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【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体 理


第 1 讲 空间几何体

1.(2014·浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

)

A.72 cm

3

B.90 cm
3

3

C.108 cm

D.138 cm

3

π 2.(2015·山东)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 2

AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(
2π A. 3 4π B. 3 5π C. 3 D.2π

)

3.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意 思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底 部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 ( )

A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 4.(2014·江苏)设甲,乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们的侧

S1 9 V1 面相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2

1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

1

热点一 三视图与直观图 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正 视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体. 例 1 (1)(2014·课标全国Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几 )

何体的三视图,则这个几何体是(

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱 )

(2)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、 左面、 上面用平行投影的方法得到 的三个平面投影图, 因此在分析空间几何体的三视图问题时, 先根据俯视图确定几何体的底 面, 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征, 调整实线和虚线所对应的棱、 面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.

2

跟踪演练 1 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(

)

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

热点二 几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点, 解决这类问题, 首先要熟练掌握 各类空间几何体的表面积和体积计算公式, 其次要掌握一定的技巧, 如把不规则几何体分割 成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 例 2 (1)(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

A.2+ 5

B.4+ 5

C.2+2 5

D.5

(2)如图,在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 C1D1 与 C1B1 上,且 C1E=4,C1F =3,连接 EF,FB,DE,BD 则几何体 EFC1-DBC 的体积为( )

3

A.66 思维升华

B.68

C.70

D.72

(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和. (2)

求体积时可以把空间几何体进行分解, 把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体 积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算. 跟踪演练 2 (2015·四川)在三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边 长为 1 的正方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,

BC,B1C1 的中点,则三棱锥 PA1MN 的体积是________.
热点三 多面体与球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接 点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为 正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球 面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 例 3 (1)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3,AB =1,AC=2,∠BAC=60°,则球 O 的表面积为( A.4π B.12π C.16π ) D.64π

(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动 点,若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π C.144π B.64π D.256π )

思维升华 三棱锥 P-ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形: (1)P 可作为长方体上底面的一个顶点,A、B、C 可作为下底面的三个顶点;(2)P-ABC 为正 四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线. 跟踪演练 3 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面 积分别为 2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为 2 2 2

________.

4

1.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为( A.16 C.2 2+2 6+8 B.8 2+8 D.4 2+4 6+8

)

2.如图,将边长为 5+ 2的正方形,剪去阴影部分后,得到圆锥的侧面和 底面的展开图,则圆锥的体积是( )

2 30 A. π 3 C. 30 π 3

B. D.

2 6 π 3 60 π 3

3.(2015·浙江杭州二中测试)如图,在正三棱锥 S-ABC 中,M 是 SC 的中点,且 AM⊥SB, 底面边长 AB=2 2,则正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积为( )

A.6π C.32π

B.12π D.36π 提醒:完成作业 专题四 第 1 讲

5

二轮专题强化练 专题四 第1讲 空间几何体

A组

专题通关

1.(2015·哈尔滨模拟)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 的 x 的值是( )

A.2 3 C. 2

B.

9 2

D.3 )

2.如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图,则多面体 ABCDE 的体积为(

A.2 2 B. 3 4 C. 3 8 D. 3 3.已知正四棱锥的底面边长为 2a,其侧视图如图所示.当正视图的面积最大时,该正四棱 锥的表面积为( )

6

A.8 C.8 2

B.8+8 2 D.4+8 2

4.(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r 等 于( )

A.1 C.4

B.2 D.8

5.三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,又 SA=AB=BC =1,则球 O 的表面积为( A. 3 π 2 ) 3 B. π 2 D.12π

C.3π

6. 有一块多边形的菜地, 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯 形 ( 如图所示 ) ,∠ABC =45°, AB= AD =1 , DC⊥BC,则这块菜地的面积为 ________. 7.(2014·山东)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为________. 8.如图,正方体 ABCD-

A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF
的体积为______.

7

9.已知某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为________.

10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

B组

能力提高

11.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成三棱锥 C -ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )

1 2 A. B. 2 2

1 C. 4

D.

2 4

12.如图,侧棱长为 2 3的正三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA = 40° , 过 A 作 截 面 △AEF , 则 截 面 △AEF 的 周 长 的 最 小 值 为 ____________. 13. 已知矩形 ABCD 的面积为 8, 当矩形周长最小时, 沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球的表面积等于________.
8

14.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F, 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30°. (1)求证:EF⊥PB; (2)试问: 当点 E 在何处时, 四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱锥 P—EFCB 的体积.

9

学生用书答案精析 专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体

高考真题体验 1.B [该几何体为一个组合体,左侧为三棱柱,右侧为长方体,如图所 示.

