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2014山东高考理科数学试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学
本试卷分第I卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分,考试用时 120 分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:
1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如果改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 (a ? bi) ?
2

(A) 5 ? 4i (B) 5 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i (2)设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2 , x ?[0, 2]},则 A
x

B?

(A) [0, 2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1, 4) (3)函数 f ( x) ?

1 (log 2 x)2 ? 1

的定义域为

(A) (0, ) (B) (2, ??) (C) (0, )

1 2

1 2

1 (2, ??) (D) (0, ] [2, ??) 2

2 (4)用反证法证明命题: “已知 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,

要做的假设是 (A)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 没有实根(B)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根学科网

(C)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根(D)方程 x 2 ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 (5)已知实数 x, y 满足 a x ? a y ( 0 ? a ? 1 ) ,则下列关系式恒成立的是 (A)

1 1 2 2 ? 2 (B) ln( x ? 1) ? ln( y ? 1) x ?1 y ?1
2

(C) sin x ? sin y (D) x ? y
2 3

2

(6)直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (A) 2 2 (B) 4 2 (C)2(D)4 (7) 为研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行

kPa ) 临床试验, 所有志愿者的舒张压数据 (单位:
的分组区间为 [12,13) , [13,14) , [14,15) , [15,16) , 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组, [16,17] , 第二组,......,第五组.右图是根据试验数据制成的 频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为 (A)1(B)8(C)12(D)18 (8)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 , g ( x) ? kx ,若 f ( x) ? g ( x) 有两个不相等的实根,则实 数 k 的取值范围是 (A) (0, ) (B) ( ,1) (C) (1, 2) (D) (2, ??) (9) 已知 x, y 满足约束条件 ?

1 2

1 2

? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该约束 ?2 x ? y ? 3 ? 0,

条件下取到最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小值为 (A)5(B)4(C) 5 (D)2 (10)已知 a ? b ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 , C1 与 C ,双曲线 的方程为 2 a 2 b2 a 2 b2

C2 的离心率之积为

3 ,则 C2 的渐近线方程为学科网 2

(A) x ? 2 y ? 0 (B) 2 x ? y ? 0 (C) x ? 2 y ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (11)执行右面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为 .

(12)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

?
6

时, ?ABC 的面积为

.

(13)三棱锥 P ? ABC 中, D , E 分别为 PB , PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积 为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? V2

.

(14)若 ( ax 2 ? ) 4 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a 2 ? b 2 的最小值为

b x

.

(15)已知函数 y ? f ( x)( x ? R) .对函数 y ? g ( x)( x ? I ) ,定义 g ( x) 关于 f ( x ) 的“对称 函数”为 y ? h( x)( x ? I ) , y ? h( x) 满足:对任意 x ? I ,两个点 ( x, h( x)) , ( x, g ( x)) 关 于点 ( x, f ( x)) 对称.若 h( x) 是 g ( x) ? ,且 4 ? x 2 关于 f ( x) ? 3x ? b 的“对称函数” .

h( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 b 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (m,cos 2x) , b ? (sin 2x, n) ,设函数 f ( x) ? a ? b ,且 y ? f ( x) 的图象过点

(

?
12

, 3) 和点 (

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 m, n 的值;

(Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 求 y ? g ( x) 的单调增区 y ? g ( x) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的学科网距离的最小值为 1, 间. (17) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 是等腰梯形, ?DAB ? 60 ,

AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: C1M // A 1 ADD 1; (Ⅱ) 若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 ? 3 , 求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐 角)的余弦值.

(18) (本小题满分 12 分) 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图, 甲上有两个不相交的区域 A, B , 乙被划分为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到 落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其它 情况记 0 分.对落点在 A 上的来球, 小明回球的落点在 C 上

1 1 , 在 D 上的概率为 ; 对落点在 B 上的来球, 2 3 1 3 小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上 5 5
的概率为 各一次,小明的两次回球互不影响.求: (Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望. (19) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? (?1)
n ?1

4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). 2 x x

(Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

(21) (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直
2

线 l 交 C 于另一点 B , 学科网交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF 为正三角形. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.


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