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江苏2018高三数学一轮复习 圆锥曲线


椭 考试要求



1.椭圆的实际背景,椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,

A 级要求;2.椭圆的定义,几何图形,标准方程及简单几何性质,B 级要求.

知 识 梳 理 1.椭圆的定义 (1)第一定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于定长(大于 F1F2)的点的 轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 用符号表示为 PF1+PF2=2a(2a>F1F2). (2)第二定义:平面内到定点 F 和定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比是一个 常数 e(0<e<1)的点的轨迹叫作椭圆. 2.椭圆的标准方程及简单的几何性质 x2 y2 c 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=a(0<e<1),离心率 e 等于椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的距离与 M 到 F 对应的准线的距离的比.椭圆越扁,离心率 e 越大; 椭圆越圆,离心率越小. 条件 2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) 标准方程 及图形 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

范围 对称性 顶点 焦点 长、短轴的长度 焦距

|x|≤a,|y|≤b

|y|≤a,|x|≤b

曲线关于原点、x 轴、y 轴对称 长轴顶点(± a,0) 短轴顶点(0, 长轴顶点(0,± a) 短轴顶点 ± b) (± c,0) 长轴长 2a,短轴长 2b F1F2=2c(c2=a2-b2) (± b,0) (0,± c)

准线方程 离心率

a2 x=±c

a2 y=±c

c e=a∈(0,1),e 越大,椭圆越扁,e 越小,椭圆越圆

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( (2)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.( ) ) ) )

(3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.(

(4)方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( x2 y2 y2 x2 (5) 2+ 2=1(a>b>0)与 2+ 2=1(a>b>0)的焦距相同.( a b a b )

解析 (1)由椭圆的定义知,当该常数大于 F1F2 时,其轨迹才是椭圆,而常数等 于 F1F2 时,其轨迹为线段 F1F2,常数小于 F1F2 时,不存在这样的图形. a2-b2 c (2)因为 e=a= a = 答案 (1)× (2)× (3)√ b ?b? 1-?a?2,所以 e 越大,则a越小,椭圆就越扁. ? ? (4)√ (5)√

x2 y2 2.(2015· 广东卷改编)已知椭圆25+m2=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= ________. 解析 依题意有 25-m2=16,∵m>0,∴m=3. 答案 3 x2 y2 3 3.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3 , 过 F2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点. 若△AF1B 的周长为 4 3, 则 C 的方程为________. 解析 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a,所以 4a=4 3,故 a= 3,又由 c 3 x2 y2 e=a= 3 ,得 c=1,所以 b2=a2-c2=2,则 C 的方程为 3 + 2 =1. 答案 x2 y2 3 + 2 =1

x2 y2 4.(2016· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)

b 的右焦点,直线 y=2与椭圆交于 B,C 两点,且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心 率是________.

解析 联立方程组? b ?y=2, ?

x2 y2 ? ?a2+b2=1,

解得 B,C 两点坐标为

? ? 3a b? 3 b? B?- a, ?,C? ,2?,又 F(c,0), 2? ? 2 ? 2 ? 3a b? → ? 3a b? → =? ?- ?,FC=? ?, 则FB - c , - c , 2 2? 2? ? ? 2 →· → =0,代入坐标可得: 又由∠BFC=90° ,可得FB FC 3 2 b2 c -4a + 4 =0,①
2

又因为 b2=a2-c2. c2 2 c 代入①式可化简为a2=3,则椭圆离心率为 e=a= 答案 6 3 2 6 = 3 3.

x2 y2 5.已知点 P 是椭圆 5 + 4 =1 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶 点的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为________. 解析 设 P(x,y),由题意知 c2=a2-b2=5-4=1, 所以 c=1,则 F1(-1,0),F2(1,0),由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1,所以 y= x2 y2 15 15 ± 1,把 y=± 1 代入 5 + 4 =1,得 x=± 2 ,又 x>0,所以 x= 2 ,∴P 点坐标 ? 15 ? ? 15 ? 为? ,1?或? 2 ,-1?. ? 2 ? ? ? ? 15 ? ? 15 ? ?或? ? 答案 ? , 1 ,- 1 ? 2 ? ? 2 ?

考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1】(1)如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内一个定点,P 是圆上任意一 点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是________.

x2 y2 (2)已知 F1, F2 是椭圆 C: P 为椭圆 C 上的一点, a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点, 且∠F1PF2=60° ,S△PF1F2=3 3,则 b=________. 解析 (1)连接 QA. 由已知得 QA=QP. 所以 QO+QA=QO+QP=OP=r. 又因为点 A 在圆内,所以,OA<OP,根据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是以 O,A 为焦点,r 为长轴长的椭圆. (2)由题意得 PF1+PF2=2a,又∠F1PF2=60° ,
2 所以 PF1 +PF2 =F1F2 2-2PF1PF2cos 60° 2,

所以(PF1+PF2)2-3PF1PF2=4c2, 所以 3PF1PF2=4a2-4c2=4b2, 4 所以 PF1PF2=3b2, 1 1 4 3 所以 S△PF1F2=2PF1PF2sin 60° =2×3b2× 2 = 3 2 3 b =3 3,所以 b=3. 答案 (1)椭圆 规律方法 (2)3

(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点

的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离 心率等. (2)椭圆的定义式必须满足 2a>F1F2. x2 y2 【训练 1】 (1)已知椭圆 4 + 2 =1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该椭圆上,若

PF1-PF2=2,则△PF1F2 的面积是________. (2)(2017· 保定一模)与圆 C1:(x+3)2+y2=1 外切,且与圆 C2:(x-3)2+y2=81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为________. 解析 (1)由椭圆的方程可知 a=2,c= 2,且 PF1+PF2=2a=4,又 PF1-PF2
2 2 =2,所以 PF1=3,PF2=1.又 F1F2=2c=2 2,所以有 PF2 1=PF2+F1F2,即△

PF1F2 为直角三角形,且∠PF2F 为直角, 1 1 所以 S△PF1F2=2F1F2PF2=2×2 2×1= 2. (2)设动圆的半径为 r,圆心为 P(x,y),则有 PC1=r+1,PC2=9-r. 所以 PC1+PC2=10>C1C2, 即 P 在以 C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为 10 的椭圆上, x2 y2 得点 P 的轨迹方程为25+16=1. 答案 (1) 2 x2 y2 (2)25+16=1

考点二 椭圆的标准方程 ? 3 5? 【例 2】 (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点?-2,2?, ? ? ( 3, 5),则椭圆方程为________. y2 x2 (2)过点( 3, - 5), 且与椭圆25+ 9 =1 有相同焦点的椭圆标准方程为________. 解析 (1)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n). 3? ? ?5? ?? ?-2?2m+?2?2n=1, ? ? ? 由?? ? ?3m+5n=1, 1 1 解得 m= ,n= . 6 10 y2 x2 ∴椭圆标准方程为10+ 6 =1. (2)法一 y2 x2 椭圆25+ 9 =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4.

由椭圆的定义知,2a= ? 3-0?2+?- 5+4?2+ ? 3-0?2+?- 5-4?2,解得 a=2 5.

由 c2=a2-b2 可得 b2=4. y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1. 法二 设所求椭圆方程为 y2 x2 + =1(k<9),将点( 3,- 5)的坐标代入可 25-k 9-k

?- 5?2 ? 3?2 y2 x2 得 + =1, 解得 k=5(k=21 舍去), 所以所求椭圆的标准方程为20+ 4 25-k 9-k =1. y2 x2 答案 (1)10+ 6 =1 y2 x2 (2)20+ 4 =1

规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,先定形,再定量,即首先 确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于 a,b 的方程组,如果焦点位置不确 定,可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),求出 m,n 的值即可. 1 【训练 2】 (1)(2017· 常州监测)已知椭圆的中心在原点,离心率 e=2,且它的一 个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆标准方程为________. (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且过点 A(3,0),并且以坐标轴为对称轴, 则椭圆的标准方程为________. x2 y2 解析 (1)依题意,可设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),由已知可得抛物 c 1 线的焦点为(-1,0),所以 c=1,又离心率 e=a=2,解得 a=2,b2=a2-c2=3, x2 y2 所以椭圆标准方程为 4 + 3 =1. (2)法一 x2 y2 若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0). ?a=3, x2 2 ? 解得 所以椭圆的标准方程为 9 +y =1. ?b=1.

2a=3×2b, ? ? 由题意得? 9 0 2+ 2=1, ? ?a b

y2 x2 若焦点在 y 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0). 2a=3×2b, ? ? 由题意得? 0 9 2+ 2=1, ? ?a b ?a=9, 解得? ?b=3.

y2 x2 所以椭圆的标准方程为81+ 9 =1. x2 y2 x2 综上所述,椭圆的标准方程为 9 +y2=1 或81+ 9 =1. 法二 x2 y2 设 椭 圆 的 方 程 为 m + n = 1(m > 0 , n > 0 , m≠n) , 则 由 题 意 知 ?9 ? =1, 或? m ? ?2 n=3×2 m,

?9 ? =1, ?m ? ?2 m=3×2 n

?m=9, ?m=9, 解得? 或? ?n=1 ?n=81. x2 2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1. x2 y2 答案 (1) 4 + 3 =1 x2 2 y2 x2 (2) 9 +y =1 或81+ 9 =1

考点三 椭圆的几何性质 x2 y2 【例 3】(1)(2016· 全国Ⅲ卷改编)已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0) 的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为________. x2 y2 (2)已知椭圆a2+b2=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为 F1,F2,若 以 F2 为圆心,b-c 为半径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T, 3 且|PT|的最小值不小于 2 (a-c),则椭圆的离心率 e 的取值范围是________. am ? ? 解析 (1)设 M(-c,m),则 E?0,a-c?,OE 的中点为 D, ? ? am ? ? 则 D?0,2?a-c??,又 B,D,M 三点共线, ? ? m m 1 所以 = ,所以 a=3c,所以 e=3. 2?a-c? a+c
2 (2)因为 PT= PF2 -?b-c?2(b>c),

而 PF2 的最小值为 a-c,所以 PT 的最小值为 ?a-c?2-?b-c?2 .依题意,有

3 ?a-c?2-?b-c?2≥ 2 (a-c),所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以 a-c≥2(b-c),所 以 a+c≥2b, 所以(a+c)2≥4(a2-c2), 所以 5c2+2ac-3a2≥0, 所以 5e2+2e-3≥0. ① 又 b>c,所以 b2>c2,所以 a2-c2>c2,所以 2e2<1.② 3 2 联立①②,得5≤e< 2 . 1 答案 (1)3 ?3 2? (2)? , ? ?5 2 ?

规律方法 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出 a,c 的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有 a,b,c 的齐次方程(或不等式),借助于 b2=a2-c2 消去 b,转化为 含有 e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦 点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系. x2 y2 【训练 3】(2017· 盐城模拟)已知椭圆: + 2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为 4 b F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若 BF2+AF2 的最大值为 5,则 b 的值是________. 解析 由椭圆的方程可知 a=2,由椭圆的定义可知,AF2+BF2+AB=4a=8,所 以 AB=8-(AF2+BF2)≥3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,通径最短, 2b2 则 a =3.所以 b2=3,即 b= 3. 答案 3

考点四 直线与椭圆的位置关系 x2 y2 【例 4】 (2015· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆a2+b2=1(a 2 >b>0)的离心率为 2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. c 2 a2 解 (1)由题意,得a= 2 且 c+ c =3, 解得 a= 2,c=1,则 b=1, x2 所以椭圆的标准方程为 2 +y2=1. (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 2k2± 2?1+k2? 则 x1,2= , 1+2k2 -k ? ? 2k2 ?,且 C 的坐标为? 2, 1 + 2 k 1 + 2k2? ? AB= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2??x2-x1?2 2 2?1+k2? = . 1+2k2 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为 2k2 ? k 1? y+ =- ?x-1+2k2?, k? 1+2k2 ? 5k2+2 ? ? ?, 则 P 点的坐标为?-2, k?1+2k2?? ? 从而 PC= 2?3k2+1? 1+k2 . |k|?1+2k2?

