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空间直角坐标系课件


问题引入
1.数轴Ox上的点 ,用代数的方法怎样表示呢? 数轴 上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 上的点 数轴Ox上的点 ,可用与它对应的实数x表示 表示; 数轴 上的点M,可用与它对应的实数 表示; 上的点
O M x

x

直角坐标平面上的点M,怎样表示呢? 2.直角坐标平面上的点 ,怎样表示呢? 直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x, 直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) 表示. 表示. y

y O

A(x,y) x x

问题引入

数轴上的点
B -2 -1 O 1 A 2 3 x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数 一个实数表示 唯一的一个实数表示

问题引入
y y

平面坐标系中的点

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x, 有序实数对 ,y) 来表示点

O

x

x

讲授新课
1、空间直角坐标系的建立
在空间取定一点O 在空间取定一点

z

(原点 原点) 原点

1

从O出发引三条两两垂直的直 出发引三条 线 (坐标轴 坐标轴) 坐标轴 选定某个长度作为单位长度 x

?
O

1

y

1

作图: 作图: 一般的 使 ∠xOy = 135°,
∠yOz = 90°

Z

右手系
X

Y

二、讲授新课
O为坐标原点 为坐标原点

z

D'

x轴,y轴,z轴叫 坐标轴 ,y轴,z轴叫 通过每两个坐标轴的 平面叫 坐标平面, x 坐标平面,

A' O A

B'

C'

y C B

yOz 平面、 平面、 平面。 分别为 xOy平面、 平面、xOz 平面。

2、空间直角坐标系的划分


z

zx 面


yz 面


xy 面
x


?

O

y



Ⅵ Ⅴ



空间直角坐标系共有八个卦限

3、空间中点的坐标
对于空间任意一点M, 对于空间任意一点 ,要求它的坐标

方法一:过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z 点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R,在其 平面与三个坐标轴的交点分别为P 相应轴上的坐标依次为x,y,z 那么(x,y,z)就叫做点P x,y,z, (x,y,z)就叫做点 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z) P(x,y,z), 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值

z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。 坐标、 坐标、 坐标。
z

?
1

R

?M
1

x? x P

1

? o

?Q

y

y

3、空间中点的坐标

方法二:过M点作xOy面的垂线,垂足为 P0点。 点作xOy面的垂线, xOy面的垂线 xOy中的坐标 依次是P点的横坐标、 点 P 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 0 在坐标系xOy中的坐标x
纵坐标。再过P点作z轴的垂线, 轴上的坐标z 纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P在z轴上的坐标z 1 就是P点的竖坐标。 就是P点的竖坐标z 。
z P1 1 M y Y

?
1

M点坐标为 (x,y,z)
y

x

x X

1

? o

?P

0

二、空间中点的坐标 x称为点 的x坐标 称为点P的 坐标 称为点 y称为点 的y坐标 称为点P的 坐标 称为点 z称为点 的z坐标 称为点P的 坐标 称为点
反之:( 对应唯一的点P 反之:(x,y,z)对应唯一的点 :( 对应唯一的点

z
z

Pz
P

Py
O
x y y

Px

空间的点P ? → 空间的点 ← ? 有序数组

1??1

x

( x, y, z)

二、空间中点的坐标
有序实数组( 在此空间 有序实数组(x,y,z)叫做点 在此空间 )叫做点P在此 直角坐标系中的坐标,记作 ( 直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z) ) 其中x叫做点 的横坐标,y叫做点 的 其中 叫做点P的横坐标, 叫做点P的 叫做点 的横坐标 叫做点 纵坐标,z叫做点 的竖坐标 纵坐标 叫做点P的竖坐标 叫做点

点P

(x,y,z) , ,)

DP=2 CP=4 P(2,4,0) , ,
O C x

z

D P

y

DP′=2 CP′=4 P′P=5 P(2,4,5) , ,
C x O

z P D P′ y

PD=2 PC=4 P′P= - 5 P(2,4,-5) , ,
x

z

O P′


y

如图, OABC ? D′A′B′C′中, = 3 OA , 例2、如图,在长方体 OC = 4 OD′ = 2 写出 ′,C,A′,B′四点的坐标。 D 四点的坐标。 , , z
2 D '(0, 0, 2)

C'
B'
? 4, 2) (3,

A'

4

y

o
3

C (0, 4, 0)
B (3, 4, 0)

x A (3, 0, 0)

三、空间中点的射影点与对称点坐标
z

1.点P(x , y , z) 在下列坐 标平面中的射影点为: 标平面中的射影点为: (1)在xoy平面射影点为 ) 平面射影点为 (x,y,0) P1__________; (2)在xoz平面射影点为 在 平面射影点为 (x,0,z) P2__________; (3)在yoz平面射影点为 在 平面射影点为 (0,y,z) P3__________; ;

P3

P2

P(x,y,z)

