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辽宁师大附中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 2 x 1. (5 分)已知集合 M={x|x≥x },N={x|y=2 ,x∈R},则 M∩N=() A.(0,1) B.[0,1] C.[0,1) D.(0,1] 2. (5 分)已知平面 α、β、γ,则下列命题中正确的是() A.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则 b⊥α B. α⊥β,β⊥γ,则 α∥γ C. α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,则 a⊥b D.α∥β,β⊥γ,则 α⊥γ 3. (5 分)已知命题 ,命题 q: (x+a) (x﹣3)>0,若 p 是 q 的充分不必要条件,

则实数 a 的取值范围是() A.(﹣3,﹣1] B.[﹣3,﹣1]

C.(﹣∞,﹣3]

D.(﹣∞,﹣1] 等于() D.6
2

4. (5 分)在△ ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A.2 B. 3 C. 4

5. (5 分) 一个棱锥的三视图如图 (尺寸的长度单位为 m) , 则该棱锥的全面积是 (单位: m) . ()

A. 6. (5 分)把函数 将图象向右平移 A.

B.

C.

D.

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为() B. C. D.

7. (5 分)函数 y=loga(x+3)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为() A.6 B. 8 C.10 D.12

8. (5 分)已知实数 x,y 满足:

,z=|2x﹣2y﹣1|,则 z 的取值范围是()

A.[ ,5]

B.[0,5]

C.[0,5)

D.[ ,5)

9. (5 分)已知点 E,F 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB,AA1 的中点,点 M,N 分 别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有()

A.0 条

B. 1 条

C. 2 条

D.无数条

10. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,且 acosC+ c﹣2b=1,则角 B 为() A. B. C. D.

c=b,若 a=1,

11. (5 分)已知四面体 P﹣ABC 中,PA=4,AC=2 面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比() A. B. C.

,PB=PC=2

,PA⊥平面 PBC,则四

D.

12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3, 数列{an}满足 a1=﹣1,且 A.﹣3 =2× +1, (其中 Sn 为{an}的前 n 项和) .则 f(a5)+f(a6)=() C. 3 D.2

B . ﹣2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相应位置上. 13. (5 分)数列{an}中, 的前 n 项和为.

14. (5 分)若圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上恰有三个不同的点到直线 l:y=kx 的距离为 2 则 k=.

2

2



15. (5 分)过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于.

+

=1(a>b>0)相交于 A,

16. (5 分)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0 恒成立, 则 x 的取值范围为.

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分)已知函数 f(x)=sinx?cos(x﹣ )+cos x﹣
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值 x 时的取值集合; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= ,b+c=3.求 a 的最小 值. 18. (12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)若 bn=an? an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n?2 >50 成立的正整数 n 的最小值.

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1 平面 ABC,D、E 分别 是 AC、CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平面 A1BD; (2)求二面角 D﹣BA1﹣A 的余弦值; (3)求点 B1 到平面 A1BD 的距离.

20. (10 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

21. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为 e.

(Ⅰ)若 e=

,求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线 y=kx(k>0)与椭圆相交于 A,B 两点,若 的最小值.

?

=0,且

<e≤

,求 k

22. (12 分)已知函数



(1)若函数 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 m,n∈R,且 m≠n,求证 .

辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)已知集合 M={x|x≥x },N={x|y=2 ,x∈R},则 M∩N=() A.(0,1) B.[0,1] C.[0,1) D.(0,1] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出不等式 x≥x 的解集即为集合 M,由 y=2 >0 求出集合 N,再由交集的运算求 M∩N. 解答: 解:由 x≥x 得,0≤x≤1,则集合 M=[0,1], x 由 y=2 >0 得,则集合 N=(0,+∞) , 所以 M∩N=(0,1], 故选:D. 点评: 本题考查交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,指数不等式的性质,属于基 础题. 2. (5 分)已知平面 α、β、γ,则下列命题中正确的是() A.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则 b⊥α B. α⊥β,β⊥γ,则 α∥γ C. α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,则 a⊥b D.α∥β,β⊥γ,则 α⊥γ 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间线面平行和线面垂直的判定方法,性质及几何特征,逐一分析四个答案中 推理过程及结论的正误,可得答案. 解答: 解:若 α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则 b 与 α 的关系不确定,故 A 错误; 若 α⊥β,β⊥γ,则 α 与 γ 可能平行也可能相交(此时交线与 β 垂直) ,故 B 错误; 若 α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,则 a 与 b 可能平行,也可能相交,故 C 错误; 若 α∥β,根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等,结合 β⊥γ 可得 α⊥γ,故 D 正确; 故选:D
2 2 x 2 x