2?3k2+1? 1+k2 4 2?1+k2? 因为 PC=2AB,所以 = , |k|?1+2k2? 1+2k2

解得 k=± 1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. x2 y2 【例 5】 (2017· 南通调研)如下图, 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右顶点为 A(2,0), 1? ? 点 P?2e,2?在椭圆上(e 为椭圆的离心率). ? ?

(1)求椭圆的标准方程; → =λBA → ,且OC →· → =0,求实数 (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足OC OB λ 的值. c c2 1 解 (1)由条件,a=2,e=2,代入椭圆方程,得 4 +4b2=1. ∵b2+c2=4,∴b2=1,c2=3. x2 ∴椭圆的标准方程为 4 +y2=1. (2)设直线 OC 的斜率为 k,则直线 OC 方程为 y=kx, x2 代入椭圆方程 4 +y2=1,即 x2+4y2=4, 得(1+4k2)x2=4,∴xC= 2 2k ? ? ?. 则 C? 2, 1+4k2? ? 1+4k 又直线 AB 方程为 y=k(x-2), 代入椭圆方程 x2+4y2=4, 得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.
2 2?4k2-1? ?2?4k -1? -4k ? ?. ∵xA=2,∴xB= ,则 B? 2 , 1+4k2? 1+4k2 ? 1+4k

2 . 1+4k2

2?4k2-1? -4k 2 2k → → ∵OC· OB=0,∴ + =0. 2 · 2· 2 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k2 1 2 ∴k2=2,∵C 在第一象限,∴k>0,k= 2 .

2 2k ? → ? ?, ∵OC=? 2, 1+4k2? ? 1+4k 4k ? 2?4k2-1? -4k ? ? 4 ? → BA=?2- , 2, 2 ,0- 2?=? 1 + 4 k 1 + 4k2? 1+4k 1+4k ? ? ? ? → =λBA → ,得 λ= 由OC 2 3 ∵k= 2 ,∴λ= 2 . 规律方法 与椭圆有关的综合问题,往往与其他知识相结合,解决这类问题的常 规思路是联立直线方程与椭圆方程,解方程组求出直线与椭圆的交点坐标,然后 根据所给的向量条件再建立方程,解决相关问题.涉及弦中点问题用“点差法” 解决往往更简单. x2 y2 2 【训练 4】(2017· 南京、盐城模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e= 2 , 一条准线方程为 x=2.过椭圆的上顶点 A 作一条与 x 轴、y 轴都不垂直的直线交 椭圆于另一点 P,P 关于 x 轴的对称点为 Q. 1 k2+4.

(1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 AP,AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m,n,求证:mn 为常数,并求 出此常数. (1)解 c 2 a2 因为a= 2 , c =2,

所以 a= 2,c=1,所以 b= a2-c2=1. x2 故椭圆的标准方程为 2 +y2=1. (2)证明 法一 设 P 点坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1).

因为 kAP=

y1-1 y1-1 y1-1 = x ,所以直线 AP 的方程为 y= x x+1. x1-0 1 1 x1 . y1-1

令 y=0,解得 m=-

因为 kAQ=

-y1-1 y1+1 =- x , x1-0 1

y1+1 所以直线 AQ 的方程为 y=- x x+1. 1 令 y=0,解得 n= x1 . y1+1

-x1 x1 x2 1 所以 mn= · = . y1-1 y1+1 1-y2 1 x2 又因为(x1,y1)在椭圆 2 +y2=1 上,
2 x2 1 2 x1 所以 2 +y2 = 1 ,即 1 - y = 1 1 2,

x2 1 所以 =2,即 mn=2, 1-y2 1 所以 mn 为常数,且常数为 2. 法二 设直线 AP 的斜率为 k(k≠0),则 AP 的方程为 y=kx+1,令 y=0 得 m= 1 -k. y=kx+1, ? ? 联立方程组?x2 2 +y =1, ? ?2 4k 消去 y 得(1+2k2)x2+4kx=0,解得 xA=0,xP=- , 1+2k2 1-2k2 所以 yP=k· xP+1= , 1+2k2 1-2k2? 4k ? ?, 则 Q 点的坐标为?- 2,- 1+2k2? ? 1+2k 1-2k2 - -1 1+2k2 1 1 所以 kAQ= = ,故直线 AQ 的方程为 y = 4k 2k 2kx+1. - 1+2k2 令 y=0 得 n=-2k, ? 1? 所以 mn=?-k?· (-2k)=2. ? ? 所以 mn 为常数,常数为 2.

[思想方法] 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定 义中的常数大于 F1F2,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定 位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看 焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程的形式;再“定量”,就是根据已知条件, 通过解方程(组)等手段,确定 a2,b2 的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标 准方程.若不能确定焦点的位置,这时的标准方程常可设为 mx2+ny2=1(m>0, n>0 且 m≠n). [易错防范] 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小. 2. 在解关于离心率 e 的二次方程时, 要注意利用椭圆的离心率 e∈(0,1)进行根的 取舍,否则将产生增根. 3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0 <e<1 等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 x2 y2 1.椭圆m+ 4 =1 的焦距为 2,则 m 的值等于________. 解析 当 m>4 时,m-4=1,∴m=5;当 0<m<4 时,4-m=1,∴m=3. 答案 3 1 2.(2017· 苏州调研)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于2, 则 C 的方程是________. c 1 解析 依题意,所求椭圆的焦点位于 x 轴上,且 c=1,e=a=2?a=2,b2=a2 x2 y2 -c2=3,因此其方程是 4 + 3 =1.

答案

x2 y2 4 + 3 =1

x2 y2 3.若椭圆25+16=1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是________. 解析 由椭圆定义知 PF1+PF2=10,又 PF1=6,∴PF2=4. 答案 4 x2 y2 4.(2017· 扬州期末)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为________. 解析 在 Rt△PF2F1 中, 令 PF2=1, 因为∠PF1F2=30° , 所以 PF1=2, F1F2= 3. 2c 故 e=2a= 答案 3 3 F1F2 3 = . PF1+PF2 3

5.(2016· 全国Ⅰ卷改编)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 1 的距离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为________. 1 1 解析 如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,OD=4×2b=2b.

1 在 Rt△OFB 中,OF×OB=BF×OD,即 cb=a· 2b,即 a=2c,故椭圆离心率 e c 1 =a=2. 1 答案 2 6. (2016· 南京师大附中模拟)椭圆 ax2+by2=1(a>0, b>0)与直线 y=1-x 交于 A, 3 b B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 2 ,则a的值为________. 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 则 ax1 +by2 1=1,ax2+by2=1,



2 by2 1-by2 2 2 2 2 ax1-ax2=-(by1-by2), 2 =-1, ax1-ax2 2

b?y1-y2??y1+y2? b 3 =-1,∴a×(-1)× 2 =-1, a?x1-x2??x1+x2? b 2 3 ∴a= 3 . 答案 2 3 3

x2 y2 7. (2017· 昆明质检)椭圆 9 +25=1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m, 当m 取最大值时,点 P 的坐标是________. 解析 记椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,有 PF1+PF2=2a=10. ?PF1+PF2?2 ? =25,当且仅当 PF1=PF2=5,即点 P 位于椭圆的 则 m=PF1· PF2≤? 2 ? ? 短轴的顶点处时,m 取得最大值 25. ∴点 P 的坐标为(-3,0)或(3,0). 答案 (-3,0)或(3,0) x2 y2 8.(2017· 苏、锡、常、镇四市调研)已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 2+ 2=1(a>b a b →· → 2 >0)的两个焦点,P 为椭圆上一点,且PF 1 PF2=c ,则此椭圆离心率的取值范围 是________. →· → 解析 设 P(x,y),则PF (c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① 1 PF2=(-c-x,-y)· b2 将 y2=b2-a2x2 代入①式解得 ?2c2-b2?a2 ?3c2-a2?a2 x= = , c2 c2
2

又 x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2, c ? 3 2? ∴e=a∈? , ?. 2? ?3 ? 3 2? 答案 ? , ? 3 2 ? ? 二、解答题 x2 y2 9.设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点

且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN=5F1N,求 a,b.
2 ? b? 解 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M?c, a ?,2b2=3ac. ? ?

c 1 c 1 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得a=2或a=-2(舍去).故 C 的离心率为2. (2)由题意,知原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 b2 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 a =4,即 b2=4a.① 由 MN=5F1N,得 DF1=2F1N. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ?x1=- c. ?2?-c-x1?=c, 2 ? 即? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 9c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 9?a2-4a? 1 将①及 c= a -b 代入②得 4a2 +4a=1.
2 2

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2

7.

x2 y2 10.(2017· 苏北四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 的右准线方程为 x=4,右顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,斜率为 2 的直线 2 5 l 经过点 A,且点 F 到直线 l 的距离为 5 .

(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)将直线 l 绕点 A 旋转, 它与椭圆 C 相交于另一点 P,当 B, F,P 三点共线时, 试确定直线 l 的斜率.

解 (1)由题意知,直线 l 的方程为 y=2(x-a),即 2x-y-2a=0, 所以右焦点 F 到直线 l 的距离为 |2c-2a| 2 5 = 5 ,所以 a-c=1. 5 又椭圆 C 的右准线方程为 x=4, a2 a2 即 c =4,所以 c= 4 , 将此代入上式解得 a=2,c=1, 所以 b2=3, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 4 + 3 =1. (2)法一 由(1)知 B(0, 3),F(1,0).

所以直线 BF 的标准方程为 y=- 3(x-1), ?y=- 3?x-1?, ? 联立方程组,得?x2 y2 + =1, ? ?4 3 8 ? ?x=5, 解得? 3 3 y =- ? ? 5 ?8 3 3? ?, 即 P? ,- 5 5 ? ? ? 3 3? ? 0-?- 5 ? 3 3 ? 所以直线 l 的斜率 k= = 2 . 8 2-5 法二 由(1)知 B(0, 3),F(1,0), 所以直线 BF 的方程为 y=- 3(x-1), 由题意知 A(2,0), 显然直线 l 的斜率存在, ?y=- 3?x-1?, 设直线 l 的方程为 y=k(x-2),联立方程组得? ?y=k?x-2?, ?x=0, 或? (舍). ?y= 3

+ 3 , ?x=2kk+ 3 解得? - 3k y= ? k+ 3, 3 3 3 代入椭圆解得 k= 2 或 k=- 2 , - 3k 又由题意知,y= <0 得 k>0 或 k<- 3, k+ 3 所以 k= 3 3 . 2 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) x2 y2 11.(2016· 苏州调研)椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x +y=0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为________. 解析 设 F(-c,0)关于直线 3x+y=0 的对称点 A(m,n), n ? ?- 3?=-1, ?m+c· 则? ?m-c? n ?+ =0, 3· ? ? ? ? 2 ? 2

c 3 ∴m=2,n= 2 c,

c2 3 2 c 4 4 代入椭圆方程可得a2+ b2 =1,并把 b2=a2-c2 代入, 化简可得 e4-8e2+4=0,解得 e2=4± 2 3,又 0<e<1,∴e= 3-1. 答案 3-1

x2 y2 12.(2017· 盐城中学模拟)已知直线 l:y=kx+2 过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的上顶 4 5 点 B 和左焦点 F,且被圆 x2+y2=4 截得的弦长为 L,若 L≥ 5 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是________. 解析 依题意,知 b=2,kc=2. 4 5 设圆心到直线 l 的距离为 d,则 L=2 4-d2≥ 5 ,

16 解得 d2≤ 5 .又因为 d= 1 解得 k2≥4.