V=V 三棱柱+V 长方体= ×4×3×3+4×3×6=18+72=90(cm3).]
2.C [过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线 旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径, 线段 BC 为母 线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示, 1 2 2 该几何体的体积为 V=V 圆柱-V 圆锥=π ·AB ·BC- ·π ·CE ·DE 3 1 5π 2 2 =π ×1 ×2- π ×1 ×1= .] 3 3 16 1 1 320 2 3.B [由题意知:米堆的底面半径为 (尺),体积 V= × π R ·h= 3 3 4 9 320 (立方尺).所以堆放的米大约为 ≈22(斛).] 9×1.62 3 4. 2 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,

1 2

S1 9 由 = , S2 4
π r1 9 r1 3 得 2= ,则 = . π r2 4 r2 2 由圆柱的侧面积相等,得 2π r1h1=2π r2h2, 即 r1h1=r2h2, 所以 =
2

V1 π r2 r1 3 1h1 = = . V2 π r2 r2 2 2h2

热点分类突破 例 1 (1)(1)B (2)B 解析 (1)由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为 三棱柱,故选 B.
10

(2)由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合.从上往下看,外层轮廓 线是一个矩形,矩形内部有一条线段连接的两个三角形. 跟踪演练 1 (1)D (2)D 解析 (1)由俯视图,易知答案为 D. (2)如图所示,点 D1 的投影为 C1,点 D 的投影为 C,点 A 的投影为 B,故选 D.

例 2 (1)C (2)A

解析 (1)该三棱锥的直观图如图所示:过 D 作 DE⊥BC,交 BC 于 E,连接 AE,则 BC=2,EC =1,AD=1,ED=2,

S 表=S△BCD+S△ACD+S△ABD+S△ABC= ×2×2+ × 5×1+ × 5×1+ ×2× 5
=2+2 5. (2)如图,连接 DF,DC1,那么几何体 EFC1-DBC 被分割成三棱锥 D-EFC1 1 1 及四棱锥 D-CBFC1,那么几何体 EFC1-DBC 的体积为 V= × ×3×4×6 3 2 1 1 + × ×(3+6)×6×6=12+54=66. 3 2 故所求几何体 EFC1-DBC 的体积为 66. 跟踪演练 2 1 24

1 2

1 2

1 2

1 2

解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱,三棱柱的底面是直 角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1 的直三棱柱, ∵VPA1MN=VA1PMN, 又∵AA1∥平面 PMN, ∴VA1PMN=VAPMN, 1 1 1 1 1 ∴VAPMN= × ×1× × = , 3 2 2 2 24

11

1 故 VPA1MN= . 24 例 3 (1)C (2)C 解析 (1)在△ABC 中,

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,
∴AC =AB +BC , 即 AB⊥BC, 又 SA⊥平面 ABC, ∴三棱锥 S-ABC 可补成分别以 AB=1,BC= 3,SA=2 3为长、宽、高的长方体, ∴球 O 的直径= 1 +? 3? +?2 3? =4, 故球 O 的表面积为 4π ×2 =16π . (2)如图,要使三棱锥 OABC 即 COAB 的体积最大,当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离,即三棱锥 COAB 底面 OAB 上的高最大,其最大值为球 O 的半径 R, 则 VOABC 最大=VCOAB 最大= 1 1 1 1 S△OAB×R= × ×R2×R= R3=36,所以 R=6,得 S 3 3 2 6 144π ,选 C. 跟踪演练 3 6π
球O 2 2 2 2 2 2 2

=4π R =4π ×6 =

2

2

解析 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体 的外接球恰为三棱锥的外接球, ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.

?AB·AC= 据题意?AC·AD= ?AB·AD=

2, 3, 6,
2

?AB= 2, 解得?AC=1, ?AD= 3,
2 2

∴长方体的对角线长为 AB +AC +AD = 6, ∴三棱锥外接球的半径为 6 . 2

4 6 3 ∴三棱锥外接球的体积为 V= π ·( ) = 6π . 3 2 高考押题精练 1.D [由三视图知,该几何体是底面边长为 2 +2 =2 2的正方形,
2 2

12

高 PD=2 的四棱锥 P-ABCD,因为 PD⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 是正方形, 易得 BC⊥PC,BA⊥PA, 又 PC= PD +CD
2 2 2

= 2 +?2 2? =2 3, 所以 S△PCD=S△PAD 1 = ×2×2 2=2 2, 2

2

S△PAB=S△PBC= ×2 2×2 3=2 6.
所以几何体的表面积为 4 6+4 2+8.] 1 2.A [设圆锥底面半径为 R=MO,底面周长=2π R=弧长 FE= ×2π AM,AM=4R,OC= 2 4

1 2

R,AC=AM+MO+OC=(5+ 2)R,正方形边长=5+ 2= R= 2,AM=4 2,h= AM2-R2= 30, V= π R2h= π ×2× 30=
1 3 1 3 2 30π .] 3

