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【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:指数函数、对数函数、幂函数 Word版含解析


指数函数、对数函数、幂函数
(时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 1.[2013· 德州二模] 函数 y=

|x|ax (a>1)的图象大致形状是( x

)

图 K9-1 1 ? ? α 2.[2013· 南阳模拟] 设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数 ? ? 的所有 α 值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 1 3.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a=( 2 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 4.[2013· 韶关调研] 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) x A.y=tanx B.y=3 1 C.y=x D.y=lg|x| 3 )

能力提升

? 1 ?? 5.[2013· 三明模拟] 已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lgx,则 f? ?f?100??的值
等于( ) 1 1 A. B.- C.lg2 D.-lg2 lg2 lg2 6.[2013· 皖南八校三联] 若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图 K9-2 所示,其中 a, b 为常数,则函数 g(x)=ax+b 的大致图象是图 K9-3 中的( )

图 K9-2

图 K9-3
? ?log2(4-x),x≤0, 7.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(3)的值为( ?f(x-1)-f(x-2),x>0, ?

)

A.-1 B.-2 C.1 D.2

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8.[2013· 南昌调研] 函数 f(x)=log2 A.[1,+∞) B.(0,1] C.(-∞,1] D.(-∞,1)

2 的值域为( x2+1

)

1?b 1 1 ?1?c 9.设 a,b,c 均为正数,且 2a=log a,? = log b, =log2c,则( ) 2 ?2? 2 ?2? A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c - ?2ex 1,x<2, ? 10.[2013· 惠州一模] f(x)=? 则 f(f(2))的值为________. 2 ? ?log3(x -1),x≥2, 3 11.若 loga <1(a>0,a≠1),则实数 a 的取值范围是________. 4 x ? ?3 (0≤x≤1), ? 12.已知函数 f(x)= 2 则不等式 1<f(x)<4 的解集为____________. ?x -4x+4(x>1), ? 13.设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a2]满足方程 logax+logay=c,这时,a 的取值的集合为________. 14.(10 分)定义在 R 上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)与一个偶函数 h(x) 之和,如果 f(x)=lg(10x+1),x∈R,求 g(x),h(x)的解析式.

1 15.(13 分)已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

难点突破 - 16.(12 分)[2013· 宁德质检] 已知函数 f(x)=2x+k·2 x,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值; - (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2 x 成立,求实数 k 的取值范围.

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【基础热身】 1.B [解析] 当 x>0 时,y=ax;当 x<0 时,y=-ax.根据指数函数图象可知为选项 B 中的图象. 2.A [解析] 幂函数为奇函数时 α=-1,1,3,定义域为 R,α≠-1,所以 α=1,3. 3.D [解析] 因为 a>1,所以函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别 1 1 为 loga2a,logaa=1,它们的差为 ,∴loga2= ,a=4. 2 2 4.C [解析] 由题可知 A 不是单调函数,B 不是奇函数,D 是偶函数,只有 C 满足. 【能力提升】 1 1 1 [解析] 当 x>0 时,f(x)=lgx,∴f =lg =-2,ff =f(-2), 100 100 100 又 y=f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(-2)=-f(2)=-lg2. 6.B [解析] 根据函数 f(x)的图象可知 0<a<1,0<b<1,故函数 g(x)的图象为选项 B 中 的图象. 7.B [解析] 由已知得 f(-1)=log25,f(0)=log24=2,f(1)=f(0)-f(-1)=2-log25, f(2)=f(1)-f(0)=-log25,f(3)=f(2)-f(1)=-log25-(2-log25)=-2. 2 2 8.C [解析] 因 2 ≤2,所以 log2 2 ≤log22,即 f(x)∈(-∞,1],选 C. x +1 x +1 1?b 1 1 1 1 9.A [解析] 由 2a=log a?a>0?2a>1?log a>1?0<a< ,由? ?2? =log2b 可知 b>0 且 2 2 2 1?c 1 1 0<log b<1? <b<1,由? ?2? =log2c 可知 c>1 且 0<log2c<1?1<c<2,从而 a<b<c. 2 2 - 10.2 [解析] f(f(2))=f(1)=2×e1 1=2. 3 ? ? 3 3 0<a< 或a>1? [解析] 当 a>1 时,由 loga <1 得,a> ,所以 a>1.当 0<a<1 时,由 11.?a? 4 4 4 ? ? ? 3 3 3 ? ? ? loga <1 得 0<a< ,所以实数 a 的取值范围是?a?0<a<4或a>1?. 4 4 ? ? 12.(0,1]∪(3,4) [解析] 分段求解.当 0≤x≤1 时,1<3x<4,解得 0<x<log34,故此 时 0<x≤1; 当 x>1 时,结合 1<x2-4x+4<4,解得 3<x<4.故所求不等式的解集是 (0,1]∪(3,4). - ac 1 ac - 13.{2} [解析] 由已知得 y= ,单调递减,所以当 x∈[a,2a]时,y∈ ,ac 1, x 2 - ac 1 ? ? ≥a, ? ?c≥2+loga2, 所以? 2 ?? 因为有且只有一个常数 c 符合题意, 所以 2+loga2=3, ?c≤3, ?ac-1≤a2 ? ? 解得 a=2,所以 a 的取值的集合为{2}. 14.解:f(x)=g(x)+h(x),f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x), - - f(x)+f(-x) lg(10x+1)+lg(10 x+1) lg(10x+10 x+2) h(x) = = = = 2 2 2 (10x+1)2 lg 10x 1 1 1 = lg(10x+1)2- lg10x=lg(10x+1)- x; 2 2 2 2 - f(x)-f(-x) lg(10x+1)-lg(10 x+1) 1 10x+1 1 g(x)= = = lg -x = x. 2 2 2 10 +1 2 1 1 ∴g(x)= x,h(x)=lg(10x+1)- x. 2 2 1 1 15.解:(1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x- x,由条件可知 2x- x=2,即 2 2 22x-2· 2x-1=0,解得 2x=1± 2,∵x>0∴x=log2(1+ 2). 5.D

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1 1 (2)当 t∈[1,2]时,2t22t- 2t+m2t- t≥0, 2 2 即 m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 【难点突破】 - 16.解:(1)∵f(x)=2x+k· 2 x 是奇函数,∴f(-x)=-f(x),x∈R, -x -x x x 即 2 +k· 2 =-(2 +k· 2 ), x 2x ∴(1+k)2 +(k+1)2 =0 对一切 x∈R 恒成立, ∴k=-1. - - - (2)∵对 x∈[0,+∞),均有 f(x)>2 x,即 2x+k· 2 x>2 x 成立, ∴1-k<22x 对 x≥0 恒成立. ∴1-k<(22x)min(x≥0), 又 y=22x 在[0,+∞)上单调递增,∴(22x)min=1, ∴k>0.

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