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【数学】3.2 一元二次不等式及其解法 课件2(人教A版必修5)


第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法

问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司.

分析:假设一次上网 x 小时( 0 ? x ? 17, x ? N * ),公司 A 收 取的费用为: 1.5x (元) 公司 B 收取的费用为: x(35 ? x) x{1.7 ? [1.7 ? ( x ? 1) 0.1]} (元),即 (元 ) 20 2 x(35 ? x) 如果选择 A 公司,则 ≥1.5x (0<x<17)要成立. 20 2 整理得:x ? 5x ? 0

这是一个关于解一元二次不等式的问题

一元二次不等式有两个共同特点:
(1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知数的最高 次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式。 例如下面的不等式: 15x2+30x-1>0 和 3x2+6x-1≤0.

问题:如何解一元二次不等式呢?

考察:对一次函数 y=2x-7 ,当 x 为何值时, y=0;当x为何值时,y<0;当x为何值时,y>0?
当x=3.5时,2x-7=0, y



y=0;

当x<3.5时,2x-7<0,



y<0;

O

3.5

x

当x>3.5时,2x-7>0,



y>0

想一想,当x取何值时,y 的值大于零?(或 小于零?)
y O m x y n O x

当x ? m时y ? 0
当x ? m时y ? 0

当x ? n时y ? 0

当x ? n时y ? 0

思考 对二次函数 y=x2-x-6,当x为何值时,y=0? 当x为何值时,y<0? 当x为何值时,y>0 ? y 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2?x?6=0

-2 O

3

x

思考:对二次函数 y=x2-x-6,当x为何值时, y=0?当x为何值时,y<0? 当x为何值时,y>0 ?
y 当?2<x<3 时, y<0 即 x2?x?6<0 -2 o 3

x

当 x<?2 或 x>3 时, y>0 即 x2?x?6>0

y
思考: 一元二次方程、二次 函数、一元二次不等式三 者之间存在怎样的联系

o

x

我们可以利用二次函数图象解一元二次不 等式.

若一元二次方程x2-x-6=0

y

的解是x1=-2,x2=3.
则抛物线y=x2-x-6与 x轴的交点就是 (-2,0)与(3,0), 一元二次不等式

-2 O

3

x

y=x2-x-6

x2-x-6<0 的解集是 {x|-2<x<3}, x2-x-6>0 的解集是 {x|x<-2或x>3}.

问:二次函数y= ax2+bx+c(a>0) 与x轴的交点情况有哪几种?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

利用二次函数图象能解一元二次不等式!
一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
一元二次函数
y

f (x)=ax2 ? bx ? c(a ? 0)
ax 2 ? bx ? c ? 0的解 ax 2 ? bx ? c ? 0的解

??0
??0

xR ? x 1或x ? x 2 x? 1? x ? x 2
x

{x | x ? x 1} ?

? ?0
O

x1 ?

?
x1=x2

?x

2

如何解关于 x 的不等式 x ? 5x ? 0 ???
2

作出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象如图所示

由右边的图象填空:
2 x ⑴当 x=0 或 5 时, y = 0, 即 ? 5 x

= 0; 2 x ⑵当 0<x<5 时, y < 0, 即 ? 5 x < 0; 2 x ⑶当 x<0 或 x>5 时, y > 0, 即 ? 5 x > 0.
∴可知 x2 ? 5x ? 0 的解集为 ? x 0 ? x ? 5?

练习.解不等式 2x2-3x-2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 所以方程2x2-3x-2 =0的解是 先求方程的根

然后想像图象形 状

1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是
1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .

总结:

解一元二次不等式

ax2+bx+c>0

(a>0,△≥0 )的步骤: ① 将二次不等式化成一般式(a>0 );

② 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 根据图象写出不等式的解集.

思考: 如何求一元二次

y

y=x2-7x+6
大于取两边
(1,6)

不等式x2-7x+6 > 0
的解集?
(-∞,1)

(6,+∞) x

小于取中间

判别式 △=b2- 4ac

△>0
y

△=0
y

△<0
y

y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O

x2 x
O x1 x O 没有实根 x

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相等实根 有两相异实根 b x = x = 1 2 ? x1, x2 (x1<x2) 2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

这张表是我们今后求解一元二次不等 式的主要工具,必须熟练掌握,其关键是 抓住相应的二次函数的图像。

记忆口诀: 大于取两边,小于取中间.

求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图(本节 课本):
b x?? 2a

△≥0

x< x1或x> x2

例1.解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是 1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解

例2、-x2 +2x -3>0
解:原不等式等价于 x2 - 2x + 3 < 0
o

y

x

∵Δ< 0 ∴方程x - 2x + 3 = 0是无实数解
? 原不等式的的解集是
2

y

?

o

x

-x2 +2x -3>0图象如右图:

再次强调注意公式口诀的大前提:a>0

例3、某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米) 和汽车车速x(千米/小时)有如下关系, 1 1 2 s? x? x 20 180 在一次交通事故测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆车刹车前的车速至少是多少? (精确到0.01km/h)
解:设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h,根 据题意,我们得到

1 1 2 x? x ? 39.5 20 180

移项整理,得

x ? 9 x ? 7110 ? 0
2

例3、某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车 1 1 s ? x ? x2 车速x(千米/小时)有如下关系, 20 180 在一次交通事故测得这种车的刹车距离大于39.5m, 那么这辆车刹车前的车速至少是多少?(精确到 0.01km/h) 移项整理,得
2

x ? 9 x ? 7110 ? 0
2

? ? ? 0, 方程x ? 9 x ? 7110 ? 0有2个实根,
由方程x 2 ? 9 x ? 7110? 0的图像,可得不等式的 解集为 {x | x ? ?88.94, 或x ? 79.94}

即: x1 ? ?88.94, x2 ? 79.94

在这个实际问题中,x>0,所以这辆车刹车 的车速至少为79.94km/h。

例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车 装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆) 与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内 利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星 期内大约应该生产多少辆摩托车?
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根 据题意,得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有 两个实数根x1=50, x2=60.

解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根 据题意,得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两 个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解为50<x<60. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.


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