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2015高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征讲解 新人教A版必修3


2. 2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(讲) 一、众数、中位数、平均数 众数—一组数中出现次数最多的数; 在频率分布直方图中, 我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。 中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数,当有偶数个时等于中间两数的平均数;在频率分布直 方图中,是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。 平均数——将所有数相加再除以这组数的个数;在频率分布直方图中,等于每个小长方形的面积乘以 其底边中点的横坐标的和。 思考探究: 分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数,观察所得的数据,你发现了什么 问题?为什么会这样呢? 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗?由此你有什么样的体会? 答:(1)从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样,因为频率分布直方图损 失了一部分样本信息,所以不如原始数据准确。 (2)众数和中位数不受极端值的影响,平均数反应样本总体的信息,容易受极端值的影响。 练一练: 假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市长报告国家对本市 26 个公路项目投资的平均资金数 额,其中一条新公路的建设投资为 2000 万元人民币,另外 25 个项目的投资是 20~100 万元。中位数是 25 万元,平均数是 100 万元,众数是 20 万元。你会选择哪一种数字特征 资的平均金额? 解析:平均数。 二、标准差、方差 在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据 ,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加正式 比赛? 来表示国家对每一个项目投 ? 7 , x ? 7 我们知道, x 。 乙 甲 两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察 P74 图 2.2-7)直观 上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这 1 两组数据。 1.标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示。 1 2 2 2 s ?[ ( xx ? ) ? ( x ? x ) ? ? ( x ? x ) ] 1 2 n n 思考探究: 1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系? 2、标准差的取值范围是什么?标 准差为0的样本数据有什么特点? 答:(1)显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 (2)从标准差的定义和计算公式都可以得出: 样本平均数。 2.方差 2 1 2 2 2 s ? [ ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ( x ? x ) ] 1 2 n n s ? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都等于 在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差。 例题精析 例 1 农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的两块稻田连续 6 年的年平均产量如下: 甲:900,920,900,850,910,920 乙:890,960,950,850,860, 890 那种水稻的产量比较稳定? [分析]采用求标准差的方法 解: 900 ? 920 ? 900 ? 850 ? 910 ? 920 ? 900 6 890 ? 960 ? 950 ? 850 ? 860 ? 890 x乙 ? ? 900 6 x甲 ? s甲 ? ? 1 ?900 ?

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