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2015含参数的一元二次不等式的解法(专题)


2015 含参数的一元二次不等式的精选例题
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢? 对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 2 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ; 例 1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 2 分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a 2 2 ? ? ?a?2? a ?4 ?a?2? a ?4? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1? ? 当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ? ? 2? ? 2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? a ? 0 x | ? x ? 当 时, 解集为 ? ? 2a 2a ? ? 2 ? ? 例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3? 二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 2 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0 2 分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。 2 解:∵ ? ? a ? 16 ∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; ? a? 当 a ? ?4 即Δ=0 时,解集为 ? x x ? R且x ? ? ; 2? ? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ? , x2 ? , 2 2 ? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? 显然 x1 ? x 2 , ∴不等式的解集为 ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? 2 2 ?1 ? 0?m ? R? ? 例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 2 2 2 2 解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m 1? ? 所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? ; 2? ? ? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? ? ? 当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 或x〈 ?; 2 2 m ?1 m ?1 ? ? ? ? 当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。
解得方程 ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

?

?

?

? ?

?

例 5 解关于的 x 不等式 (m ? 1) x ? 4 x ? 1 ? 0(m ? R)
2

分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ? 1 时,还需对 m+1>0 及 m+1<0 来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿=4(3-m)>0,图 象开口向下,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图 象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图象 2 开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的根。⑷当 m>3 时,⊿=4(3
1

-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,不等式的解集为 ? 。

1? 解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? ?x | x ? ?;
2

4? ? 当m ? ?1时, (m ? 1) x ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m);
? 2? 3?m 2? 3?m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为 或x ? ?x | x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为 ?x? ?x | ? m ?1 m ?1 ? ?

? ? 当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。

当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

1? ?; 2?

小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类 讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围,③两根大小。⑶ 二次项的取值(如取 0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 例 6 解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0) 思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们 自己完成。 2 三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;

只需讨论两根的大小即可。

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) 变式: a ? 0 ??? a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例 7 解不等式 x ? (a ?
2

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a 1 1? ? ∴当 a ? ?1 时, a ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ? 1 当 a ? ?1 时, a ? ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, a ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ? 2 2 例 8 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0 2 分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故 只需比较两根 2 a 与 3a 的大小. 解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 当 a 0 时, 即 2a 3a , 解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?; 当 a ? 0 时, 即 2a 3a , x1 ? 2a, x2 ? 3a , 解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a?
解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ?

2

2013 含参数的一元二次不等式精选题
1.(1)解不等式 (2)不等式
x ?1 ?1 2x

( {x | x ? ?1, 或x ? 0} ) (a ?
1 ) 2

ax ? 1 的解集为 {x | x ? 1,或x ? 2} ,求 a 的值. x ?1

2.解下列关于 x 的不等式:
1 (1) x 2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a
1 (1)当a ? ?1, 或0 ? a ? 1时, {x | a ? x ? } a (2)当a ? ?1时,? (3)当a ? 1, 或 ? 1 ? a ? 0时, {x | 1 ? x ? a} a

(2) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
1 , 或x ? 1} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 1} 1 (3)当0 ? a ? 1时, {x | 1 ? x ? } a (4)当a ? 1时,? (1)当a ? 0时, {x | x ? (5)当a ? 1时, {x | 1 ? x ? 1} a

(3) ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0
2 ? x ? 2} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 2} (1)当a ? 0时, {x | 2 (3)当0 ? a ? 1时, {x | x ? 2, 或x ? } a (4)当a ? 1时, {x | x ? 2} (5)当a ? 1时, {x | x ? 2 , 或x ? 2} a

(4) ax 2 ? x ? 1 ? 0
? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , 或x ? } 2a 2a (2)当a ? 0时, {x | x ? ?1} (1)当a ? 0时, {x | x ? (3)当0 ? a ? (4)当a ? 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 时, {x | ?x? } 4 2a 2a

(5)

x ? 1 ? a (a ? R) x ?1

a ?1 ? x ? 1} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 1} (1)当a ? 0时, {x | (3)当a ? 0时, {x | x ? 1, 或x ? a ?1 } a

1 时,? 4

3. (1)若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.( ?2 ? a ? 2 ) (2)若不等式
2 x 2 ? 2mx ? m 4x 2 ? 6x ? 3 ? 1 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围.( 1 ? m ? 3 )

3

4. (1)已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , ①若 A (a?2) B ,求实数 a 的取值范围.;

②若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.; (1? a ? 2 )

③若 A ? B 为仅含有一个元素的集合,求 a 的值.( a ? 1 )

(2) 已知 A ? {x |

x ?1 求实数 a 的取值范围. (1 ? a ? 3) B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}, 且A ? B ? B , ? 0} , x ?3

(3)关于 x 的不等式 | x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 与 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 的解集依次为 A 与 B , |? 2 2 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. ( a ? ?1, 或1 ? a ? 3 )

(4)设全集 U ? R ,集合 A ? {x |

x?a ? 0}, B ? {x || 2 x ? 1 |? 3} ,若 A ? B ? R , x ?1

求实数 a 的取值范围. ( ?2 ? a ? 1)

(5)已知全集 U ? R , A ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0}, C ? {x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} , 若 ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围.( 1 ? a ? 2 )

4


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