点评: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系,平面与平面之间的位置关 系,熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法,性质及几何特征,是解答的关键. 3. (5 分)已知命题 ,命题 q: (x+a) (x﹣3)>0,若 p 是 q 的充分不必要条件,

则实数 a 的取值范围是() A.(﹣3,﹣1] B.[﹣3,﹣1]

C.(﹣∞,﹣3]

D.(﹣∞,﹣1]

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 求解本题要先对两个命题进行化简,解出其解集,由 p 是 q 的充分不必要条件可以 得出 p 命题中有等式的解集是 q 命题中不等式解集的真子集,由此可以得到参数 a 的不等式, 解此不等式得出实数 a 的取值范围 解答: 解:对于命题 ,解得﹣1<x<1,则 A=(﹣1,1)

对于命题 q: (x+a) (x﹣3)>0,其方程的两根为﹣a 与 3,讨论如下, 若两根相等,则 a=﹣3 满足题意 若﹣a<3,则 a>﹣3 则不等式解集为(﹣∞,﹣a)∪(3,+∞) ,由 p 是 q 的充分不必要条 件,得﹣a≥1,得 a≤﹣1,故符合条件的实数 a 的取值范围﹣3<a≤﹣1 若﹣a>3,即 a<﹣3,则不等式解集为(﹣∞,3)∪(﹣a,+∞) ,满足 p 是 q 的充分不必要 条件,得 a<﹣3, 综上知,符合条件的实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1] 故选 D 点评: 本题考点必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查不等式的解法以及利用充分 不必要条件确定两个不等式解集之间的关系, 以得出参数所满足的不等式, 此是本章中的一种 常见题型. 4. (5 分)在△ ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A.2 B. 3 C. 4 D.6

等于()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由 ? =( ? )? 的值. ,△ ABC 是等腰直角三角形, + =0+ | |?| |cos45°= ×3 ×3× =3, ,再利用向量 和 的夹角等于 45°,两个向量的数

量积的定义,求出

解答: 解:由题意得 AB=3 ? =( )? =

故选 B. 点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,注意向量 用. 和 的夹角等于 45°这一条件的运

5. (5 分) 一个棱锥的三视图如图 (尺寸的长度单位为 m) , 则该棱锥的全面积是 (单位: m) . ()

2

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;图表型. 分析: 由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面 是一个高为 2,底连长也为 2 的等腰直角三角形,底面与垂直于底面的侧面全等,此两面的面 积易求, 另两个与底面不垂直的侧面是全等的, 可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的 高,将垂足与顶点连接,此线即为侧面三角形的高线,求出侧高与底面的连长,用三角形面积 公式求出此两侧面的面积,将四个面的面积加起来即可 解答: 解:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧 面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面连长为 2,故它们的面积皆为 =2, 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此二高线的长度长度相 等,为 , ,同理可

将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为 2 求出侧面底边长为 , = ,

可求得此两侧面的面积皆为

故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = , 故选 A. 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查对三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式 求表面积与体积,本题求的是三棱锥的全面积,做本题时要注意本题中的规律应用,即四个侧 面两两相等,注意到这一点,可以大大降低运算量.三视图的投影规则是主视、俯视 长对正; 主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.

6. (5 分)把函数 将图象向右平移

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为()

A.

B.

C.

D.

