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2017年朝阳区高三期末理科数学含答案


北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期统一考试

高三年级数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2017.1

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
x 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 2 ? 0 ,则 (?U A) ? B ?

?

?

?

?

A. { x | x ? 2 } C. { x | 0 ? x ? 2} 2.在复平面内,复数 A.第一象限

B.

?x

0 ? x ? 2?

D. { x | x ? 2 }

2 对应的点位于 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间[0,1] 上单调递增的是 A. y ? cos x B. y ? ? x2 C. y ? ( )

1 2

x

D. y ?| sin x |

x 3 4.若 a ? 0 ,且 a ? 1 ,则“函数 y ? a 在 R 上是减函数”是“函数 y ? (2 ? a) x 在 R 上

是增函数 ”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.从 0,1, 2,3, 4 中任选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数的个数是 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

6.某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角 三角形,则该四棱锥的体积为
2

A.

2 2 3

B.

4 3

1

1

正视图

侧视图

C. 2

D. 4

1

俯视图

7 . 在 Rt?ABC 中 , ?A ? 90? , 点 D 是 边 BC 上 的 动 点 , 且 AB ? 3 ,

??? ?

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? 4 , AD ? ? AB ? ? AC ( ? ? 0, ? ? 0 ),则当 ?? 取得最大值时, AD 的值为
A.

7 2

B. 3

C.

5 2

D.

12 5

8.某校高三(1)班 32 名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试.跳远和掷实心球两 项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人, 这两项成绩都不合格的有 3 人, 则这两项成绩 都合格的人数是 A. 23 B. 20 C. 21

19 D.

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 b 等于 4 b2
开始



10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 2 , S2 ? a3 , 则 a2 = , S10 ? . .

S ? 0, i ? 1
i ? 6?
是 否

11.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的结果为

i ?i?2
12.在△ ABC 中,已知 ?B ? 45?, AC ? 2BC ,则 ?C ? .

输出 S 结束

S ? S ? 2i

? x ? y ? 0, 13.设 D 为不等式组 ? ? x ? y ? 0, 表示的平面区域,对于区域 D 内除原点外的任一点 A( x, y ) , ? x +3y ? 3 ?
则 2 x ? y 的最大值是_______;

x? y x2 ? y 2

的取值范围是



14.若集合 M 满足:?x, y ? M ,都有 x ? y ? M , xy ? M ,则称集合 M 是封闭的.显然, 整数集 Z ,有理数集 Q 都是封闭的.对于封闭的集合 M ( M ? R ) , f : M ? M 是从 集合 M 到集合 M 的一个函数, ①如果 ?x, y ? M 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,就称 f 是保加法的;

2

②如果 ?x, y ? M 都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,就称 f 是保乘法的; ③如果 f 既是保加法的,又是保乘法的,就称 f 在 M 上是保运算的. 在上述定义下, 集合

?

3m ? n m, n ? Q

?

封闭的(填“是” 或“否” ) ;若函数 f ( x ) .

在 Q 上保运算,并且是不恒为零的函数,请写出满足条件的一个函数 f ( x)=

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ? 16. (本小题满分 13 分) 甲、 乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训. 现分别从他们在培训期间参加的若干 次测试成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从中选派一人参加正式比赛,从所抽取的两组数据分析,你认为选派哪位同 学参加较为合适?并说明理由; (Ⅲ)若对甲同学在今后的 3 次测试成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次数 为 ?(将甲 8 次成绩中高于 80 分的频率视为概率) , 求 ? 的分布列及数学期望 E? . 17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为正方形,四边形 ABEF 为直角梯形, 且 AF // BE, AB ? BE, 平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB, E

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 4

AB ? BE ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC // 平面 DEF ; (Ⅱ)若二面角 D ? AB ? E 为直二面角, (i)求直线 AC 与平面 CDE 所成角的大小; (ii)棱 DE 上是否存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF ?
3

F

A

B

D

C

若存在,求出

DP 的值;若不存在,请说明理由. DE

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 上的动点 P 与其顶点 A(? 3,0) , B( 3,0) 不重合. 3 2

(Ⅰ)求证:直线 PA 与 PB 的斜率乘积为定值; (Ⅱ)设点 M , N 在椭圆 C 上, O 为坐标原点,当 OM //PA , ON //PB 时,求 ?OMN 的 面积.

19.(本小题满分 14 分)
2 设函数 f ( x) ? ln( x ?1) ? ax ? x ? 1, g ( x) ? ( x ?1)e ? ax , a ? R .

x

2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g ( x) 有两个零点,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)证明 f ( x) ? g ( x) .