2 1 4 2,所以1+k2≤5, 1+k

c2 c2 1 4 2 5 2 于是 e2=a2= 2 2= 2,所以 0<e ≤ ,解得 0<e≤ 5 5 . b +c 1+k ? 2 5? ? 答案 ?0, 5 ? ? x2 13. 椭圆 4 +y2=1 的左、 右焦点分别为 F1, F2 , 点 P 为椭圆上一动点, 若∠F1PF2 为钝角,则点 P 的横坐标的取值范围是________. 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y), → → 则F 1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y). → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F F 1P· 2P<0, 即 x2-3+y2<0,① x2 x2 ∵y2=1- 4 ,代入①得 x2-3+1- 4 <0, 3 8 即4x2<2,∴x2<3. 2 6 2 6 ? 2 6 2 6? ?. 解得- 3 <x< 3 ,∴x∈?- 3 , 3 ? ? ? 2 6 2 6? ? 答案 ?- 3 , 3 ? ? x2 y2 14.(2017· 南京模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭 圆的半焦距,且 c= 2b.过点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于 另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程. 1 1 解 (1)由条件得a2+b2=1,且 c2=2b2, 4 所以 a2=3b2,解得 b2=3,a2=4.

x2 3y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 4 =1. ?y=kx+k-1, (2)设 l1 的方程为 y+1=k(x+1),联立? 2 2 ?x +3y =4, 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0. 因为 P 为(-1,-1),
2 2 ?-3k +6k+1 3k +2k-1? , ?. 解得 M? 2 1+3k2 ? ? 1+3k

1 当 k≠0 时,用-k 代替 k,
2 2 ?k -6k-3 -k -2k+3? , ?, 得 N? 2 k2+3 ? ? k +3

将 k=-1 代入,得 M(-2,0),N(1,1). 因为 P(-1,-1),所以 PM= 2,PN=2 2, 1 所以△PMN 的面积为2× 2×2 2=2.
2 2 ?x1+3y1=4, (3)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则? 2 2 ?x2+3y2=4,

两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0, 从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0. 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). →· → =0,得 x2+y2=2. 因为 PM⊥PN,所以PM PN 1 1
2 又因为 x1 +3y2 1, 1=4,所以解得 x1=±

所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1),N(-1,1). 所以直线 MN 的方程为 y=-x. 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1), →· → =0,得 y2=(x +1)2+1. 因为 PM⊥PN,所以PM PN 1 1 1 2 又因为 x1 +3y2 1=4,所以解得 x1=- 或-1, 2 1 经检验:x1=-2满足条件,x1=-1 不满足条件.

1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=-2. 第6讲 考试要求 双曲线

双曲线的定义,几何图形和标准方程,简单的几何性质 (范围、对称

性、顶点、离心率、渐近线),A 级要求.

知 识 梳 理 1.双曲线的定义 (1)第一定义: 平面内到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值为正常数 2a(小于两定 点之间的距离 2c)的动点的轨迹叫作双曲线. (2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1-MF2|=2a,其中 2a<F1F2=2c. (3)当 MF1-MF2=2a 时, 曲线仅表示靠近焦点 F2 的双曲线的一支; 当 MF1-MF2 =-2a 时,曲线仅表示靠近焦点 F1 的双曲线的一支;当 2a=F1F2 时,轨迹为以 F1,F2 为端点的两条射线;当 2a>F1F2 时,动点的轨迹不存在. (4)第二定义:平面内,到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(e>1) 的动点轨迹叫作双曲线 2.双曲线的标准方程及简单的几何性质

图形

标准方程 范围 几 何 性 质 焦点 顶点 对称性 实、虚轴长 离心率

x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0) |x|≥a F1(-c,0),F2(c,0) A1(-a,0),A2(a,0)

y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0) |y|≥a F1(0,-c),F2(0,c) A1(0,-a),A2(0,a)

关于 x 轴、y 轴轴对称,关于原点中心对称 实轴 A1A2=2a,虚轴 B1B2=2b c e=a(也等于双曲线上任意一点到一个焦点 F 与到这个焦点对

应的准线的距离之比) 准线方程 渐近线方程 a2 x=±c b y=± ax a2 y=±c a y=± bx

3.(1)等轴双曲线:实轴和虚轴长度相等的双曲线叫作等轴双曲线,也叫等边双 曲线. (2)等轴双曲线?离心率 e= 2?两条渐近线垂直(位置关系)?实轴长=虚轴长. b?b ? (3)双曲线的离心率 e 与a?a= e2-1?都是刻画双曲线开口的大小的量. ? ? 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( ) )

(2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( x2 y2 (3)方程 m- n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )

x2 y2 x2 y2 x y (4)双曲线方程m2-n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是m2-n2=0,即m± n= 0.( ) )

(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.(

解析 (1)因为|MF1-MF2|=8=F1F2,表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (3)当 m>0,n>0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线,而 m<0,n<0 时则表示焦点 在 y 轴上的双曲线. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

x2 y2 2.(2016· 全国Ⅰ卷改编)已知方程 2 - =1 表示双曲线,且该双曲线两 m +n 3m2-n 焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是________. 解析 ∵方程 x2 y2 - 2 = 1 表示双曲线,∴ (m2 +n)· (3m2 - n)>0 ,解得- m +n 3m -n
2

m2<n<3m2,由双曲线性质,知 c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中 c 是半焦距), ∴焦距 2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3.

答案 (-1,3) x2 y2 3.(2017· 南京调研)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 2x- y=0,则该双曲线的离心率为________. b b 解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为 y=ax=2x,所以a=2,则双曲线的 离心率为 e= 答案 5 b2 1+a2= 5.

x2 y2 4.(2017· 南通调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 过点 P(1,1),其一条渐近线方程为 y= 2x,则该双曲线的方程为________. 1 1 b 解析 由于双曲线过点 P(1,1),则有a2-b2=1,又双曲线的渐近线方程为 y=± a b 1 1 x,则有a= 2,与a2-b2=1 1 联立解得 a2=2,b2=1,故所求的双曲线的方程为 2x2-y2=1. 答案 2x2-y2=1 5.(选修 1-1P41 习题 6 改编)经过点 A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴 双曲线方程为________. 解析 设双曲线的方程为:x2-y2=λ(λ≠0),把点 A(3,-1)代入,得 λ=8,故 x2 y2 所求方程为 8 - 8 =1. x2 y2 答案 8 - 8 =1

考点一 双曲线的定义及其应用 x2 y2 【例 1】 (1)(2017· 盐城中学模拟)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点 分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△ F1AB 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2=________. y2 (2)(2015· 全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C: x - 8 =1 的右焦点, P 是 C 左支上一点,
2

A(0,6 6),当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________. 解析 (1)如图所示,因为 AF1-AF2=2a,BF1-BF2=2a,BF1=AF2+BF2,所 以 AF2=2a,AF1=4a.

所以 BF1=2 2a,所以 BF2=2 2a-2a.
2 2 因为 F1F2 2=BF1+BF2,

所以(2c)2=(2 2a)2+(2 2a-2a)2, 所以 e2=5-2 2. (2)设左焦点为 F1,PF-PF1=2a=2, ∴PF=2+PF1,△APF 的周长为 AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1,△APF 周长 最小即为 AP+PF1 最小,当 A,P,F1 在一条直线时最小,过 AF1 的直线方程为 x y y2 + =1.与 x2- 8 =1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S=S△AF1F -3 6 6 -S△F1PF=12 6. 答案 (1)5-2 2、(2)12 6 规律方法 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经 常使用. (2)技巧:经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与 PF1、PF2 的联 系. 提醒 利用双曲线的定义解决问题,要注意三点 ①距离之差的绝对值.②2a<F1F2.③焦点所在坐标轴的位置. x2 y2 【训练 1】 (1)如果双曲线 4 -12=1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的左焦点的距离是________. x2 y2 (2)(2017· 扬州模拟)已知点 P 为双曲线16- 9 =1 右支上一点, 点 F1, F2 分别为双 曲线的左、 右焦点, M 为△PF1F2 的内心, 若 S△PMF1=S△PMF2+8, 则△MF1F2

的面积为________. 解析 (1)由双曲线方程,得 a=2,c=4.设 F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点, 根据双曲线的定义 PF1-PF2=± 2a, ∴PF1=PF2± 2a=8± 4,∴PF1=12 或 PF1=4. (2)设内切圆的半径为 R,a=4,b=3,c=5, 因为 S△PMF1=S△PMF2+8, 1 所以2(PF1-PF2)R=8, 即 aR=8,所以 R=2, 1 所以 S△MF1F2=2· 2c· R=10. 答案 (1)4 或 12 (2)10

考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题 【例 2-1】 (1)(2017· 苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系 xOy x2 y2 中,已知方程 - =1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围为________. 4-m 2+m x2 (2)(2015· 全国Ⅰ卷改编)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2 -y2=1 上的一点,F1,F2 →· → 是 C 的两个焦点,若MF 1 MF2<0,则 y0 的取值范围是________. 解析 (1)由题意可得(4-m)(2+m)>0, 解得-2<m<4. x2 0 2 (2)因为 F1(- 3,0),F2( 3,0), 2 -y0 =1, →· → 2 2 所以MF ( 3-x0,-y0)=x0 +y2 1 MF2=(- 3-x0,-y0)· 0-3<0,即 3y0-1<0, 3 3 解得- 3 <y0< 3 . 答案 (1)(-2,4) ? 3 3? (2)?- , ? 3 3 ? ?

命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题 x2 y2 【例 2-2】 (1)(2016· 全国Ⅱ卷改编)已知 F1,F2 是双曲线 E:a2-b2=1 的左、

1 右焦点, 点 M 在 E 上, MF1 与 x 轴垂直, sin∠MF2F1=3, 则 E 的离心率为________. x2 y2 (2)(2017· 盐城模拟)以双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点 F 为圆心,a 为半径的 圆恰好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为________. 解析 (1)设 F1(-c,0),将 x=-c 代入双曲线方程, c2 y2 y2 c2 b2 得a2-b2=1,所以b2=a2-1=a2, b2 1 所以 y=±a .因为 sin∠MF2F1=3,所以 b2 2 2 MF1 a b2 c -a c a e 1 2 2 tan ∠MF2F1=F F =2c=2ac= 2ac =2a-2c=2-2e= 4 ,所以 e2- 2 e-1 1 2 =0, 所以 e= 2. b (2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线 y=ax 的距离为 a,则 b=a,该双曲线的离心 c 率为 e=a= 答案 (1) 2 ?b? 1+?a?2= 2. ? ? (2) 2

规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系 来解决. 【训练 2】 (1)(2017· 苏北四市调研)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对 相交于点 O,所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使 A1B1=A2B2,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围 是________. y2 (2)(2017· 南京模拟)已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲
2

→· → 线右支上一点,则PA 1 PF2的最小值为________. 解析 (1)因为有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2, 所以直线 A1B1 和 A2B2 关于 x 轴对称, 并且直线 A1B1 和 A2B2 与 x 轴的夹角为 30° ,

b 双曲线的渐近线与 x 轴的夹角大于 30° 且小于等于 60° ,否则不满足题意.可得a
2 2 b2 1 c -a 1 2 3 b b2 >tan 30° , 即a2>3, a2 >3, 所以 e> 3 .同样的, 当a≤tan 60° , 即a2≤3 时,

c2-a2 2 2 2 a2 ≤3,即 4a ≥c ,∴e ≤4,∵e>1,所以 1<e≤2. ?2 3 ? 所以双曲线的离心率的范围是? ,2?. ? 3 ? (2)由题可知 A1(-1,0),F2(2,0). 设 P(x,y)(x≥1), → =(-1-x,-y),PF → =(2-x,-y),PA →· → 2 2 则PA 1 2 1 PF2=(-1-x)(2-x)+y =x -x -2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5. 1 →· → 因为 x≥1, 函数 f(x)=4x2-x-5 的图象的对称轴为 x=8, 所以当 x=1 时, PA 1 PF2 取得最小值-2. ?2 3 ? 答案 (1)? ,2? ? 3 ? (2)-2

考点三 双曲线的综合问题 x2 【例 3】 (1)(2017· 扬州质检)已知 F 是椭圆 C1: 4 +y2=1 与双曲线 C2 的一个公 →· → =0,则 C 的 共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若AF BF 2 离心率是________. (2)(2015· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个 动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 ________. 解析 (1)设另一个公共焦点为 F2,AF=m,AF2=n,由椭圆的定义可得 m+n= →· → =0 可知 AF⊥BF,所以 2a1=4,根据对称性知 AF2∥BF,且 AF2=BF,由AF BF AF⊥AF2,则有 m2+n2=(2c1)2=12,与 m+n=4 联立,解得 m=2- 2,n=2 + 2(或 m=2+ 2,n=2- 2).根据双曲线的定义可得 2a2=|m-n|=2 2,即 c2 6 a2= 2,而 c2=c1= 3,故双曲线的离心率为 e=a = 2 . 2 (2)设 P(x,y)(x≥1),因为直线 x-y+1=0 平行于渐近线 x-y=0,所以 c 的最

