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2013年江苏高考数学试题(含理科附加题)全WORD版


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
注意事项:考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题-第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试时间为 120 分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗。 参考公式:样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的方差 s ?
2

1 n 1 n ( xi ? x ) 2 ,其中 x ? ? xi 。 ? n i ?1 n i ?1

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为高。 3 棱柱的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 为高。
棱锥的体积公式: V ? 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。 .........

1、函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的最小正周期为 4 2、设 z ? (2 ? i ) 2 ( i 为虚数单位),则复数 z 的模为 3、双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9

?

。 。 。

4、集合{-1,0,1}共有

个子集。 。

5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) , 结果如下: 运动 员 甲 乙

第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 87 89 91 90 90 91 89 88 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差 为 。

1

7、现有某类病毒记作为 X mYn ,其中正整数 m, n(m ? 7, n ? 9) 可以任意选取,则 m, n 都取到奇 数的概率为 。

8、 如图, 在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中, E、 分别为 AB、 D、 F AC、 A1 的中点, A 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 = 。

9、抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。若 点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 。

1 2 10 、 设 D 、 E 分 别 是 △ ABC 的 边 AB 、 BC 上 的 点 , 且 AD ? AB, BE ? BC 。 若 2 3 ???? ??? ? ???? DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 、 ?2 均为实数),则 ?1 + ?2 的值为 。

11、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集 用区间表示为 。

x2 y 2 12、在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F,右准线 a b 为 l ,短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 d1 ,F 到 l 的距离为 d 2 。若 d 2 ? 6d1 ,

则椭圆 C 的离心率为



1 13、在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y ? ( x ? 0) 图象上的一动点。若点 x

P、A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为=



1 14、在正项等比数列 ?an ? 中, a5 ? , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ? an 的最大正 2

整数 n 的值为



二、解答:共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. .......

? ? 15、 (本小题满分 14 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), 0 ? ? ? ? ? ? 。

? ? ? ? ? ? ? ? (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。

2

16、 (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 S-ABC 中, 平面 SAB ? 平面 SBC, AB ? BC , AS=AB。 过 A 作 AF ? SB , 垂足为 F, E、 分别为线段 SA、 的中点。 点 G SC 求证: (1)平面 EFG//平面 ABC; (2) BC ? SA 。

17、 (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在 直线 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1上,过点 A 作圆 C 的切线,求 切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范 围。

3

18、 (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C。 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟 后, 乙从 A 乘坐缆车到 B, B 处停留 1 分钟后, 在 再从 B 匀速步行到 C。 假设缆车速度为 130 米 / 分 钟 , 山 路 AC 的 长 为 1260 米 , 经 测 量 , 12 3 cos A ? , cos C ? 。 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最 短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分 钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

19、 (本小题满分 16 分) 设 { a n } 是首项为 a 、公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 为其前 n 项和。记 bn ?
nSn ,n? N? , 2 n ?c

其中 c 为实数。 若 c=0, b1 , b2 , b4 成等比数列, (1) 且 证明:S nk ? n 2 S k (n, k ? N ? ) (2) { b n } 若 为等差数列,证明:c=0。

4

20、 (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax, g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数。 (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论。

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) 。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按 .................... 作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图, 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、 AC 经过圆心 O, BC=2OC。 AB C, 且 求证:AC=2AD。

B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?
? ?1 0 ? ?1 2 ? ?1 ? , B ? ? 0 6 ? ,求矩阵 A B . 0 2? ? ? ?

6

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
?x ? t ?1 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 2t
? x ? 2tan 2 ? (? 为参数) 。试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。 ? ? y ? 2tan ?

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a ≥ b >0,求证: 2a3 ? b3 ≥ 2ab2 ? a 2b 。

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 ........ 明过程或演算步骤.

22. (本小题满分 10 分)如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2, A1 A =4,点 D 是 BC 的中点。 (1)求异面直线 A1B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值。

23. (本小题满分 10 分)
??? ???? ?k个 ? k ?1 设数列 ?an ? :1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,?, (?1) k ,?(?1) k ?1 k ,?

(k-1)k (k+1)k 即当 ?n? (k ? N ? ) 时, an ? (?1)k ?1 k 。记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N ? ) 。 2 2

对于 l ? N ? ,定义集合 Pl =﹛ n | S n 为 an 的整数倍, n ? N ? , 且 1≤ n ≤ l } (1)求 P 中元素个数;(2)求集合 P2000 中元素个数。 11

8

2013 高考数学试卷分析与专家点评(江苏卷 遵循数学课程标准和江苏省考试说明的精神,试题起点低,角度宽,立意高,题型和 背景熟悉而平淡,试题内容沉稳而厚实,难度与 2012 年基本持平,层次分明,区分度 较好,既全面深入地考查了数学基础知识和基本技能,又多角度、多层次地考查了 数学素养和潜能,实现了“基础与能力并重,稳定与创新双赢”. 试卷结构稳定,知识覆盖面广,重点突出,稳中有新.题型与考查重点相对稳定, 没有偏题怪题.填空题的第 1~7 题是容易题,第 8~13 题是中档题,第 14 题命题的角 度新颖,需要灵活地应用整体意识和等价转化的数学思想.解答题的第 15、16 题 是容易题,第 17、18、题是中档题,但有一定的运算量,第 19、20 题是难题,对考生 的综合能力要求较高,是具有较高区分度的两道压轴题。 试题立意新颖,朴实无华,题干简约,叙述清晰,平易近人.全卷从文字叙述、字母 表示到图形表达都简洁明快,自然清新,阅读量小,把时间充分留给学生思考解答. 试题的命制,着意背景公平,贴近学生实际,充分考虑了解题方法的大众化与常规 化,不在冷僻的技巧上设计问题,试题中规中矩,不偏不怪,绝大多数题目,材料背景 熟悉,设问方式常规,解题方法基本,在考基础、考通性、考通法上浓墨重彩、淋漓 尽致.填空题知识点考查清楚明确,不堆砌组合,体现了起点低,坡度稳的特点;解答 题设问清楚,多问把关,分散难点,体现了入口宽,梯度明的特点,具有良好的区分度, 有利于优秀学生施展才华. 今年的试题突出了能力立意,加大了对学生的理性思维能力、形式运算能力的 考查力度,同时对高中数学中的一些重要的数学思想方法如函数和方程的思想、 数形结合的思想、分类讨论和数形结合的思想等也进行了多角度的考查,同一个 试题中涉及了不同的数学思想方法,同一种数学思想方法在不同的试题中又有不 同的要求.许多试题入手容易,但要想完成整个题目的解答,得出正确的结果却很
9

难. 总之,2013 年的江苏省高考数学试卷,进一步向广大的一线数学教师传递了这 样一个信息:高考试题在降低起点的同时,强调能力立意;在立足基础的同时,着力 内容创新;在突出导向的同时,确保甄别功能;在继承传统的同时,彰显新课程理念. (天星学堂名师教研团 江苏省特级教师 钱老师)

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