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先对函数 ωx+φ= 解答: 解: 函数 再将图象向右平移 ; 个单位,得函数 是其图象的一条对称轴方程. ,根据对 即可得到答案. 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 进行图象变换,再根据正弦函数对称轴的求法,即令

称轴处一定取得最大值或最小值可知

故选 A. 点评: 本小题综合考查三角函数的图象变换和性质.图象变换是考生很容易搞错的问题, 值得重视.一般地,y=Asin(ωx+φ)的图象有无数条对称轴,它在这些对称轴上一定取得最 大值或最小值. 7. (5 分)函数 y=loga(x+3)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为() A.6 B. 8 C.10 D.12

考点: 基本不等式;平均值不等式. 专题: 整体思想. 分析: 根据对数函数的性质先求出 A 的坐标,代入直线方程可得 m、n 的关系,再利用 1 的代换结合均值不等式求解即可. 解答: 解:∵x=﹣2 时,y=loga1﹣1=﹣1, ∴函数 y=loga(x+3)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(﹣2,﹣1)即 A(﹣2,﹣1) , ∵点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, ∴﹣2m﹣n+1=0,即 2m+n=1, ∵mn>0, ∴m>0,n>0, + = + =2+ + +2≥4+2? =8,

当且仅当 m= ,n= 时取等号. 故选 B. 点评: 本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点,运用了整体代换思想,是 2015 届高考考查的重点内容.

8. (5 分)已知实数 x,y 满足:

,z=|2x﹣2y﹣1|,则 z 的取值范围是()

A.[ ,5]

B.[0,5]

C.[0,5)

D.[ ,5)

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域如图,令 u=2x﹣2y﹣1,由线性规划知识求出 u 的最值,取绝 对值求得 z=|u|的取值范围.

解答: 解:由约束条件

作可行域如图,

联立 ∴A(2,﹣1) ,

,解得



联立

,解得







令 u=2x﹣2y﹣1, 则 由图可知,当 , 经过点 A(2,﹣1)时,直线 在 y 轴上的截距最小,

u 最大,最大值为 u=2×2﹣2×(﹣1)﹣1=5; 当 经过点 时,直线 . 在 y 轴上的截距最大,

u 最小,最小值为 u=





∴z=|u|∈[0,5) . 故选:C. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数学转化思想方法,求 z 得取值范围,转化为求 目标函数 u=2x﹣2y﹣1 的取值范围,是中档题. 9. (5 分)已知点 E,F 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB,AA1 的中点,点 M,N 分 别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有()

A.0 条

B. 1 条

C. 2 条

D.无数条

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,以 C 为原点建立空间直角坐标系,利用向 量法求出与平面 ABCD 垂直的直线 MN 只有 1 条. 解答: 解:设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2, 以 C 为原点建立空间直角坐标系, 则 D1(2,0,2) ,E(1,2,0) , C1(0,0,2) ,F(2,2,1) , 设 设 ∴ =λ =t =(﹣1,2,﹣2) , =(2,2,﹣1) ,

,则 M(2﹣λ,2λ,2﹣2λ) , ,则 N(2t,2t,2﹣t) ,

=(2t﹣2+λ,2t﹣2λ,2λ﹣t) ,

∵直线 MN 与平面 ABCD 垂直,



,解得 λ=t= ,

∵方程组只有唯一的一组解, ∴与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有 1 条. 故选:B. 点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系,主要是直线与平面平行的判断和面面平行的 判定与性质,考查空间想象能力和简单推理能力.

10. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,且 acosC+ c﹣2b=1,则角 B 为() A. B. C. D.

c=b,若 a=1,

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,整理求出 cosA 的值,求出 A 的度数,利用余弦定理列 出关系式,把 a 与 sinA 的值代入得到关于 b 与 c 的方程,与已知等式联立求出 b 与 c 的值, 再利用正弦定理求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:已知等式利用正弦定理化简得:sinAcosC+ =sinAcosC+cosAsinC, 由 sinC≠0,整理得:cosA=
2 2 2

sinC=sinB=sin(A+C)

,即 A=


2 2

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 1=b +c ﹣ 与 c﹣2b=1 联立,解得:c= ,b=1, 由正弦定理 = ,得:sinB= =

bc①,

= ,

∵b<c,∴B<C, 则 B= .

故选:B. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键. 11. (5 分)已知四面体 P﹣ABC 中,PA=4,AC=2 面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比() A. B. C. ,PB=PC=2 ,PA⊥平面 PBC,则四

D.