大值为直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 之间的距离,由两平行线间的距离公 式知,该距离为 6 答案 (1) 2 1 2 =2. 2

2 (2) 2

规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法 (1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物 线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解. (2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求 解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍. x2 y2 【训练 3】(2016· 天津卷改编)已知双曲线 4 -b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线 的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四 边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为________. 解析 b 2 2 由题意知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,圆的方程为 x +y =4,联立

x2+y2=4, ? ? ? b y= x, ? ? 2

? ?x= 解得? ? ?y=

4 , 4+b2 2b 4+b2

? ?x= 或? ? ?y=

-4 , 4+b2 -2b , 4+b2

2b ? ? 4 ?. 即第一象限的交点为? 2, 4+b2? ? 4+b 由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形,其相邻两边长分别为 8×4b 4b x2 y2 2 ,故 =2b,得 b =12.故双曲线的方程为 4 -12=1. 4+b2 4+b2 8 , 4+b2

答案

x2 y2 4 -12=1

[思想方法] x2 y2 x2 y2 1.与双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为a2-b2=t (t≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程 x2 y2 x2 y2 中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程a2-b2=0 就是双曲线a2-b2=1 (a>0, b>0)的两条渐近线方程. [易错防范] 1.双曲线方程中 c2=a2+b2,说明双曲线方程中 c 最大,解决双曲线问题时不 要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错. x2 y2 b y2 x2 3.双曲线a2-b2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± ax,a2-b2=1 (a>0,b>0) a 的渐近线方程是 y=± bx. 4.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时, 直线与双曲线仅有一个交点.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 x2 y2 1. (2016· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 7 - 3 =1 的焦距是________. 解析 由已知,得 a2=7,b2=3,则 c2=7+3=10,故焦距为 2c=2 10. 答案 2 10

x2 y2 2.(2017· 南京模拟)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3, 则双曲线的渐近线方程为________. 解析 因为 2b=2,所以 b=1,因为 2c=2 3,所以 c= 3,所以 a= c2-b2= b 2 2,所以双曲线的渐近线方程为 y=± ax=± 2 x. 2 答案 y=± 2 x x2 y2 5 3.(2015· 广东卷改编)已知双曲线 C:a2-b2=1 的离心率 e=4,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为________. c 5 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e=a=4, 所以 c=5, a=4, x2 y2 b =c -a =9,所以所求双曲线方程为16- 9 =1.
2 2 2

x2 y2 答案 16- 9 =1 x2 y2 4.(2017· 苏北四市联考)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0),右焦点 F 到渐 近线的距离为 2,点 F 到原点的距离为 3,则双曲线 C 的离心率 e 为________. b 解析 ∵右焦点 F 到渐近线的距离为 2, ∴F(c,0)到 y=ax 的距离为 2, 即 |bc| a2+b2

bc =2,又 b>0,c>0,a2+b2=c2,∴ c =b=2,又∵点 F 到原点的距离为 3,∴ c 3 3 5 c=3,∴a= c2-b2= 5,∴离心率 e=a= = 5 . 5 答案 3 5 5

x2 y2 5.(2017· 南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点 为 M,右焦点为 F,过点 F 作垂直于 x 轴的直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且 满足 MA⊥MB,则该双曲线的离心率是________. b2 b2 解析 由题意可得 AF=MF,且 AF= a ,MF=a+c,则 a =a+c,即 b2=a2+ ac=c2-a2,所以 e2-e-2=0(e>1),解得 e=2.

答案 2 x2 y2 6.(2017· 南京师大附中模拟)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆 x2+ (y+2)2=1 没有公共点,则该双曲线的离心率的取值范围为________. x2 y2 b 解析 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线 y=± ay=0 与圆 x2+(y+ ax,即 bx± 2)2=1 没有公共点, 则 2a 2a c 故该双曲线的离心率满足 1<e=a<2, 2 2= c >1,2a>c, a +b

即双曲线的离心率的取值范围为(1,2). 答案 (1,2) x2 y2 7.(2017· 泰州模拟)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1, F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程 为________. b 解析 由题意知,圆的半径为 5,又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线 y=ax a2+b2=25, ? ? ?a=3, x2 y2 上,因此有? 解得? 所以此双曲线的方程为 9 -16=1. b 4=3×a, ?b=4, ? ? x2 y2 答案 9 -16=1 x2 y2 8.(2016· 山东卷)已知双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0).若矩形 ABCD 的四个 顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2AB=3BC,则 E 的离心率是 ________. 2b2 2b2 解析 由已知得 AB= a ,BC=2c,∴2× a =3×2c. ? c? ? c? 又∵b2=c2-a2,整理得:2c2-3ac-2a2=0,两边同除以 a2 得 2?a?2-3?a?-2 ? ? ? ? =0,即 2e2-3e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去). 答案 2 二、解答题 9.(2017· 镇江期末)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率 为 2,且过点 P(4,- 10).

(1)求双曲线的标准方程; →· → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF 1 MF2=0. (1)解 ∵e= 2,

∴可设双曲线的方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 6 - 6 =1. (2)证明 法一 由(1)可知,a=b= 6,

∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= m m ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3

m2 m2 kMF1· kMF2= =- 3 . 9-12 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3, →· → 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴MF 1 MF2=0. 法二 由(1)可知,a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → =(-2 3-3,-m),MF → =(2 3-3,-m), MF 1 2 →· → 2 2 ∴MF 1 MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m =-3+m , ∵点 M(3,0)在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, →· → ∴MF 1 MF2=0. y2 x2 10.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x+y=0,且顶点到 2 5 渐近线的距离为 5 . (1)求此双曲线的方程; (2)设 P 为双曲线上一点,A,B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二 象限,若 A→ P =P→ B ,求△AOB 的面积.



a ? ?b=2, (1)依题意得? |2×0+a| 2 5 ? ? 5 = 5 ,

?a=2, 解得? ?b=1,

y2 故双曲线的方程为 4 -x2=1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m>0, ?m-n ? n>0,由 A→ P =P→ B 得点 P 的坐标为? ,m+n?. ? 2 ? y2 2 将点 P 的坐标代入 4 -x =1, 整理得 mn=1. ?π ? 设∠AOB=2θ,∵tan?2-θ?=2, ? ? 1 4 则 tan θ=2,从而 sin 2θ=5. 又 OA= 5m,OB= 5n, 1 ∴S△AOB=2OA· OBsin 2θ=2mn=2. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) x2 y2 11.(2016· 北京卷)双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 解析 取 B 为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形 OABC 为正方形且边长为 2, ∴c=OB=2 2,

π 又∠AOB=4, b π ∴a=tan4=1,即 a=b.

又 a2+b2=c2=8,∴a=2. 答案 2 12.(2017· 苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F1,F2 x2 y2 分别是双曲线 C: b>0)的左、 右焦点, P 是右支上一点. 若△PF1F2 a2-b2=1(a>0, 2π 是顶角为 3 的等腰三角形,则双曲线 C 的率心率是________. 2π 解析 由题意可得 PF2=F1F2=2c,∠PF2F1= 3 ,则 PF1=2 3c,由双曲线定 义可得 PF1-PF2=2 3c-2c=2a,则( 3-1)c=a,则双曲线 C 的离心率是 e= 3+1 c a= 2 . 答案 3+1 2
2

y2 13.(2016· 浙江卷)设双曲线 x - 3 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,若点 P 在双 曲线上,且△F1PF2 为锐角三角形,则 PF1+PF2 的取值范围是________. 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而 F1F2=4,由对称性不妨设 点 P 在右支上,设 PF2=m,则 PF1=m+2a=m+2,

由于△PF1F2 为锐角三角形,
2 2 2 ??m+2? <m +4 , 结合实际意义需满足? 2 2 2 ?4 <?m+2? +m ,

解得-1+ 7<m<3,又 PF1+PF2=2m+2, ∴2 7<2m+2<8. 答案 (2 7,8) x2 y2 14.已知双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y =-2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第 一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与 直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存 在,说明理由. c2-a2 b 解 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以a=2,所以 a =2,故 c= 5a, c 从而双曲线 E 的离心率 e=a= 5. x2 y2 由(1)知,双曲线 E 的方程为a2-4a2=1. 如图,设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,

若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则 OC=a,AB=4a. 又因为△OAB 的面积为 8, 1 所以2OC· AB=8, 1 因此2a· 4a=8,解得 a=2,

x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 4 -16=1. 若存在满足条件的双曲线 E, x2 y2 则 E 的方程只能为 4 -16=1. x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: 4 -16=1 也满足条件. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2, ? m ? 则 C?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2,y2). ? ? ?y=kx+m, 2m 2m 由? 得 y1= ,同理,得 y2= . 2 - k 2 +k ?y=2x, 1 由 S△OAB= OC· |y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m ?- k ?· ?2-k-2+k?=8, 2? ?? ? 即 m2=4|4-k2|=4(k2-4). y=kx+m, ? ? 由?x2 y2 - =1, ? ? 4 16 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16) =-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 4 -16= 1. 第7讲 抛物线

考试要求 1.抛物线的实际背景,抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用,A 级要求;2.抛物线的定义,几何图形,标准方程及简单的几何性质,A 级 要求.

知 识 梳 理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F ? l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式:MF=d(其中 d 为点 M 到准线的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 y2=- 2px(p>0) x2=- 2py(p>0)

标准 方程 顶点 对称轴 焦点 性 质 离心率 准线方程 范围 开口方向

y =2px(p>0)

2

x =2py(p>0)

2

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 O(0,0) y=0 ?p ? F?2,0? ? ? ? p ? F?-2,0? ? ? e=1 p x=-2 x≥0,y∈R 向右 p x=2 x≤0,y∈R 向左 诊 断 自 测 p y=-2 y≥0,x∈R 向上 p y=2 y≤0,x∈R 向下 p? ? F?0,2? ? ? x=0 p? ? F?0,-2? ? ?

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线.( )

(2) 方程 y = ax2(a≠0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 a ?a ? ?4,0?,准线方程是 x=- .( 4 ? ? ) )

(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径,那么抛物线 x2=-2ay(a>0)的通径长为 2a.( )

解析 (1)当定点在定直线上时, 轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线, 而

非抛物线. 1 (2)方程 y=ax2(a≠0)可化为 x2=ay,是焦点在 y 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 1? 1 ? ?0,4a?,准线方程是 y=- . 4a ? ? (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(2016· 四川卷改编)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是________. ?a ? 解析 抛物线 y2=ax 的焦点坐标为?4,0?,故 y2=4x,则焦点坐标为(1,0). ? ? 答案 (1,0) 3.(2017· 南京、盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C 的顶点在坐 标原点,焦点在 x 轴上,若曲线 C 经过点 P(1,3),则其焦点到准线的距离为 ________. 解析 设抛物线 C 的标准方程为 y2=2px(p>0),代入点 P(1,3)得 9=2p,则 y2= 9 9x 的焦点到准线的距离为 p=2. 9 答案 2 4.(选修 1-1P46 练习 1(3)改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴, 并且经过点 P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________. 解析 很明显点 P 在第三象限, 所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负 半轴上. 当焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 y2=-2px(p>0),把点 P(-2,-4)的坐标 代入得(-4)2=-2p×(-2), 解得 p=4,此时抛物线的标准方程为 y2=-8x; 当焦点在 y 轴负半轴上时,设方程为 x2=-2py(p>0),把点 P(-2,-4)的坐标 1 代入得(-2)2=-2p×(-4),解得 p=2,此时抛物线的标准方程为 x2=-y. 综上可知,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y. 答案 y2=-8x 或 x2=-y 5.已知抛物线方程为 y2=8x,若过点 Q(-2,0)的直线 l 与抛物线有公共点,则

