为(4.5,-5.5),直 线BC的斜率 k BC ? ?3 ? 8 ? 1
7?2

?x ? 2 y ? 8 ? 0 标是方程组 ? 的解 ? x ? y ?1 ? 0
-12 -14

解得:

圆O的半径长:
r ? OA ?

-16 2 ?x ? ? ? y ? ?3

即 O(2,-3)
2

因此线段BC的垂直平分线 l2 的方 程是:
即:

? 2 ? 5?
2

? ? ?3 ? 1? ? 5
2

x ? y ?1 ? 0

y ? 5.5 ? ?1? ? x ? 4.5?

所以,圆心为C的圆的标准方程是:

? x ? 2?

? ? y ? 3? ? 25
2

. 练习: 求过点C(?1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程

为( x ? a) ? y ? r . 解: 依题意设所求圆的方程
2 2 2

解方程组:

(?1 ? a) ? 1 ? r 2 2 2 (1 ? a) ? 3 ? r
2 2

2

得a ? 2, r ? 10,
2

故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 10.
2 2

典型例题

例3 .已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且 圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的 标准方程.
分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小.圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心C与A, B 两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l ' 上.又 ' 圆心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 l 的交点,半径 长等于|CA|或|CB|. 解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ( ,? ), 直线AB的斜率: 2 2

k AB

? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标 准方程.
解:因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是
'



x ? 3y ? 3 ? 0

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2

圆心C的坐标是方程组

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
的解.

? x ? ?3, 解此方程组,得 ? ? y ? ?2.
所以圆心C的坐标是 (?3,?2) 圆心为C的圆的半径长

r ?| AC |? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 5
2 2

所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

例4、求以c(1,3)为圆心,并和直线 3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。
解:
Y

设所求圆的方程为 : ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? r
2 2 2

C(1、3)

圆心C(1,3)到直线3x ? 4 y ? 6 ? 0的距离 0

X

r?

| 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 | 3 ?4
2 2

3x-4y-6=0

? 3,
2 2

故所求圆的方程为 : ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 9

练习:求圆心在(-1, 2),与y轴相切的圆的方程

: 解: 设所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r 因圆与y轴相切, 故圆的半径为 1,
2 2 2

Y
C(-1,2) X

所求圆的方程为:(x+1)2+(y-2)2=1

-1 0

练习:求圆心在直线y=x上,同时和两坐标轴相切,半 径为2的圆的方程.

解: 依题意得所求圆的方程为 (x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4

Y 2 Y=X X C(2,2) -2 0 2 C(-2,-2) -2

2 2 2 已知圆的方程是 x ? y ? r , 求经过圆上一点 例5 M ( x0 , y0 )的切线方程 . Y

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 解一: 如图, 设切线方程为

M ( x0 , y0 )

半径OM的斜率为kOM

x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k ? ? y0 x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

y0 ? x0 ,

0

X

整理得, x0 x ? y0 y ? x ? y 2 2 2 ? x0 ? y0 ? r ,
2 0

2 0

?所求圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2

2 2 2 已知圆的方程是 x ? y ? r , 求经过圆上一点 例5 M ( x0 , y0 )的切线方程 . Y

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 解二: 如图, 设切线方程为 则圆心O到切线kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0的距离为r.
0

M ( x0 , y0 )

X
2

?r ?

| k ? 0 ? 0 ? y0 ? kx0 |
2

k ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k x0 ? 2kx0 y0 ? y0 ? k x0 ? k y0 ? x0 ? y0
x0 k ?? y0
x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0
2

? x0 ? y ? r
2 0

2

?所求圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r

2 2 ( 1 ) 写出过圆 x ? y ? 10上一点M (2, 6 )的切线方程 . 练习:

2x ? 6 y ? 10. 解: 所求切线方程为 2 2 2 过圆x ? y ? r 上点M ( x0 , y0 )
的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 2 (2)求圆x ? y ? 1, 斜率为 1的切线方程 . 解: 设所求切线方程为 y ? x ? b.
2

|b| 则 ?1 y ? x ? 2. b ? ? 2 2 2 2 (3)求圆x ? y ? 1, 在y轴上的截距为 2的切线方程

y ? kx ? 2. 解: 设所求切线方程为
则 2 k 2 ?1 ?1

k ? ?1,

y ? ? x ? 2.

课堂小结:
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

当圆心在原点时 ,圆的标准方程为 x2 + y2 = r2 (2)推导圆的标准方程的方法与步骤?(3)点与圆 的位置关系? (4) 如何求圆的标准方程? 由于圆的标准方程中含
有 a , b , r 三个参数,因此必须具备三个独立的条件 才能确定圆;对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆 的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。

(5)如何利用圆的标准方程解决实际问题?

重要结论:
点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系:

(x0-a)2+(y0-b)2=r2? 点p(x0,y0)在圆上? (x0-a)2+(y0-b)2>r2? 点p(x0,y0)在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2<r2? 点p(x0,y0)在圆内?

5、某施工队要建一座圆拱桥,其跨度为20m, 拱高为4m ,求该圆拱桥所在的圆的方程。

解:以圆拱所对的的弦 所在的直线为x轴,弦 y P (0 ,4 ) 的中点为原点建立如图 所示的坐标系,设圆心 坐标是(0,b)圆的半 x O 径是r ,则圆的方程是 A (-10,0) B (10,0) x2+(y-b)2=r2 。 把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得:b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52


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