考点: 球的体积和表面积;球内接多面体. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 确定△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形,分别求出四面体 P﹣ABC 的内切 球半径与外接球半径,即可得出结论. 解答: 解:由题意,已知 PA⊥面 PBC,PA=4,PB=BC=2 ,AC=2 所以,由勾股定理得到:AB=2 ,PC=2 所以,△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形 等边三角形 PBC 所在的小圆的直径 PD= 那么,四面体 P﹣ABC 的外接球直径 2R= =4 =4 ,所以,R=2

VP﹣ABC= S△ PBC?PA= ? 表面积 S= ?2 ?4?2+

?12?4=4 ?12+ ?2 = ?16 ?5=16 r,所以 r= ,

设内切球半径为 r,那么 4

所以四面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比

=



故选:C. 点评: 本题考查四面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

12. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3, 数列{an}满足 a1=﹣1,且 A.﹣3 =2× +1, (其中 Sn 为{an}的前 n 项和) .则 f(a5)+f(a6)=() C. 3 D.2

B . ﹣2

考点: 数列与函数的综合;函数的周期性. 专题: 综合题;压轴题;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 先由函数 f(x)是奇函数,f( ﹣x)=f(x) ,推知 f(3+x)=f(x) ,得到 f(x)是 以 3 为周期的周期函数.再由 a1=﹣1,且 Sn=2an+n,推知 a5=﹣31,a6=﹣63 计算即可. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ∵f( ﹣x)=f(x) , ∴f( ﹣x)=﹣f(﹣x) ∴f(3+x)=f(x) ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. ∵数列{an}满足 a1=﹣1,且 =2× +1,

∴a1=﹣1,且 Sn=2an+n, ∴a5=﹣31,a6=﹣63 ∴f(a5)+f(a6)=f(﹣31)+f(﹣63)=f(2)+f(0)=f(2)=﹣f(﹣2)=3 故选 C. 点评: 本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式,在函数性质综合 应用中相互结合转化中奇偶性,对称性和周期性之间是一个重点. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相应位置上. 13. (5 分)数列{an}中, 的前 n 项和为 .

考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列求和公式求数列 an 的通项公式得 ,然后用裂项求和得到 解答: 解:设数列 bn 的前 n 项和为 Sn 由题意可得 ∴ ∴ ,代入 . 得到

∴Sn=b1+b2+…+bn﹣1+bn = = = ∴ .

点评: 本题考查等差数列求和公式,重点考查是利用通项变形将通项公式裂成两项的差, 通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限的几项的和. 14. (5 分)若圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上恰有三个不同的点到直线 l:y=kx 的距离为 2 则 k=2 或 2﹣ .
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标和圆的半径,根据图象得到圆心到直线 l 的距离等于 ,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离 d,让 d= 列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: 2 2 (x﹣2) +(y﹣2) =18,得到圆心坐标为(2,2) ,半径 r=3 , 根据题意画出图象,如图所示: 根据图象可知:圆心到直线 l 的距离 d= 化简得:k ﹣4k+1=0,
2

=3

﹣2



解得:k=

=2±



则 k=2+ 或 2﹣ . 故答案为:2+ 或 2﹣

点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,灵活运用点到直线的距离公式化简求值, 考查了数形结合的数学思想,是一道中档题.本题的关键是根据题意找出圆心到直线 l 的距离 为 .

15. (5 分)过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C:

+

=1(a>b>0)相交于 A,

B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为﹣ ,即可求出椭圆 C 的离心率.

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵M 是线段 AB 的中点, ∴ =1, =1,

①,

②,

∵直线 AB 的方程是 y=﹣ (x﹣1)+1, ∴y1﹣y2=﹣ (x1﹣x2) ,

∵过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: M 是线段 AB 的中点,

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,

∴①②两式相减可得 ∴a= ∴ ∴e= = . . b, =b,

,即



故答案为:

点评: 本题考查椭圆的离心率,考查学生的计算能力,正确运用点差法是关键. 16. (5 分)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0 恒成立, 则 x 的取值范围为(﹣2, ) .
3

考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 知原函数在 R 上单调递增,且为奇函数,由 f(mx﹣2)+f(x)<0 恒成立得 mx﹣2 <﹣x?xm+x﹣2<0,对所有 m∈[﹣2,2]恒成立,然后构造函数 f(m)=xm+x﹣2,利用该函 数的单调性可解得 x 的范围. 解答: 解:易知原函数在 R 上单调递增,且为奇函数,故 f(mx﹣2)+f(x)<0?f(mx ﹣2)<﹣f(x)=f(﹣x) ,此时应有 mx﹣2<﹣x?xm+x﹣2<0,对所有 m∈[﹣2,2]恒成立, 令 f(m)=xm+x﹣2,此时只需 即可,解之得﹣2<x< .