直线 l 的斜率的取值范围是________. 解析 设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程,消去 y 整理得 k2x2+(4k2 -8)x+4k2=0,当 k=0 时,显然满足题意;当 k≠0 时,Δ=(4k2-8)2-4k2· 4k2 =64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0 或 0<k≤1,因此 k 的取值范围是[-1,1]. 答案 [-1,1]

考点一 抛物线的定义及应用 【例 1】 (1)(2016· 浙江卷)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是________. (2)若抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),则 PA +PF 取最小值时点 P 的坐标为________. 解析 (1)抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0). 准线为 x=-1, 由 M 到焦点的距离为 10, 可知 M 到准线 x=-1 的距离也为 10,故 M 的横坐标满足 xM+1=10,解得 xM =9,所以点 M 到 y 轴的距离为 9. (2)

将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部,如图. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=-2的距离为 d,由定义知 PA+PF=PA+d,当 PA 7 ⊥l 时,PA+d 最小,最小值为2,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2, ∴点 P 的坐标为(2,2). 答案 (1)9 (2)(2,2)

规律方法 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于 抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到 准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

【训练 1】 (1)(2017· 徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知点 F 为抛物线 y2=4x 的 焦点,该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5,则直线 AF 的斜率 为________. (2)动圆过点(1,0), 且与直线 x=-1 相切, 则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 解析 (1)由于点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,该抛物线上位于第一象限的点 A 到 p 其准线的距离为 5,则 xA+2=xA+1=5,则 A(4,4),又 F(1,0),所以直线 AF 的 4-0 4 斜率为 = . 4-1 3 (2)设动圆的圆心坐标为(x, y), 则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相 等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. 4 答案 (1)3 (2)y2=4x

考点二 抛物线的标准方程及其性质 x2 y2 【例 2】 (1)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2 = 2py(p>0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2 ,则抛物线 C2 的方程为 ________. (2)(2016· 全国Ⅰ卷改编)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知 AB=4 2,DE=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为 ________. x2 y2 解析 (1)∵a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,
2 2 c c2 a +b b ∴a=2,即a2= a2 =4,∴a= 3.

p? x2 y2 b ? x2=2py(p>0)的焦点坐标为?0,2?, 2- 2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为 y=± a ? ? a b p 2 1+? 3?
2

x,即 y=± 3x.由题意得

=2,解得 p=8.故 C2 的方程为 x2=16y.

(2)不妨设抛物线 C:y2=2px(p>0),圆的方程为 x2+y2=r2(r>0), ∵AB=4 2,DE=2 5,

p 抛物线的准线方程为 x=-2, ?4 ? ? p ? ∴不妨设 A?p,2 2?,D?-2, 5?, ? ? ? ? ?4 ? ? p ? ∵点 A?p,2 2?,D?-2, 5?在圆 x2+y2=r2 上, ? ? ? ? 16 2 ? ? p2 +8=r , ∴? 2 p 2 ? ? 4 +5=r , 16 p2 ∴ p +8= 4 +5,解得 p=4(负值舍去),

∴C 的焦点到准线的距离为 4. 答案 (1)x2=16y (2)4 规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点

位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的 特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 【训练 2】 (1)如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A, B, 交其准线 l 于点 C,若 BC=2BF,且 AF=3,则此抛物线的方程为________.

(2)(2016· 西安模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若 AF=3,则△AOB 的面积为________. 解析 (1)设 A,B 在准线上的射影分别为 A1,B1, 由于 BC=2BF=2BB1,则直线 l 的斜率为 3, 故 AC=2AA1=6,从而 BF=1,AB=4, p CF 1 3 故AA =AC=2,即 p=2,从而抛物线的方程为 y2=3x. 1 (2)

如图,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又 AF=3,由抛物线定义知, 点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,所以点 A 的横坐标为 2,将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知点 A 的纵坐标为 y=2 2,所以 A(2,2 2),所以直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1), ?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x, ? 1 ?x= , 解得? 2 ? ?y=- 2 ?x=2, ?1 ? 或? 由图知 B?2,- 2?, ? ? ?y=2 2,

1 3 2 所以 S△AOB=2×1×|yA-yB|= 2 . 3 2 答案 (1)y2=3x (2) 2 考点三 直线与抛物线的位置关系 【例 3】 (2017· 苏北四市联考)已知点 F 为抛物线 E: y2=2px(p>0)的焦点, 点 A(2, m)在抛物线 E 上,且 AF=3.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. 法一 (1)解 p 由抛物线的定义得 AF=2+2.

p 因为 AF=3,即 2+2=3,解得 p=2, 所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.

(2)证明

因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,

所以 m=± 2 2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). ?y=2 2?x-1?, 由? 2 得 2x2-5x+2=0, ?y =4x 1 ?1 ? 解得 x=2 或 x=2,从而 B?2,- 2?. ? ? 又 G(-1,0), 2 2-0 2 2 - 2-0 2 2 所以 kGA= = 3 ,kGB= 1 =- 3 . 2-?-1? 2-?-1? 所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相 等,故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 法二 (1)同法一. (2)证明 设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.

因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上, 所以 m=± 2 2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). ?y=2 2?x-1?, 由? 2 ?y =4x 得 2x2-5x+2=0.

1 解得 x=2 或 x=2, ?1 ? 从而 B?2,- 2?. ? ? 又 G(-1,0), 故直线 GA 的方程为 2 2x-3y+2 2=0. 从而 r= |2 2+2 2| 4 2 = . 17 8+9

又直线 GB 的方程为 2 2x+3y+2 2=0. 所以点 F 到直线 GB 的距离 |2 2+2 2| 4 2 d= = =r. 17 8+9 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点, 若过抛物线的焦点,可直接使用公式 AB=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一 般弦长公式. (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采 用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 【训练 3】(2016· 全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延 长交 C 于点 H. OH (1)求ON ; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由.
2 ?t ? 解 (1)由已知得 M(0,t),P?2p,t?, ? ?

?t ? 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N? p ,t?, ? ? p 故 ON 的方程为 y= t x,
2 2t2 ?2t ? 将其代入 y =2px 整理得 px -2t x=0,解得 x1=0,x2= p ,因此 H? p ,2t?. ? ? 2 2 2

2

OH 所以 N 为 OH 的中点,即ON =2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点,理由如下: p 2t 直线 MH 的方程为 y-t=2tx,即 x= p (y-t). 代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t, 即直线 MH 与 C 只有一个公共点, 所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点.

[思想方法] 1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点 M,一个定点 F(抛物线 的焦点),一条定直线 l(抛物线的准线),一个定值 1(抛物线的离心率). 2. 抛物线的焦点弦: 设过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1, y1),B(x2,y2),则: p2 (1)y1y2=-p ,x1x2= 4 ;
2

2p (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ,则 AB=sin2θ;AB=x1+x2+p; 1 1 2 (3)若 F 为抛物线焦点,则有AF+BF=p. [易错防范] 1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y=ax2(a≠0)与 y2=2px(p>0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为 y2 =mx 或 x2=my(m≠0). 2.直线与抛物线结合的问题,不要忘记验证判别式.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 k 1.(2016· 全国Ⅱ卷改编)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y=x(k>0)与 C 交

于点 P,PF⊥x 轴,则 k=________. 解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由 PF⊥x 轴知,PF=2,所以 P 点的 k 坐标为(1,2),代入曲线 y=x(k>0)得 k=2. 答案 2 2.点 M(5,3)到抛物线 y =ax2(a≠0)的准线的距离为 6 ,那么抛物线的方程是 ________. 1 1 解析 分两类 a>0,a<0 可得 y=12x2,y=-36x2. 1 1 答案 y=12x2 或 y=-36x2 3. (2017· 苏州测试)过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1, y1), Q(x2, y2)两点,如果 x1+x2=6,则 PQ=________. 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.根据题意可得,PQ= PF+QF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8. 答案 8 x2 y2 4.(2017· 兰州诊断)抛物线 y =-12x 的准线与双曲线 9 - 3 =1 的两条渐近线所
2

围成的三角形的面积等于________.

解析 由图可知弦长 AB=2 3,三角形的高为 3, 1 ∴面积为 S=2×2 3×3=3 3. 答案 3 3 5.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF → =4FQ → ,则 QF=________. 与 C 的一个交点.若FP → =4FQ →, 解析 ∵FP

→ =4|FQ → |,∴PQ=3. ∴FP PF 4 如图,过 Q 作 QQ′⊥l,垂足为 Q′, 设 l 与 x 轴的交点为 A, 则 AF=4,∴ PQ QQ′ 3 = = , PF AF 4

∴QQ′=3,根据抛物线定义可知 QQ′=QF=3. 答案 3 6.(2017· 扬州中学质检)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物 线于 A,B 两点,则弦长 AB 为________. 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2).易得抛物线的焦点是 F(1,0),所以直线 AB 的方
2 ?y =4x, 程是 y=x-1,联立? 消去 y 得 x2-6x+1=0,所以 x1+x2=6,所以 ?y=x-1,

AB=x1+x2+p=6+2=8. 答案 8 7. (2017· 南通调研)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F, 准线为 l, P 为抛物线上一点, 过 P 作 PA⊥l 于点 A,当∠AFO=30° (O 为坐标原点)时,PF=________. 解析 如图

2 3 ,令 l 与 y 轴交点为 B,在 Rt△ABF 中,∠AFB=30° ,BF=2,所以 AB= 3 , 2 3 1 4 若 P(x0,y0),则 x0= 3 ,代入 x2=4y 中,则 y0=3,所以 PF=PA=y0+1=3. 4 答案 3

8.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.则水 位下降 1 米后,水面宽________米.

解析

建立如图平面直角坐标系,设抛物方程为 x2=-2py(p>0). 由题意将点 A(2,-2)代入 x2=-2py,得 p=1,故 x2=-2y.设 B(x,-3),代入 x2=-2y 中,得 x= 6,故水面宽为 2 6米. 答案 2 6 二、解答题 9.(2016· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x-y-2=0,抛 物线 C:y2=2px(p>0).

(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证:线段 PQ 的中点坐标为(2-p,-p); ②求 p 的取值范围. (1)解 ∵l:x-y-2=0,∴l 与 x 轴的交点坐标为(2,0).

p 即抛物线的焦点为(2,0),∴2=2,∴p=4. ∴抛物线 C 的方程为 y2=8x. (2)①证明 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2).

则? 2 ?y2=2px2,

2 ?y1=2px1,

y1 ? ?x1=2p, 则? y2 2 x = ? ? 2 2p,

2

y1-y2 2p ∴kPQ= y2 y2 = , y1+y2 1 2 2p-2p 又∵P,Q 关于 l 对称.∴kPQ=-1,即 y1+y2=-2p, y1+y2 ∴ 2 =-p,又∵PQ 的中点一定在 l 上, x1+x2 y1+y2 ∴ 2 = 2 +2=2-p. ∴线段 PQ 的中点坐标为(2-p,-p). ②解 ∵PQ 的中点为(2-p,-p),

?y1+y2=-2p, ? 2 ∴? y2 1+y2 x +x = 2p =4-2p, ? ? 1 2 ?y1+y2=-2p, ?y1+y2=-2p, ? 即? 2 2 ∴ 2 2 ?y1+y2=8p-4p , ?y1y2=4p -4p, 即关于 y 的方程 y2+2py+4p2-4p=0,有两个不等实根.∴Δ>0. 4 即(2p)2-4(4p2-4p)>0,解得 0<p<3, 4? ? 故所求 p 的范围为?0,3?. ? ? y2 x2 10.(2017· 南京师大附中模拟)已知双曲线a2- 4 =1(a>0)的离心率为 5,抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E,F 两点,又过 E,F 作抛物线 C 的切 线 l1,l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. 解 (1)双曲线的离心率 e= 4 1+a2= 5,

又 a>0,∴a=1,双曲线的顶点为(0,1), 又 p>0,

∴抛物线的焦点为(0,1), ∴抛物线方程为 x2=4y. (2)设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2), 1 1 ∵y=4x2,∴y′=2x, x1 x2 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 2 , 2 , x1 x2 当 l1⊥l2 时, 2 · 2 =-1,∴x1x2=-4, ?y=k?x+1?, 由? 2 得 x2-4kx-4k=0, ?x =4y ∴Δ=(-4k)2-4(-4k)>0, ∴k<-1 或 k>0.① 解 x2-4kx-4k=0 得 x1,2=2k± 2 k2+k. x1· x2=-4k=-4,∴k=1,满足①, 即直线的方程为 x-y+1=0. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) ?7 ? 11.(2017· 镇江调研)已知 P 是抛物线 y2=2x 上动点,A?2,4?,若点 P 到 y 轴的 ? ? 距离为 d1,点 P 到点 A 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是________. 1 解析 因为点 P 在抛物线上,所以 d1=PF-2(其中点 F 为抛物线的焦点),则 d1 1 1 +d2=PF+PA-2≥AF-2= AF 与抛物线的交点时取等号. 9 答案 2 12.(2016· 四川卷改编)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p>0) 上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且 PM=2MF,则直线 OM 的斜率的最大值 为________. 解析 如图, 1 1 9 ?7 1?2 ?2-2? +42- =5- = ,当且仅当点 P 是线段 2 2 2 ? ?