20. (本小题满分 13 分) 设 m,n(3 ? m ? n) 是 正 整 数 , 数 列 Am : a1 ,a2 ,L ,am , 其 中 ai (1? i ? m)是 集 合

{1, 2,3,L ,n} 中 互 不 相 同 的 元 素 . 若 数 列 Am 满 足 : 只 要 存 在 i, ( j 1 ? i ? j ? m) 使
( 1 ? k ? m) 有 ai ? a j ? ak ,则称数列 Am 是“好数列” . ai ? a j ? n ,总存在 k
(Ⅰ)当 m ? 6,n ? 100 时, (ⅰ)若数列 A6 :11,78,x, y,97,90 是一个“好数列” ,试写出 x, y 的值,并判断数 列: 11,78,90,x,97, y 是否是一个“好数列”? (ⅱ)若数列 A6 :11, 78,a,b,c,d 是“好数列” ,且 a ? b ? c ? d ,求 a,b,c,d 共有 多少种不同的取值? (Ⅱ)若数列 Am 是“好数列” ,且 m 是偶数,证明:

a1 ? a2 ? L ? am n ? 1 ? . m 2

4

北京市朝阳区 2016-2017 学年度第一学期高三年级统一考试

数学答案(理工类)
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B

2017.1

7 C

8 B

二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12 13 14 是, f ( x) ? x, x ? Q

3

4, 110

30

105?

9 , [? 2,0] 4

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1

? 3 sin 2x ? cos2x
? ? 2sin(2 x ? ) . 6
所以 f ( x) 的最小正周期为 ? . ?????????????????????7 分 (Ⅱ)因为 ?

? ? ? ? 2? ? x ? , 所以- ? 2 x ? ? . 6 4 6 6 3 ? ? ? 当 2 x ? ? , 即x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 ; 6 2 6 ? ? ? 当 2 x ? ? ? , 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ?1 .??????????13 分 6 6 6

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)作出茎叶图如下:



9 8 8 4 2 1 5 3

7 8 9

5 0 0 3 5 0 2 5

?????????????4 分

(Ⅱ)派甲参赛比较合适.理由如下:

x甲 ? x乙 ?

1 ? 70 ? 2 ? 80 ? 4 ? 90 ? 2 ? 8 ? 9 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 3 ? 5? ? 85 , 8 1 ? 70 ?1 ? 80 ? 4 ? 90 ? 3 ? 5 ? 0 ? 0 ? 3 ? 5 ? 0 ? 2 ? 5? ? 85 , 8
5

1 2 2 2 2 2 s甲2 ? ?? 78 ? 85? ? ? 79 ? 85? ? ?81 ? 85? ? ?82 ? 85? ? ?84 ? 85? ? 8?

?88 ? 85?

2

2 2 ? ? 93 ? 85? ? ? 95 ? 85 ? ? ? 35.5 , ?

1 2 s乙2 ? ?? 7 5? 8 ?5 ? ? ? 8

8? 0

? 85 ??
2

8 ?? 0

2

8? 5 ?

? 8 3? ?
2

8 ?5

?? 8 5
2

? 85

? 90 ? 85?

2

2 2 ? ? 92 ? 85 ? ? ? 95 ? 85 ? ? ? 41. ?

因为 x甲 ? x乙 , s甲2 ? s乙2 , 所以,甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ??????????8 分 注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他 合理回答,同样给分.如 派乙参赛比较合适.理由如下:

3 从统计的角度看,甲获得 85 分以上(含 85 分)的频率为 f1 ? , 8
乙获得 85 分以上(含 85 分)的频率为 f2 ? 因为 f 2 ? f1 ,所以派乙参赛比较合适. (Ⅲ)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A,

4 1 ? . 8 2

P ? A? ?

6 3 ? . ????????????????????? 9 分 8 4

3 随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,且 ξ ? B(3 , ) . 4
?3? ?1? ∴ P ?? ? k ? ? C ? ? ? ? ? 4? ? 4?
k 3 k 3? k

, k ? 0 ,1, 2 , 3.

所以变量 ? 的分布列为: ? 0 P

1

2

3

1 64

9 64

27 64

27 64

?????????????????????11 分

?? ? 0 ?

1 9 27 27 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 64 64 64 64 4 3 9 ? .) 4 4
??????????????????13 分

(或 ?? ? nP ? 3 ?