2 2 AC,即 5+ 2= (5+ 2)R, 2 2

3.B [因为三棱锥 S-ABC 为正三棱锥,所以 SB⊥AC,又 AM⊥SB,所以 SB⊥平面 SAC,所 以 SB⊥SA,SB⊥SC,即 SA,SB,SC 三线两两垂直, 且 AB=2 2,所以 SA=SB=SC=2, 所以(2R) =3×2 =12,所以球的表面积 S=4π R =12π ,故选 B.]
2 2 2

13

二轮专题强化练答案精析 专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体

1.D [根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是:

1 1+2 ∴V= × ×2×x=3,∴x=3.] 3 2 4 8 2.D [多面体 ABCDE 为四棱锥(如图),利用割补法可得其体积 V=4- = ,选 D. 3 3

] 3.B [由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示,其正视图与侧视图相同,设
2 2

1 a +h 2 2 棱锥的高为 h, 则 a +h =4.故其正视图的面积为 S= ·2a·h=ah≤ = 2, 2 2 1 2 即当 a=h= 2时,S 最大,此时该正四棱锥的表面积 S 表=(2a) +4× ×2a×2 2 =8+8 2,故选 B.] 4.B [由正视图与俯视图想象出其直观图,然后进行运算求解.如图,该几 何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为 r,圆柱 1 2 2 2 的底面半径为 r,高为 2r,则表面积 S= ×4π r +π r +4r +π r·2r=(5π 2 +4)r .又 S=16+20π ,∴(5π +4)r =16+20π ,∴r =4,r=2,故选 B.] 5.C[如图,因为 AB⊥BC,所以 AC 是△ABC 所在截面圆的直径,又因为
2 2 2

SA⊥平面 ABC,所以△SAC 所在的截面圆是球的大圆,所以 SC 是球的一
条直径.

14

由题设 SA=AB=BC=1,由勾股定理可求得:SB= 2,SC= 3, 所以球的半径 R= 3 , 2 3 2 ) =3π .] 2

所以球的表面积为 4π ×( 6.2+ 2 2

解析 如图,在直观图中, 过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45°, ∴BE= 2 . 2

而四边形 AECD 为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1, ∴BC=BE+EC= 2 +1. 2

由此可还原原图形如图. 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,

B′C′=

2 +1, 2

且 A′D′∥B′C′,

A′B′⊥B′C′,
∴这块菜地的面积为

S= (A′D′+B′C′)·A′B′
1 2 2 = ×(1+1+ )×2=2+ . 2 2 2 7.12 解析 设正六棱锥的高为 h,侧面的斜高为 h′. 1 1 由题意,得 ×6× ×2× 3×h=2 3, 3 2 ∴h=1, ∴斜高 h′= 1 +? 3? =2, 1 ∴S 侧=6× ×2×2=12. 2
2 2

1 2

15

1 8. 6 解析 VD1-EDF=VF-DD1E 1 = S△D1DE·AB 3 1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 3π 9. 3+ 2 解析 由三视图可知,该几何体是底面半径为 1,高为 3,母线长为 2 的圆锥的一半,其表 面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和. 1 1 1 1 3π 2 所以,S= × ×2π ×2+ ×π ×1 + ×2× 3= + 3. 2 2 2 2 2 10.解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的投影是矩形中心 的四棱锥 E-ABCD. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)四棱锥 E-ABCD 的两个侧面 EAD,EBC 是全等的等腰三角形, 且 BC 边上的高 h1= 8 2 2 4 +? ? =4 2; 2 6 2 2 4 +? ? =5. 2

另两个侧面 EAB,ECD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高 h2= 1 1 因此 S=2×( ×6×4 2+ ×8×5)=40+24 2. 2 2

11.C [因为 C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点 O,在边长为 1 的正方形

ABCD 中,AO=CO= AC=

1 2

2 ,所以 2

1 1 2 2 1 侧视图的面积等于 S△AOC= CO·AO= × × = ,故选 C.] 2 2 2 2 4 12.6 解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V-ABC 展开在一个平面内,如图, 则 AA′即为截面△AEF 周长的最小值,且∠ AVA′=3×40°=120°.在 △VAA′中,由余弦定理可得 AA′=6,故答案为 6. 13.16π 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a,b,则 ab=8,此时 2a+2b≥4 ab=8 2,当且仅当

a=b=2 2时等号成立, 此时四边形 ABCD 为正方形, 其中心到四个顶点的距离相等, 均为 2,
无论怎样折叠, 其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上, 这个球的表面积是 4π ×2 =16π .
16
2

14.(1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE,又 PB? 平面 PBE, ∴EF⊥PB. (2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 ∴S△PEB= BE·PE·sin∠PEB 2 1 1?x+y?2 = xy≤ ? ? =1. 4 4? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE,∴平面 PBE⊥平面 EFCB,在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O,则 PO⊥平 面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高. 1 又 PO=PE·sin 30°=2× =1. 2

SEFCB= ×(2+4)×2=6.
1 ∴VP—BCFE= ×6×1=2. 3

1 2

17


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