2 ?p ? ? y0 ? → =OF → +FM → =OF → +1FP → 由题可知 F?2,0?,设 P 点坐标为?2p,y0?(y0>0),则OM 3 ? ? ? ?

y0 2 3 y p y 2 2 2 0 0? → +1(OP → -OF → )=1OP → +2OF → =? ?6p+3, 3 ?, =OF k OM= 2 3 3 3 y0 p=y0 2p≤2 2= 2 , ? ? 6p+3 p + y0
2 当且仅当 y0 =2p2 等号成立.

答案

2 2

→· → 13. 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点, 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA OB =2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________.

→ =(m2,m),OB → 解析 如图,可设 A(m2,m),B(n2,n),其中 m>0,n<0,则OA →· → =m2n2+mn=2,解得 mn=1(舍)或 mn=-2. =(n2,n),OA OB ∴lAB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令 y=0,解得 x =-mn=2,∴C(2,0). 1 1 1 1 1 S△AOB=S△AOC+S△BOC=2×2×m+2×2×(-n)=m-n,S△AOF=2×4×m=8m, 1 9 9 2 则 S△AOB+S△AOF=m-n+8m=8m-n=8m+m≥2 9 2 9 2 m · = 3 , 当且仅当 m = 8 m 8 m,

4 即 m=3时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为 3. 答案 3 14.(2017· 南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 ?3 ? y2=2px(p>0)上一点 P?4,m?到准线的距离与到原点 O 的距离相等,抛物线的焦 ? ?

点为 F. (1)求抛物线的方程; (2)若 A 为抛物线上一点(异于原点 O),点 A 处的切线交 x 轴于点 B,过 A 作准线 的垂线,垂足为点 E,试判断四边形 AEBF 的形状,并证明你的结论. ?3 ? 解 (1)由题意得点 P?4,m?到准线的距离等于 PO, ? ? 由抛物线的定义得点 P 到准线的距离为 PF, ?3 ? 所以 PO=PF,即点 P?4,m?在线段 OF 的中垂线上, ? ? p 3 所以4=4,p=3, 所以抛物线的方程为 y2=6x.

(2)四边形 AEBF 为菱形,理由如下: 3 ?1 2 ? ,y0?在 x 轴的上方, 由抛物线的对称性, 设点 A?6y0 所以点 A 处切线的斜率为y , ? ? 0 3? 1 ? 所以点 A 处切线的方程为 y-y0=y ?x-6y2 0?, ? 0? 1 令上式中 y=0,得 x=-6y2 0, ? 1 2 ? ,0?, 所以 B 点坐标为?-6y0 ? ? ? 3 ? ?3 ? 又 E?-2,y0?,F?2,0?, ? ? ? ? 1 3 ? → ?1 2 3 ? → =? ?6y2 所以FA 0- ,y0?,BE=? y0- ,y0?, 2 6 2 ? ? ? ? → =BE → ,所以 FA∥BE, 所以FA 又 AE∥FB,故四边形 AEBF 为平行四边形, 再由抛物线的定义,得 AF=AE,所以四边形 AEBF 为菱形.

高考导航 直线的概念与直线方程是解析几何的基础, 在高考中与直线相关的考 题较多,但单独命题不多,它渗透到解析几何的各个部分,重视斜率、直线方程 的应用等基础知识在圆、圆锥曲线中的综合应用.圆的方程、直线与圆的位置关 系是高考考查的热点,主要考查圆的方程、弦长、面积的求法,并常与圆的几何 性质交汇.圆锥曲线是解析几何的核心部分,也是每年高考必考的一道解答题, 常以求曲线的标准方程、 位置关系、 定点、 定值、 最值、 范围、 探索性问题为主, 注重“算理”的积累和表征, 试题从不同的角度对问题进行表征,体现了对解析 几何“多考一点想,少考一点算”的命题特点,问题在第(2)问或第(3)问中都伴 有较为复杂的运算,要求有较强的运算求解能力.

热点一 直线与圆的交汇问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点,主要考查直线与圆的相交、相切、相离 的判定与应用,以及弦长、面积的求法等,并常与圆的几何性质交汇,要求学生 有较强的运算求解能力. 【例 1】(2017· 苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 过原点 O 的动直线 l 与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B,若点 A 恰为线段 OB 的中点,则圆心 C 到直线 l 的距离为________. 解析 由题知圆 C: (x-3)2+y2=4, 圆心为 C(3,0), 半径为 2.设 AB 的中点为 D, 则 CD⊥AB,CD 即为圆心 C 到直线 l 的距离,设 CD=d,AD=m(0<m<2),则 有 AB=2AD=2m,则在 Rt△ACD 中由勾股定理可得 d2+m2=r2=4 在 Rt△OCD 中由勾股定理可得 d2+(3m)2=OC2=9 答案 3 6 4 与圆有关的综合问题,既可以用代数法求解,用到方程与函数思想, 3 6 ②,联立①②解得 d= 4 . ①,同理

探究提高

同时圆有很多几何性质,注意分类讨论、数形结合思想,充分利用圆的几何性质

求解,往往会事半功倍. 【训练 1】(2017· 南通、扬州、泰州、淮安四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中, 过点 P(-2,0)的直线与圆 x2+y2=1 相切于点 T,与圆(x-a)2+(y- 3)2=3 相交 于点 R,S,且 PT=RS,则正数 a 的值为________. 解析 不妨设直线 PT 的倾斜角是锐角,则 PT 的方程是 x- 3y+2=0,PT=RS = 3.设圆心(a, 3)到直线 x- 3y+2=0 的距离为 d,则 3=2 3-d2,解得 d |a-3+2| 3 3 =2,则 =2,解得 a=4 或 a=-2(舍去). 2 答案 4 热点二 圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型, 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点, 求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型. 【例 2】 (1)(2017· 南通调研)以抛物线 y2=4x 的焦点为焦点,以直线 y=± x 为渐 近线的双曲线的标准方程为________. (2)(2017· 泰州模拟)设 F 是双曲线的一个焦点,点 P 在双曲线上,且线段 PF 的 中点恰为双曲线虚轴的一个端点,则双曲线的离心率为________. x2 y2 (3)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)与抛物线 y2=2px(p>0)有相同的焦点 F, P, Q是 x2 y2 椭圆与抛物线的交点, 若直线 PQ 经过焦点 F, 则椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心 率为________. 解析 (1)由抛物线 y2=4x 的焦点(1,0)是双曲线的焦点,得双曲线的焦点在 x 轴 1 上, 且 c=1, 由 y=± x 为双曲线的渐近线得 a=b, 且 a2+b2=c2, 则 a2=b2=2, x2 y2 所以双曲线的标准方程为 1 - 1 =1. 2 2 x2 y2 (2)不妨设 F(-c,0),PF 的中点 Q(0,b),则 P(c,2b)在双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) c2 4b2 c2 c 上,代入得a2- b2 =1,即a2=5,则离心率 e=a= 5. (3)

?p ? 因为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 为?2,0?,设椭圆另一焦点为 E.如图所示, ? ? p ?p ? 将 x=2代入抛物线方程得 y=± p,又因为 PQ 经过焦点 F,所以 P?2,p?且 PF⊥ ? ? OF. 所以 PE= ?p p?2 ?2+2? +p2= 2p, ? ?

PF=p,EF=p. 2c 故 2a= 2p+p,2c=p,e=2a= 2-1. x2 y2 答案 (1) 1 - 1 =1 2 2 探究提高 (2) 5 (3) 2-1

(1)在椭圆和双曲线中,椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦

点的距离联系在一起, 可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点 的距离,也可以结合三角形的知识,求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物 线中, 利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再利用 数形结合的思想去解决有关的最值问题. (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数 之间的关系, 或者求出圆锥曲线方程中的各个系数,再根据圆锥曲线的几何性质 通过代数方法进行计算得出结果. 【训练 2】(2017· 苏北四市联考)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p>0) x2 y2 的焦点为 F,双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于 A,B 两点(A,B 异于坐标原点 O).若直线 AB 恰好过点 F,则双曲线的渐近线方程是 ________. b ?p bp? 解析 不妨设点 A 是渐近线 y=ax 与抛物线的交点,则 A?2,2a?在抛物线上, ? ? p b b ?bp? 所以?2a?2=2p×2,化简得a=2,故双曲线的渐近线方程是 y=± 2x. ax=± ? ? 答案 y=± 2x

热点三 圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答) 定点、 定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆 锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题. x2 y2 【例 3】(满分 16 分)(2017· 南京、盐城模拟)椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率 3 为 2 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是直线 x=1 上的动点,直线 PA 与 椭圆的另一交点为 M,直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证:直线 MN 经过一定 点. 满分解答 (1)解 c 3 依题意得 e=a= 2 ,????2 分

x2 y2 过右焦点 F 与长轴垂直的直线 x=c 与椭圆a2+b2=1, 2b2 联立解得弦长为 a =1,????4 分 ∴a=2,b=1, x2 所以椭圆 C 的方程为 4 +y2=1.????6 分 (2)证明 设 P(1,t),kPA= t-0 t t =3,直线 lPA:y=3(x+2), 1+2

t ? ?y=3?x+2?, 联立得? 2 x ? 4 +y2=1, ? 即(4t2+9)x2+16t2x+16t2-36=0,????8 分 可知-2xM= 16t2-36 , 4t2+9

18-8t2 所以 xM= 2 , 4t +9 18-8t ? x = M ? 4t2+9 , 则? 12t yM= 2 . ? ? 4t +9
2

8t -2 ? x = N ? 4t2+1, 同理得到? 4t yN= 2 . ? ? 4t +1

2

…………12 分

由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴上,不妨设这个定点为 Q(m,0), 12t 4t 2 2 4t +9 4t +1 又 kMQ= ,kNQ= 2 ,????14 分 2 18-8t 8t -2 -m -m 4t2+9 4t2+1 kMQ=kNQ,所以化简得(8m-32)t2-6m+24=0, ?8m-32=0, 令? 得 m=4, ?-6m+24=0, 即直线 MN 经过定点(4,0).????16 分

?列出方程,解出 a,b,并写出椭圆 C 的方程得 6 分. ?设出直线 lPA 的方程与椭圆方程联立消去 y 得到关于 x 的方程得 2 分. ?求出点 M、N 的坐标得 4 分. ?正确表示出 kMQ、kNQ,得 2 分. ?由 kMQ=kNQ,得出 m 的值,并说明直线 MN 过定点(4,0),得 2 分. 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 第一步: 研究特殊情形, 从问题的特殊情形出发, 得到目标关系所要探求的定点、 定值. 第二步:探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步:下结论,综合上面两种情况定结论. 【训练 3】 (2017· 徐州、 宿迁、 连云港三市模拟)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, x2 y2 2 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),离心率为 2 .分别过 O,F 的两条弦 AB,CD 相交于点 E(异于 A,C 两点),且 OE=EF.