故答案为: (﹣2, ) 点评: 本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用,在解决不等式恒成立问题时注意变 换主元的方法,是个中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分)已知函数 f(x)=sinx?cos(x﹣ )+cos x﹣
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值 x 时的取值集合; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= ,b+c=3.求 a 的最小 值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)先对函数解析式化简,利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时 x 的集 合.

(Ⅱ)利用 f(A)求得 A,进而根据余弦定理构建 b,c 和 a 的关系,利用基本不等式的知识 求得 a 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)解:f(x)=sinx( = sinxcosx+ cos x sin2x+ cos2x)+ )+ sin(2x+ )=1,
2

cosx+ sinx)+cos x﹣

2

= (

= sin(2x+

∴函数 f(x)的最大值为 .当 f(x)取最大值时 ∴2x+ =2kπ+ (k∈Z) ,解得 x=kπ+ (k∈Z) , .

故 x 的取值集合为{x|x=x=kπ+

,k∈Z}. )+ = ,化简得 sin(2A+ )=

(Ⅱ)由题意 f(A)= sin(2A+ ∵A∈(0,π) , ∴ <2A+ = ;
2

< ,



∴2A+ ∴A=

在△ ABC 中,根据余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccos ∵b+c=3. ∴bc≤(
2

2

2

=(b+c) ﹣3bc,

2

)= ,

2

∴a ≥ ,当且仅当 b=c= 时取最小值 . 点评: 本题主要考查三角函数恒等变换的运用,余弦定理及基本不等式的基本知识. 18. (12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)若 bn=an? an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n?2 >50 成立的正整数 n 的最小值.

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,依题意,可得到关于 a1 与 q 的方程组, 解之即可求得数列{an}的通项公式;

(2) (1)得 an=2 ,再由 bn=an?
2 3

n

an,可得 bn=﹣n?2 ,于是 Sn=﹣(1×2+2×2 +…+n?2 ) ,
n n+1 n+1 n+1

n

2

n

利用错位相减法即可求得 Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =2 ﹣2﹣n?2 n+1P ,解不等式 Sn+n?2P >50 即可求得使之成立的正整数 n 的最小值. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28, 可得 a3=8,∴a2+a4=20,…(2 分) 即 ,解之得 或 …(4 分)

又∵数列{an}单调递增,所以 q=2,a1=2, n ∴数列{an}的通项公式为 an=2 . …(6 分) (2)因为
2 n



所以 Sn=﹣(1×2+2×2 +…+n?2 ) , 2 3 n n+1 2Sn=﹣[1×2 +2×2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 ], 2 3 n n+1 n+1 n+1 两式相减,得 Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =2 ﹣2﹣n?2 . …(10 分) n+1 n+1 n+1 要使 Sn+n?2 >50,即 2 ﹣2>50,即 2 >52. n+1 5 易知:当 n≤4 时,2 ≤2 =32<52; n+1 6 当 n≥5 时,2 ≥2 =64>52.故使 n+1 Sn+n?2 >50 成立的正整数 n 的最小值为 5.…(12 分) 点评: 本题考查数列的求和,着重考查等比数列的通项公式的应用,突出考查错位相减法 求和,考查运算、分析、求解的能力,属于中档题. 19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1 平面 ABC,D、E 分别 是 AC、CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平面 A1BD; (2)求二面角 D﹣BA1﹣A 的余弦值; (3)求点 B1 到平面 A1BD 的距离.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系,确定向量坐标,利用数量积为 0,即可证得结论;

(2)确定面 DA1B 的法向量、面 AA1B 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得二面角 D ﹣BA1﹣A 的余弦值; (3) =(0,2,0) ,平面 A1BD 的法向量取 =(2,1,0) ,利用距离公式可求点 B1 到

平面 A1BD 的距离 解答: (1)证明:以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,E(﹣1,﹣1,0) ,A1(1,﹣2, 0) ,C1(﹣1,﹣2,0) ,B(0,0, ) ∴ ∴ ∴ 又 A1D 与 BD 相交 ∴AE⊥面 A1BD =(﹣2,﹣1,0) , =(﹣1,2,0) , =(0,0,﹣ )