6

17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD ,设 AC ? BD ? O , 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 O 为 BD 中点. 设 G 为 DE 的中点,连结 OG, FG , F G A O D C B E

1 BE . 2 1 由已知 AF //BE ,且 AF ? BE , 2
则 OG // BE ,且 OG ? 所以 AF //OG, OG ? AF . 所以四边形 AOGF 为平行四边形. 所以 AO // FG ,即 AC // FG . 因为 AC ? 平面 DEF , FG ? 平面 DEF , 所以 AC //平面 DEF .

????????????????????5 分

(Ⅱ)由已知, AF // BE, AB ? BE , 所以 AF ? AB . 因为二面角 D ? AB ? E 为直二面角, 所以平面 ABCD ? 平面 ABEF . 所以 AF ? 平面 ABCD , 所以 AF ? AD, AF ? AB . 四边形 ABCD 为正方形,所以 AB ? AD . 所以 AD, AB, AF 两两垂直. 以 A 为原点, AD, AB, AF 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系(如图) . 因为 AB ? BE ? 2 AF ? 2 , 所以 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C(2, 2, 0), D(2, 0, 0), E(0, 2, 2), F (0, 0,1) , 所以 AC ? (2, 2,0), CD ? (0, ?2,0), CE ? (?2,0, 2) . (i)设平面 CDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , D x z X C A B y z X z z X F P E



??? ?

??? ?

??? ?

7

??? ? ? n ? CD ? 0, ? y ? 0, ??2 y ? 0, ? 由 ? ??? 得? 即? ? ??2 x ? 2 z ? 0. ? x ? z ? 0. ? ? n ? CE ? 0
取 x ? 1 ,得 n ? (1, 0,1) . 设直线 AC 与平面 CDE 所成角为 ? , 则 sin ? ? cos? AC, n? ?

??? ?

2 1 ? , 2 2? 2 2

因为 0 ? ? ? 90? ,所以 ? ? 30? . 即直线 AC 与平面 CDE 所成角的大小为 30 ? . ????????????9 分 (ii)假设棱 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF .

??? ? ??? ? DP ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 DP ? ? DE . DE ??? ? 设 P( x, y, z ) ,则 DP ? ( x ? 2, y, z) ,
设 因为 DE ? (?2, 2, 2) ,所以 ( x ? 2, y, z ) ? ? (?2, 2, 2) . 所以 x ? 2 ? ?2? , y ? 2? , z ? 2? ,所以 P 点坐标为 (2 ? 2? , 2? , 2? ) . 因为 B(0, 2, 0) ,所以 BP ? (2 ? 2?, 2? ? 2, 2? ) .

??? ?

??? ?

??? ? ???? ???? ??? ? ? ? BP ? DF ? ?2(2 ? 2? ) ? 2? ? 0, 又 DF ? (?2,0,1), EF ? (0, ?2, ?1) ,所以 ? ??? ? ??? ? ? ? BP ? EF ? ?2(2? ? 2) ? 2? ? 0.
解得 ? ? 因为

2 . 3

2 DP 2 ? [0,1] ,所以 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF ,且 ? . 3 DE 3

(另解)假设棱 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF .

??? ? ??? ? DP ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 DP ? ? DE . DE ??? ? 设 P( x, y, z ) ,则 DP ? ( x ? 2, y, z) ,
设 因为 DE ? (?2, 2, 2) ,所以 ( x ? 2, y, z ) ? ? (?2, 2, 2) . 所以 x ? 2 ? ?2? , y ? 2? , z ? 2? ,所以 P 点坐标为 (2 ? 2? , 2? , 2? ) . 因为 B(0, 2, 0) ,所以 BP ? (2 ? 2?, 2? ? 2, 2? ) . 设平面 DEF 的一个法向量为 m ? ( x0 , y0 , z0 ) ,
8

??? ?

??? ?

???? ???? ??? ? ? m ? DF ? 0, ? 则 ? ??? 由 DF ? (?2,0,1), EF ? (0, ?2, ?1) , ? ? ?m ? EF ? 0
得?

??2 x0 ? z0 ? 0, ??2 y0 ? z0 ? 0.

取 x0 ? 1 ,得 m ? (1, ?1, 2) . 由 BP ? ?m ,即 (2 ? 2? , 2? ? 2, 2? ) ? ? (1, ?1, 2) ,

??? ?

? 2 ? 2? ? ? , ? 可得 ? 2? ? 2 ? ? ? , ? 2? ? 2 ? . ?
因为

解得 ? ?