(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC,BD 的斜率之和为定值. (1)解 c 2 由题意,得 c=1,e=a= 2 ,故 a= 2,

从而 b2=a2-c2=1, x2 2 所以椭圆的方程为 2 +y =1. (2)证明 ① ②

设直线 AB 的方程为 y=kx,

直线 CD 的方程为 y=-k(x-1), ③ 由①②得,点 A,B 的横坐标为± 2 , 2k +1
2

2k2± 2?k2+1? 由①③得,点 C,D 的横坐标为 . 2k2+1 设 A(x1,kx1),B(x2,kx2),C(x3,k(1-x3)), D(x4,k(1-x4)), 则直线 AC,BD 的斜率之和 kx1-k?1-x3? kx2-k?1-x4? + x1-x3 x2-x4 ?x1+x3-1??x2-x4?+?x1-x3??x2+x4-1? =k· ?x1-x3??x2-x4? 2?x1x2-x3x4?-?x1+x2?+?x3+x4? =k· ?x1-x3??x2-x4? 2k2-2? ? -2 4k2 2? 2 - 2 ?-0+ 2 2k +1 ?2k +1 2k +1? =k· ?x1-x3??x2-x4? 4k2 4k2 - 2 + 2 2k +1 2k +1 =k· =0 为定值. ?x1-x3??x2-x4? 热点四 圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相 关的一些问题; 二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值 时求解与之有关的一些问题. x2 y2 【例 4】(2017· 苏州调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:a2+b2=1(a> b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2,一条准线方程为 x=2.P 为椭圆 C 上一点,直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为(0,b),求过 P,Q,F2 三点的圆的方程; ?1 ? → → → OQ → 的最大值. (3)若F 1P=λQF1,且 λ∈?2,2?,求OP· ? ? 2c=2, ? ? 解 (1)由题意得?a2 =2, ? ?c 解得 c=1,a2=2, 所以 b2=a2-c2=1, x2 所以椭圆 C 的方程为 2 +y2=1. (2)因为 P(0,1),F1(-1,0),所以 PF1 的方程为 x-y+1=0. x-y+1=0, ? ? 由?x2 2 +y =1 ? ?2 4 x=-3, ? ? x = 0 , ? 解得? 或? 1 ?y=1 ?y=-3, ?

1? ? 4 所以点 Q 的坐标为?-3,-3?. ? ? 法一 因为 kPF1· kPF2=-1,所以△PQF2 为直角三角形. 1? 5 2 ? 1 因为 QF2 的中点为?-6,-6?,QF2= 3 , ? ? 1 5 2 圆的半径为2QF2= 6 , ? 1? ? 1? 25 所以圆的方程为?x+6?2+?y+6?2=18. ? ? ? ? 法二 设过 P,Q,F2 三点的圆为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

1+E+F=0, ? ?1+D+F=0, 则? 17 4 1 ? ? 9 -3D-3E+F=0,

? ? 1 解得?E=3, ? ?F=-4 3.

1 D=3,

1 1 4 所以圆的方程为 x2+y2+3x+3y-3=0. (3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 则F 1P=(x1+1,y1),QF1=(-1-x2,-y2). ?x1+1=λ?-1-x2?, → → 因为F 1P=λQF1,所以? ?y1=-λy2, ?x1=-1-λ-λx2, 即? ?y1=-λy2, ?-1-λ-λx2?2 2 2 ? +λ y2=1, ? 2 所以? 2 x2 2 ? ? 2 +y2=1,

1-3λ 解得 x2= 2λ ,

→· → =x x +y y =x (-1-λ-λx )-λy2 所以OP OQ 1 2 1 2 2 2 2 λ 2 =-2x2 -(1+λ)x2-λ 1-3λ λ ?1-3λ?2 ? -(1+λ)· =-2? 2λ -λ ? 2λ ? 7 5? 1? =4-8?λ+λ?. ? ? 1 ?1 ? 因为 λ∈?2,2?,所以 λ+ λ ≥2 ? ? 1 λ· λ =2,

1 当且仅当 λ=λ ,即 λ=1 时,取等号. →· → ≤1,即OP →· → 的最大值为1. 所以OP OQ OQ 2 2 探究提高 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从 代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式 法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系

建立不等式等方法求最值、范围;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考 虑,根据圆锥曲线几何意义求最值. x2 y2 【训练 4】 (2017· 苏北四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆a2+b2=1(a 3 >b>0)的离心率为 2 ,两个顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0).过点 D(1,0)的直线 交椭圆于 M,N 两点,直线 A1M 与 NA2 的交点为 G.

(1)求实数 a,b 的值; (2)当直线 MN 的斜率为 1 时, 若椭圆上恰有两个点 P1, P2 使得△P1MN 和△P2MN 的面积为 S,求 S 的取值范围; (3)求证:点 G 在一条定直线上. (1)解 由题设可知 a=2.

3 c 3 因为 e= 2 ,即a= 2 ,所以 c= 3. 又因为 b2=a2-c2=4-3=1,所以 b=1. (2)解 x2 由(1)可知,椭圆的方程为 4 +y2=1,

直线 MN 的方程为 y=x-1. x2 2 ? ? +y =1, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组? 4 ? ?y=x-1, 8 消去 y 可得 5x2-8x=0,解得 x1=0,x2=5. 8 将 x1=0,x2=5代入直线 MN 的方程, 3 解得 y1=-1,y2=5. 8 所以 MN= ?x1-x2?2+?y1-y2?2=5 2. 设与直线 MN 平行的直线 m 方程为 y=x+λ.

x2 2 ? ? +y =1, 联立方程组? 4 ? ?y=x+λ, 消去 y 可得 5x2+8λx+4λ2-4=0, 若直线 m 与椭圆只有一个交点, 则满足 Δ=64λ2-20(4λ2-4)=0,解得 λ=± 5. 当直线 m 为 y=x- 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 |-1-?- 5?| 5-1 d1= = ; 2 2 当直线 m 为 y=x+ 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 |-1- 5| 5+1 d2= = . 2 2 设点 C 到 MN 的距离为 d,要使△CMN 的面积为 S 的点 C 恰有两个, 则需满足 d1<d<d2,即 5-1 5+1 <d< . 2 2

4 5-4 4 5+4 1 4 因为 S=2d· MN=5 2d,所以 5 <S< 5 . ?4 5-4 4 5+4? 即 S 的取值范围为? , 5 ?. ? 5 ? (3)证明 设直线 A1M 的方程为 y=k1(x+2),

直线 A2N 的方程为 y=k2(x-2). x2 2 ? ? +y =1, 联立方程组? 4 ? ?y=k1?x+2?,
2 2 2 2 消去 y 得(1+4k2 1)x +16k1x+16k1-4=0,

4k1 ? ?2-8k1 解得点 M 的坐标为? 2, 2?. ?1+4k1 1+4k1?
2 ?8k2-2 -4k2 ? 同理,可解得点 N 的坐标为? 2, 2?. ?1+4k2 1+4k2?

-4k2 4k1 2 2 1+4k1 1+4k2 由 M,D,N 三点共线,有 = 2 , 2-8k2 8k2-2 1 -1 -1 1+4k2 1+4k2 1 2 化简得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0.

由题设可知 k1 与 k2 同号,所以 k2=3k1. ?y=k1?x+2?, 联立方程组? ?y=k2?x-2?, ?2?k1+k2? 4k1k2 ? , ?. 解得交点 G 的坐标为? k2-k1? ? k2-k1 将 k2=3k1 代入点 G 的横坐标, 得 xG= 2?k1+k2? 2?k1+3k1? = =4. k2-k1 3k1-k1

所以,点 G 恒在定直线 x=4 上. 热点五 圆锥曲线的探索性问题(与圆交汇) 圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:(1)探索点是否存在;(2)探索 曲线是否存在;(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与 圆锥曲线的位置关系问题. 【例 5】(2017· 盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆的焦点在 x 轴上, 5 离心率为 3 ,且经过点(0,2). (1)求椭圆的标准方程; (2)以椭圆的长轴为直径作圆 O,设 T 为圆 O 上不在坐标轴上的任意一点,M 为 x 轴上一点,过圆心 O 作直线 TM 的垂线交椭圆右准线于点 Q. 问:直线 TQ 能否与圆 O 总相切?如果能,求出点 M 的坐标;如果不能,请说 明理由. x2 y2 解 (1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),∵经过点(0,2),∴b=2, c 5 又∵e=a= 3 ,可令 c= 5m,a=3m, ∴b2=a2-c2=4m2=4,即 m=1, x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 9 + 4 =1. (2)存在点 M( 5,0).使得直线 TQ 与圆 O 总相切. 设点 T(x0,y0),M(c,0),∵T 在以椭圆的长轴为直径的圆 O 上,且不在坐标轴上 的任意点,

2 ∴x0y0≠0 且 x2 0+y0=9,又∵kTM=

y0 , x0-c

x0-c 由 OQ⊥TM,∴kOQ=- y , 0 x0-c ∴直线 OQ 的方程为 y=- y x, 0 9 5 9 5 ∵点 Q 在直线 x= 5 上,令 x= 5 , 得 y=- 9 5?x0-c? ?9 5 9 5?x0-c?? ? ?, ,即 Q ,- 5y0 5y0 ? 5 ? 9 5?x0-c? 5y0 5y2 0+9 5?x0-c? = 9 5 y0?5x0-9 5? x0- 5

y0+ ∴kTQ=

5?9-x2 0?+9 5?x0-c? = , y0?5x0-9 5? y0 又 kOT=x ,TQ 与圆 O 总相切,故 OT⊥TQ,
0

于是有 kOT· kTQ=-1, 5?9-x2 x0 x0 0?+9 5?x0-c? kTQ=-y ,即 =-y 恒成立,解得 c= 5, 0 0 y0?5x0-9 5? 即存在这样的点 M( 5,0),使得 TQ 与圆 O 总相切. 探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”, 将不确定性问题明朗化. 其 步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出, 列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参 数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. x2 y2 【训练 5】(2017· 扬州调研)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点到其右准线 的距离为 1, 到右顶点的距离为 2-1, 圆 O: x2+y2=a2, P 为圆 O 上任意一点.

(1)求 a,b; MH (2)过点 P 作 PH⊥x 轴,垂足为 H,线段 PH 与椭圆交点为 M,求 PH ; (3)过点 P 作椭圆 E 的一条切线 l, 直线 m 是经过点 P 且与切线 l 垂直的直线, 试 问:直线 m 是否经过一定点?如果是,请求出此定点坐标;如果不是,请说明 理由. ?a ? -c=1, 解 (1)由已知得? c ? ?a-c= 2-1,
2

解得 a= 2,c=1,∴b=1.

x2 0 (2)设 P(x0,y0),M(x0,y1),则 2 +y2 1=1,
2 ∵x0 +y2 0=2,得

2-y2 x2 y2 0 0 0 2 y1=1- =1- = , 2 2 2

MH ∴ PH =

y2 2 1 2= y0 2 .

(3)①当 x0≠± 1 且 y0≠0 时,设切线 l:y-y0=k(x-x0), 代入椭圆方程,x2+2[kx-(kx0-y0)]2=2, 整理得(1+2k2)x2-4k(kx0-y0)x+2(kx0-y0)2-2=0, 由 Δ=0 得(kx0-y0)2-2k2-1=0,
2 2 即(x2 0-2)k -2x0y0k+y0-1=0, 2 2 2 2 又 x0 +y2 0=2,故有 y0k +2x0y0k+x0=1,

所以 k= 当 k= 得 y= 当 k=

-x0± 1 y0 ,

x0+1 y0 时,直线 m:y-y0= (x-x0), -y0 x0+1 y0 (x-1)过定点(1,0); x0+1 x0-1 y0 时,直线 m:y-y0= (x-x0), -y0 x0-1

得 y=

y0 (x+1)过定点(-1,0). x0-1

②当 x0=± 1 时,直线 m 为 x=1 或 x=-1,经过定点(1,0)或(-1,0). ③当 y0=0 时,直线 m 为 x 轴,经过定点(1,0)或(-1,0). 综上所述,直线 m 经过定点(1,0)或(-1,0).