O P1 x

y

关于坐标平面对称
2点P(x , y , z) 关于: 点 关于: (x,y,-z) , , ) 对称的点P (1)xoy平面对称的点 1为__________; ) (-x,y,z) , ,) 对称的点P (2)yoz平面对称的点 2为__________; ) (x, -y, z) , , ) 对称的点P (3)xoz平面对称的点 3为__________; )
z
P(x,y,z)

关于谁对称谁不变

O x P1

y

对称点
3.点P(x , y , z) 关于: 点 关于: ( x, ? y , ? z ) (1)x轴对称的点 1为__________; ) 轴对称的点P 轴对称的点 ( ? x, y , ? z ) 轴对称的点P (2)y轴对称的点 2为__________; ) 轴对称的点 ( ? x, ? y , z ) 轴对称的点P (3)z轴对称的点 3为__________; ) 轴对称的点
关于谁对称谁不变 z
P(x,y,z)

O x y

在空间坐标系中画出空间中的点
z
B A
-1 2

A(0,-1,2) B(1,2,3)

2 1

O

y

x

z

一、坐标平面内的点

?
F

C

?
x

1
O

?
1

E

xoy平面上的点竖坐标为 平面上的点竖坐标为0 平面上的点竖坐标为 yoz平面上的点横坐标为 平面上的点横坐标为0 平面上的点横坐标为 xoz平面上的点纵坐标为 平面上的点纵坐标为0 平面上的点纵坐标为

?

?
D

B y

? A1

?

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为 轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 轴上的点纵坐标和竖坐标都为 y轴上的点横坐标和竖坐标都为 轴上的点横坐标和竖坐标都为0 轴上的点横坐标和竖坐标都为 z轴上的点横坐标和纵坐标都为 轴上的点横坐标和纵坐标都为0 轴上的点横坐标和纵坐标都为

B

空间两点中点坐标公式

设点A( ),点 ( 设点 (x1,y1,z1),点 B(x2, y2,z2),则线段 的中点 的坐 ),则线段 的中点M的坐 则线段AB的中点 标如何? 标如何?

x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 M( , , ) 2 2 2

4.3.2 空间两点间的距离公式

两点间距离公式
平面: P P2 |= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) | 1
2 2

类比

猜想

空间: P P2 |= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) + ( z1 ? z2 ) | 1
2 2

2

空间两点间的距离公式 (1) 在空间直角坐标系中,任意一点 在空间直角坐标系中, P(x P(x,y,z)到原点的距离: 到原点的距离:
z

| OP |=

x + y +z
2 2

2

P(x,y,z)
O y

P`(x,y,0)
x

(1) 在空间直角坐标系中,任意两点 在空间直角坐标系中, P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离: 间的距离:
| P1 P2 |= ( x1 ? x 2 ) + ( y1 ? y2 ) + ( z1 ? z 2 )
2 2 2

z

P2(x2,y2,z2) P1(x1,y1,z1) H
O y

M

N

x

练习 课本P138 练习 练习1 课本
1、在空间直角坐标系中标出求A、B两点,并 在空间直角坐标系中标出求A 两点, 求出它们之间的距离: 求出它们之间的距离: (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2) A(6,0,1) B(3,5,7)

解:由两点间距离公式 有: (1) | AB |= ( 2 ? 3) + ( 3 ? 1) + (5 ? 4) = 6
2 2 2

( 2) | AB |= (6 ? 3) + (0 ? 5) + (1 ? 7 ) = 70
2 2 2

课本P138 练习 练习2 课本
2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点 轴上求一点M 使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等 B(1,-3,1)的距离相等. 的距离相等.

解:设 M点的坐标为(0,0, a ) 由题意可知: | 由题意可知:MA |=| MB | 即: (0 ? 1) + (0 ? 0) + (a ? 2)
2 2 2 2 2

= (0 ? 1) + (0 + 3) + (a ? 1) 解得: 解得: a = ?3 ∴ M点的坐标为(0,0,?3)

2

例3

设 P 在 x轴上,它到 P (0, 2,3)的距离为 轴上, 1

的距离的两倍, 的坐标. 到点 P (0,1,?1)的距离的两倍,求点 P 的坐标 2

解 因为 P 在 x 轴上, P点坐标为 ( x ,0,0), 轴上, 点坐标为 设

PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (? 1) + 12 = x 2 + 2 ,
2 2

Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
? x = ±1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

练习

课本P138 练习 练习4 课本

3、如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a, 如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为 的棱长为a |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|, MN的长 |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|,求MN的长. 的长.
z D` A` O A x C` B` M C

N
B

y

例 2 求证以 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形

解 M 1 M 2 = (7 ? 4)2 + (1 ? 3)2 + ( 2 ? 1)2 = 14,
2

M 2 M 3 = (5 ? 7)2 + ( 2 ? 1)2 + ( 3 ? 2)2 = 6,
2

M 3 M1 =
2

(4 ? 5)2 + ( 3 ? 2)2 + (1 ? 3)2 = 6,
原结论成立. 原结论成立

∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,



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