2 . 3

2 DP 2 ? [0,1] ,所以 DE 上存在点 P ,使得 BP ? 平面 DEF ,且 ? . 3 DE 3
????????????????????????14 分

18. (本小题满分 13 分)

x0 2 y0 2 ? ?1. 解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ) ,则 3 2
所以直线 PA 与 PB 的斜率乘积为

y0

x0 ? 3 x0 ? 3
2 . 3

?

y0

?

2 2 y0 6 ? 2 x0 2 ? ? ? .??4 分 2 2 x0 ? 3 3( x0 ? 3) 3

(Ⅱ)依题直线 OM , ON 的斜率乘积为 ?

①当直线 MN 的斜率不存在时,直线 OM , ON 的斜率为 ?

6 ,设直线 OM 的方程 3

? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6, 6 6 ? 是y? 得x?? , y ? ?1 . x ,由 ? 6 3 2 x, ? y? 3 ?
取M(

6 6 6 . ,1) ,则 N ( , ?1) .所以 ?OMN 的面积为 2 2 2

②当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程是 y ? kx ? m , 由?

y ? kx ? m, 2 2 2 得 (3k ? 2) x ? 6kmx ? 3m ? 6 ? 0 . 2 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?
2

因为 M , N 在椭圆 C 上, 所以 ? ? 36k m ? 4(3k ? 2)(3m ? 6) ? 0 ,解得 3k 2 ? m2 ? 2 ? 0 .
2 2 2 2

9

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

3m2 ? 6 6km x x ? , . 1 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

MN ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (k 2 ? 1)[(

?6km 2 3m2 ? 6 ) ? 4 ? ] 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

?2

6(k 2 ? 1)(3k 2 ? m2 ? 2) . (3k 2 ? 2) 2
m k 2 ?1


设点 O 到直线 MN 的距离为 d ,则 d ?

所以 ?OMN 的面积为 S?OMN ?

1 6m2 (3k 2 ? m2 ? 2) ?????? ①. ? d ? MN ? 2 (3k 2 ? 2) 2
2 yy 2 ,所以 1 2 ? ? . 3 x1 x2 3

因为 OM //PA , ON //PB ,直线 OM , ON 的斜率乘积为 ?

所以

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 2m 2 ? 6k 2 ? . ? ? 3m 2 ? 6 x1 x2 x1 x2 x1 x2
2m 2 ? 6k 2 2 ? ? ,得 3k 2 ? 2 ? 2m2 . ?????? ② 2 3m ? 6 3



由①②,得 S?OMN ?

6m2 (3k 2 ? m2 ? 2) 6m2 (2m2 ? m2 ) 6 . ? ? 2 2 4 (3k ? 2) 4m 2
6 . 2
?????????????13 分

综上所述, S ?OMN ? 19. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 (1, ??) , f ?( x) ?

x(2ax ? 2a ? 1) . x ?1

当 a ? 1 时, f ?(2) ? 4a ? 2 ? 6 , f (2) ? 4a ? 3 ? 7 . 所以函数 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 7 ? 6( x ? 2) . 即 y ? 6x ? 5 .
x

?????????????4 分

(Ⅱ)函数 g ( x) 的定义域为 R ,由已知得 g?( x) ? x(e ? 2a) . ①当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? ( x ?1)e 只有一个零点;
x

10

②当 a ? 0 ,因为 e ? 2a ? 0 ,
x

当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增. 又 g (0) ? ?1 , g (1) ? a , 因为 x ? 0 ,所以 x ?1 ? 0, e x ? 1,所以 ex ( x ?1) ? x ?1,所以 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 取 x0 ?

?1 ? 1 ? 4a ,显然 x0 ? 0 且 g ( x0 ) ? 0 2a

所以 g (0) g (1) ? 0 , g ( x0 ) g (0) ? 0 . 由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点. ③当 a ? 0 时,由 g?( x) ? x(e ? 2a) ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? ln(?2a) .
x

ⅰ) 当 a ? ?

1 ,则 ln(?2a) ? 0 . 2

当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 变化情况如下表:

x
g ?( x)
g ( x)

(??, 0)
+ ↗

0

(0,ln(?2a))
- ↘

ln(?2a)
0

(ln(?2a), ??)
+ ↗

0
?1

注意到 g (0) ? ?1 ,所以函数 g ( x) 至多有一个零点,不符合题意. ⅱ) 当 a ? ?