(建议用时:90 分钟) 一、填空题 1.(2017· 苏州调研)若直线 l1:y=x+a 和直线 l2:y=x+b 将圆(x-1)2+(y-2)2 =8 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2=________. 解析 由弧长相等得弧所对的圆心角相等,所以四段弧所对的圆心角都是 90° ,

|a-1| 2 直线 l1, l2 分布在圆心的两侧, 且圆心到直线 l1, l2 的距离 d= 2 r=2, 即 = 2 |b-1| 2, =2,所以 a=2 2+1,b=-2 2+1 或 a=-2 2+1,b=2 2+1,所 2 以 a2+b2=(2 2+1)2+(-2 2+1)2=18. 答案 18 x2 2.(2016· 南京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线a2-y2=1 与抛物线 y2= -12x 有相同的焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为________. x2 解析 抛物线 y2=-12x 的焦点(-3,0)是双曲线a2-y2=1 的一个焦点,则 a2+1 1 2 =9,a2=8,则双曲线的两条渐近线方程为 y=± x=± 4 x. 2 2 2 答案 y=± 4 x 二、解答题 3? x2 y2 ? 3.(2017· 徐州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P?1,2?在椭圆 C:a2+b2 ? ? =1(a>b>0)上,P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 M,N 是椭圆 C 上的两点,且四边形 POMN 是平行四边形,求点 M,N

的坐标. 1 9 解 (1)由题意知a2+4b2=1,2a=4, x2 y2 解得 a2=4,b2=3,所以椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. 1+x1 ?x2 y2? (2)设 M(x1, y1), N(x2, y2), 则 ON 的中点坐标为? 2 , 2 ?, PM 的中点坐标为 2 , ? ? 3 2+y1 2 .

? ? 2 =2, 因为四边形 POMN 是平行四边形,所以?3 2+y y ? ? 2 =2,
1+x1 x2
1 2

x =x -1, ? ? 1 2 即? 3 y =y - . ? ? 1 2 2 又点 M,N 是椭圆 C 上的两点, 3x2+4y2 ? 2=12, ? 2 所以? 3? ? 3?x -1?2+4?y2-2?2=12. ? ? 2 ? ? x =-1, ? ? 2 ?x2=2, 解得? 或? 3 y2=2. ?y2=0 ? ? x =-1, ? ? 2 由? 3 y2=2, ? ? ?x1=-2, 得? ?y1=0. x =1, ? ? 1 ?x2=2, 由? 得? 3 y1=-2. ?y2=0, ? ?

3? 3? ? ? 所以点 M?1,-2?,N(2,0)或 M(-2,0),N?-1,2?. ? ? ? ? x2 y2 4.(2016· 北京卷)已知椭圆 C:a2+b2=1 过点 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值.

(1)解

由题意知 a=2,b=1.

x2 所以椭圆方程为 4 +y2=1,又 c= a2-b2= 3. c 3 所以椭圆离心率 e=a= 2 . (2)证明
2 设 P 点坐标为(x0,y0)(x0<0,y0<0),则 x2 0+4y0=4,由 B 点坐标(0,1)

y0-1 得直线 PB 方程为:y-1= x (x-0), 0 令 y=0,得 xN= x0 x0 ,从而 AN=2-xN=2+ , 1-y0 y0-1 y0 (x-2), x0-2

由 A 点坐标(2,0)得直线 PA 方程为 y-0= 令 x=0,得 yM=

2y0 2y0 ,从而 BM=1-yM=1+ , 2-x0 x0-2

1 所以 S 四边形 ABNM=2AN· BM x0 ?? 2y0 ? 1? =2?2+y -1??1+x -2? ? 0 ?? 0 ?
2 x2 0+4y0+4x0y0-4x0-8y0+4 = 2?x0y0-x0-2y0+2?

2x0y0-2x0-4y0+4 = =2. x0y0-x0-2y0+2 即四边形 ABNM 的面积为定值 2. x2 y2 5. (2017· 苏北四市联考)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)过点(0, 1), P 为椭圆上一点, 椭圆在点 P 处的切线与直线 x=c 和右准线 x=2 分别交于点 M,N.

(1)求椭圆的方程; MF (2)F 为椭圆的焦点,当点 P 在椭圆上移动时,请问 NF 的值是否为定值,并说明 理由.



b=1, ? ?a2 (1)由题意得? c =2, ? ?a2=b2+c2,

?a= 2, x2 解得? 所以椭圆的方程为 2 +y2=1. ?b=1, MF 2 (2)当点 P 在椭圆上移动时, NF 的值为定值 2 .理由如下: 由题意可得切线的斜率存在,设点 P(x0,y0),则切线方程为 y-y0=k(x-x0),由 x2 ? ? +y2=1, ?2 ? ?y-y0=k(x-x0), 得(2k2+1)x2+4k(y0-kx0)x+2[(y0-kx0)2-1]=0,
2 2 2 由 Δ=0 得(2-x0 )k +2kx0y0+(1-y0 )=0, 2 2 即 4y0 k +4kx0y0+x2 0=0,

即(2y0k+x0)2=0, x0 所以 k=-2y .
0

x0 x0x 故切线方程为 y-y0=-2y (x-x0),即 2 +y0y=1.
0

x=1, ? ? 2-x0? ? ?, 由?x0x 得 M?1, 2y0 ? ? + y 0y=1 ? ?2 x=2, ? ? 1-x0? ? ?, 由?x0x 得 N?2, y0 ? ? + y 0y=1 ? ?2 ?2-x0?2 ? ? (2-x0)2 (2-x0)2 1 2 ? 2y0 ? ?MF? 2 所以 ? NF ? = = · · 2 2= 4 4 ? ? y0+(1-x0) (2-x0)2 ?1-x0?2 ? 1+? ? y0 ? 1 =2, MF 2 故 NF = 2 . MF 2 综上,当 P 在椭圆上移动时(除去两顶点( 2,0),(- 2,0)),NF 的值为定值 2 .

x2 y2 6. (2017· 苏、 锡、 常、 镇、 宿迁五市调研)如图, 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 → → 右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,点 M 在 PF1 上,且满足F 1M=λMP(λ∈ R),PO⊥F2M,O 为坐标原点.

x2 y2 (1)若椭圆方程为 + =1,且 P(2, 2),求点 M 的横坐标; 8 4 (2)若 λ=2,求椭圆离心率 e 的取值范围. x2 y2 解 (1)∵ 8 + 4 =1,∴F1(-2,0),F2(2,0), 2 2 又 P(2, 2),∴kOP= 2 ,kF1M= 4 , ∵PO⊥F2M,∴kF2M=- 2, ∴直线 F2M 的方程为 y=- 2(x-2), 2 直线 F1M 的方程为 y= 4 (x+2),

?y=- 2?x-2?, 由? 2 ?y= 4 ?x+2?,
6 ∴点 M 的横坐标为5.

6 解得 x=5,

(2)由题知 0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0). 设 P(x0,y0),M(xM,yM), → → → 2→ 2 ∵λ=2,∴F 1M=2MP,∴F1M= F1P= (x0+c,y0)=(xM+c,yM), 3 3 1 2 ? 4 2 ? ?2 ?2 → ∴M?3x0-3c,3y0?,∴F 2M=?3x0-3c,3y0?, ? ? ? ? → =(x ,y ), ∵PO⊥F2M,OP 0 0 2 4 ? 2 2 → → =0,即? ?3x0-3c?x0+ y0 ∴F OP 2M· 3 =0, ? ?

2 整理得 x0 +y2 0=2cx0.

x2+y2=2cx0, ? ? 0 0 2 联立?x0 y2 0 2+ 2=1, ? ?a b 解得 x0=

2 消去 y0 得 c2x0 -2a2cx0+a2(a2-c2)=0,

a?a+c? a?a-c? 或 x 0= c c , a?a-c? c ∈(0,a),

∵-a<x0<a,∴x0=

c 1 ∴0<a2-ac<ac,∴e=a>2, ?1 ? 综上,椭圆离心率 e 的取值范围为?2,1?. ? ? x2 y2 7.(2017· 盐城模拟)如图,已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的上顶点为 A(0,1),离 3 心率为 2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 A 作圆 M: (x+1)2+y2=r2(0<r<1)的两条切线分别与椭圆 C 相交于点 B, D(不同于点 A). 当 r 变化时, 试问直线 BD 是否过某个定点?若是, 求出该定点; 若不是,请说明理由. b=1, ? ?c 3 (1)由已知可得? = , a 2 ? ?a2=b2+c2,



解得 a=2,b=1,

x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 +y =1. (2)直线 BD 过定点.设切线方程为 y=kx+1,则 即(1-r2)k2-2k+1-r2=0, |1-k| =r, 1+k2

设两切线 AB,AD 的斜率分别为 k1,k2(k1≠k2),则 k1,k2 是上述方程的两根,所 以 k1· k2=1. y=kx+1, ? ? 由?x2 2 +y =1 ? ?4 得(1+4k2)x2+8kx=0,

设 B(x1,y1),D(x2,y2), 所以 x1=- 1-4k2 8k1 1 , y = 2. 1 1+4k2 1 + 4 k 1 1 1-4k2 k2 8k2 8k1 2 1-4 =- , y = = , 2 2 2 2 1+4k2 k1+4 1+4k2 k2 1+4

同理可得 x2=-

2 k2 1-4 1-4k1 - 2 k2 k2 1+4 1+4k1 1+1 所以 kBD= 8k =- 8k1 3k1 , 1 - 2 + 2 k1+4 1+4k1

所以直线 BD 方程为 y- 令 x=0,得 y= 5? ? ?0,-3?. ? ?

8k1 ? 1-4k2 k2 1 1+1? ?x+1+4k2?. =- 2 3k1 ? 1+4k1 1?

1-4k2 k2 -8k1 -5-20k2 5 1 1+1 1 + × 2 2= 2 =- ,故直线 BD 过定点 3k1 3 1+4k1 1+4k1 3?1+4k1?

8.(2017· 南京、盐城模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设点 M(x0,y0)是椭 x2 2 圆 C: 4 +y =1 上一点,从原点 O 向圆 M:(x-x0)2+(y-y0)2=r2 作两条切线分 别与椭圆 C 交于点 P,Q,直线 OP,OQ 的斜率分别记为 k1,k2.

(1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点,求圆 M 的方程; 2 5 (2)若 r= 5 . 1 ①求证:k1k2=-4; ②求 OP· OQ 的最大值.

解 (1)由题意可知 c= a2-b2= 4-1= 3, 则椭圆 C 右焦点的坐标为( 3, 0), 因为圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点, 且点 M 是椭圆上一点, 所以圆心 M 的 1? 1 ? ? 坐标为? 3,± ,半径为 2? 2, ? ? 1? 1 ? 1? 1 所以圆 M 的方程为(x- 3)2+?y+2?2=4或(x- 3)2+?y-2?2=4. ? ? ? ? (2)①证明 因为圆 M 与直线 OP:y=k1x 相切,

|k1x0-y0| 2 5 所以 = 5 , k2 1+1
2 2 即(4-5x2 0)k1+10x0y0k1+4-5y0=0, 2 2 同理可得(4-5x2 0)k2+10x0y0k2+4-5y0=0, 2 2 所以 k1,k2 是方程(4-5x2 0)k +10x0y0k+4-5y0=0 的两个实根,

1 ? 5 2 ? 4-5?1-4x2 0? -1+ x0 4 4-5y2 ? ? 0 所以 k1k2= = 2= 2 4-5x0 4-5x0 4-5x2 0 1 =-4. y=k1x, ? ? ②设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)联立?x2 2 +y =1, ? ?4
2 解得 x1 =

4 4k2 1 2 , y = , 1 1+4k2 1+4k2 1 1
2 x2 =

同理可得

4 4k2 2 2 , 2,y2= 1+4k2 1+4k2 2
2

2 4k2 4 4k2 4?1+k2 1 ? ? 2 ? ? 4 1? 4?1+k2? 所 以 OP · OQ = ?1+4k2+1+4k2? ·?1+4k2+1+4k2? = · 2 = 1+4k2 1+4k2 ? 1 1? ? 2 2? 1 2

?5+20k1?2 ? 2 ? 2 ? 25 4+4k2 1 + 16 k 1 1 1 ? · 2≤ 2 2 = (当且仅当 k1=± 时取等号), 4 2 1+4k2 1 + 4 k ? 1 + 4 k ? 1 1 1 5 所以 OP· OQ 的最大值是2.

2



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