…(5 分) =(x1,y1,z1) ,则 ,取 =(2,1,0)…

(2)解:设面 DA1B 的法向量为 (7 分) 设面 AA1B 的法向量为 (9 分) ∴cos =

=(x2,y2,z2) ,则

,取

= ( 3, 0,

)…

=

=

故二面角 D﹣BA1﹣A 的余弦值为 (3)解:

…(10 分) =(2,1,0)

=(0,2,0) ,平面 A1BD 的法向量取

则 B1 到平面 A1BD 的距离为 d=

|=

…(13 分)

点评: 本题考查向量知识的运用,考查线面垂直,考查面面角,考查点到面的距离,考查 学生的计算能力,属于中档题.

20. (10 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 a=2 代入原函数解析式中,求出函数在 x=1 时的导数值,直接利用直线方程 的点斜式写直线方程; (2)求出函数的导函数,由导函数可知,当 a≤0 时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝) 上单调递增,函数无极值,当 a>0 时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段, 利用原函数的单调性得到函数的极值. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx, , .

因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣2=0 (2)由 ,x>0 知:

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的极 值,考查了分类讨论得数学思想,属中档题.

21. (12 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0) ,离心率为 e.

(Ⅰ)若 e=

,求椭圆的方程; ? =0,且 <e≤ ,求 k

(Ⅱ)设直线 y=kx(k>0)与椭圆相交于 A,B 两点,若 的最小值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)先根据椭圆方程,根据条件列出关于 a,b,c 的方程,求出 a,b,c 即可得到 结论.

(II)因为直线和椭圆有两个不同的交点,所以两方程联立化成关于 x 的一元二次方程,可运 用设而不求的办法把设出的 A,B 点的坐标代入向量的数量积公式,求出 k 关于 a 的函数表达 式,进一步整理后求出函数的值域即可. 解答: 解: (I)由题得:c=3, = ?a=2 ,b= .

故椭圆方程为



(II)由

得(b +a k )x ﹣a b =0,

2

2 2

2

2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴x1+x2=0,x1x2=

,又

=(3﹣x1,﹣y1) ,

= (3﹣x2, ﹣y2) , ∴

= (1+k ) x1x2+9=0, 即

2



∴k =

2

=﹣1﹣



∵ ∴2 ∴k
2

<e≤ ≤a≤3

, ,12≤a ≤18, ]∪[ ,+∞) .
2

,即 k∈(﹣∞,﹣

点评: 本题主要考查椭圆的基本性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了学生的运算 能力,一般涉及直线与圆锥曲线的交点问题,常利用方程思想.此题是中档题.

22. (12 分)已知函数



(1)若函数 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 m,n∈R,且 m≠n,求证 .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)根据 f(x)的解析式求出 f(x)的导函数,通分后根据函数 f(x)在(0,+∞) 上为单调增函数,得到分子大于 0 恒成立,解出 2a﹣2 小于等于一个函数关系式,利用基本不 等式求出这个函数的最小值, 列出关于 a 的不等式, 求出不等式的解集即可得到 a 的取值范围;

(2)把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形,即要证 ln ﹣

>0,根据(1)得到 h(x)在 x 大于等于 1 时单调递增,且 大于 1,利用函数的单调性可得 证. 解答: 解: (1)f′(x)= ﹣

=

=



因为 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,所以 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立 2 即 x +(2﹣2a)x+1≥0 在(0,+∞)上恒成立, 2 当 x∈(0,+∞)时,由 x +(2﹣2a)x+1≥0, 得:2a﹣2≤x+ , 设 g(x)=x+ ,x∈(0,+∞) , 则 g(x)=x+ ≥2 =2,当且仅当 x= 即 x=1 时,g(x)有最小值 2,

所以 2a﹣2≤2,解得 a≤2,所以 a 的取值范围是(﹣∞,2];

(2)要证

,只需证





即 ln >

,即 ln ﹣

>0,

设 h(x)=lnx﹣



由(1)知 h(x)在(1,+∞)上是单调增函数,又 >1,

所以 h( )>h(1)=0,即 ln ﹣

>0 成立,

得到



点评: 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,掌握不等式恒成立时所满 足的条件,会利用基本不等式求函数的最小值,是一道中档题.在证明第(2)时注意利用第 (1)问中的结论.



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