1 ,则 ln( ? 2) a ? 0 , g ( x) 在 (??, ??) 单调递增,函数 g ( x) 至多有一个零点, 2

不符合题意. 若a ? ?

1 ,则 ln(?2a) ? 0 . 2

当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 变化情况如下表:

x
g ?( x)
g ( x)

(??, ln(?2a))
+ ↗

ln(?2a)
0

(ln(?2a),0)
- ↘
11

0
0
?1

(0, ??)
+ ↗

注意到当 x ? 0, a ? 0 时, g ( x) ? ( x ?1)e ? ax ? 0 , g (0) ? ?1 ,所以函数 g ( x) 至多
x 2

有一个零点,不符合题意. 综上, a 的取值范围是 (0, ??).
x

????????????????9 分

(Ⅲ)证明: g ( x) ? f ( x) ? ( x ?1)e ? ln( x ?1) ? x ?1. 设 h( x) ? ( x ?1)e ? ln( x ?1) ? x ?1,其定义域为 (1, ??) ,则证明 h( x) ? 0 即可.
x
x 因 为 h?( x ) ? x e ?

x 1 x ? x (e ? ), 取 x1 ? 1 ? e?3 , 则 h?( x1 ) ? x1 (ex1 ? e3 ) ? 0 , 且 x ?1 x ?1

h?( 2) ? 0.
又因为 h??( x) ? ( x ? 1)e ?
x

1 ? 0 ,所以函数 h?( x) 在 (1, ??) 上单增. ( x ? 1) 2
x0

所以 h?( x) ? 0 有唯一的实根 x0 ? (1, 2) ,且 e

?

1 . x0 ? 1

当 1 ? x ? x0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, h?( x) ? 0 . 所以函数 h( x) 的最小值为 h( x0 ) . 所以 h( x) ? h( x0 ) ? ( x0 ?1)e 0 ? ln( x0 ?1) ? x0 ?1
x

? 1 ? x0 ? x0 ?1 ? 0 .
所以 f ( x) ? g ( x). 20. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ) (ⅰ) x ? 89, y ? 100 ,或 x ? 100, y ? 89 ; 数列: 11,78,90,x,97, y 也是一个“好数列” . ?????????????3 分 (ⅱ)由(ⅰ)可知,数列必含 89 ,100 两项,
2 若剩下两项从 90,91,L ,99 中任取,则都符合条件,有 C10 ? 45 种;

????????????????????14 分

若剩下两项从 79,80,L ,88 中任取一个,则另一项必对应 90,91,L ,99 中的一个, 有 10 种; 若取 68 ? a ? 77 ,则 79 ?11 ? a ? 88 , 90 ? 22 ? a ? 99 , “好数列”必超过 6 项,不 符合; 若取 a ? 67 ,则 11 ? a ? 78 ? A6 ,另一项可从 90,91,L ,99 中任取一个,有 10 种;
12

若取 56 ? a ? 67 ,则 67 ?11 ? a ? 78 , 78 ? 22 ? a ? 89 , “好数列”必超过 6 项,不 符合; 若取 a ? 56 ,则 b ? 67 ,符合条件, 若取 a ? 56 ,则易知“好数列”必超过 6 项,不符合; 综上, a,b,c,d 共有 66 种不同的取值. ???????????????7 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)易知,一个“好数列”各项任意排列后,还是一个“好数列” . 又“好数列” a1 ,a2 ,L ,am 各项互不相同,所以,不妨设 a1 ? a2 ? L ? am . 把数列配对: a1 ? am ,a2 ? am?1 ,L ,am ? am ,
2 2 ?1

只要证明每一对和数都不小于 n ? 1 即可. 用反证法,假设存在 1 ? j ?

m ,使 a j ? am?1? j ? n , 2

因为数列单调递增,所以 am? j ?1 ? a1 ? am? j ?1 ? a2 ? am? j ?1 ? L ? a j ? am? j ?1 ? n , 又因为“好数列” ,故存在 1 ? k ? m ,使得 ai ? am?1? j ? ak (1 ? i ? j ) ,

?j , 显然 ak > am?1? j , 故 k ?m ? 1 所以 ak 只有 j ? 1 个不同取值, 而 ai ? am?1? j 有 j
个不同取值,矛盾. 所以, a1 ? am ,a2 ? am?1 ,L ,am ? am 每一对和数都不小于 n ? 1 ,
2 2 ?1

故 a1 ? a2 ? L ? am ?

a ? a ? L ? am n ? 1 m (n ? 1) ,即 1 2 ? .???????13 分 2 m 2

13



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