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2013年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题及答案(解析版)



哈尔滨市 2013 年初中升学考试数学试卷

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (2013· 哈尔滨) ? (A)3 考点:倒数. 分析:一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到. 解答: ?

1 的倒数是( 3
(B)一 3

). (C) ?

1 3

(D)

1 3

1 3 的倒数是 ? ? ?3 .故选 B. 3 1

6

点评:本题主要考查了倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数. 2. (2013· 哈尔滨)下列计算正确的是( (A)a +a =a
3 2 5

). (C)(a ) =a
2 3

(B)a · =a a

3

2

6

a 2 a2 (D) ( ) ? 2 2

考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法。 分析:分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行 逐一计算即可 解答:解:A、a2 和 a3 不是同类项,不能合并,故此选项错误; B、a3a2=a3+2=a5,故此选项错误;C、 2)3=a6,故此选项正确; (a

a 2 a2 D、 ( ) ? 故此选项错误;故选:C. 2 4
点评:本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变 化是解题的关键. 3. (2013· 哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).

考点:轴对称图形与中心对称图形 . 分析:题考查了中心对称图形.掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图 形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中

心,旋转 180 度后两部分重合. 解答: A.是轴对称图形,不是中心对称图形;B. 是中心对称图形,不是轴对称图形. ; C.是轴对称图形,不是中心对称图形;D. 是轴对称图形,又是中心对称图形; 故选 D. 点评: 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念, 轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分沿对称轴折叠后可重合, 中心对称图形是要寻找对称中心, 图形旋转 180 度后与 原图形重合. 4. (2013· 哈尔滨)如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形,则这个几何体 的俯视图是( ).

考点:简单组合体的三视图. 分析:从正面看到的图叫做主视图,从左面看到的图叫做左视图,从上面看到的图叫做俯视 图.根据图中正方体摆放的位置判定则可. 解答:解:从上面看,下面一行左面是横放 2 个正方体,上面一行右面是一个正方体. 故选 A. 点评:本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图. 5. (2013· 哈尔滨)把抛物线 y=(x+1)2 向下平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位,所得到的 抛物线是( ). (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2

(A)y=(x+2)2+2

考点:二次函数图象与几何变换. 分析:先写出平移前的抛物线的顶点坐标,然后根据向下平移纵坐标减,向右平移横坐标加 求出平移后的抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可. 解答:解:抛物线 y=(x+1)2 的顶点坐标为(-1,0) ,∵向下平移 2 个单位,∴纵坐标变 为-2, ∵向右平移 1 个单位, ∴横坐标变为-1+1=0, ∴平移后的抛物线顶点坐标为 (0, -2) ,∴所得到的抛物线是 y=x2-2.故选 D. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换, 利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加 简便,且容易理解.

6. (2013· 哈尔滨)反比例函数 y ? (A)6 (B)-6

1 ? 2k 的图象经过点(-2,3),则 k 的值为( x 7 7 (C) (D) ? 2 2

).

考点:反比例函数的图象上的点的坐标特征. 分析:点在曲线上,则点的坐标满足曲线解析式,反之亦然 解答:反比例函数 y ?

1 ? 2k 1 ? 2k 的图象经过点(-2,3),表明在解析式 y ? ,当 x= x x 7 -2 时,y=3,所以 1-2k=xy=3× (-2)=-6.,解得 k= 2
故选 C

点评: 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征, 经过函数的某点一定在函数的图象上. 7. (2013· 哈尔滨)如图,在 ? ABCD 中,AD=2AB,CE 平分∠BCD 交 AD 边于点 E, 且 AE=3,则 AB 的长为( (A)4 (B)3 ). (C)

5 2

(D)2

考点:平行四边形的性质及等腰三角形判定与性质. 分析: 本题主要考查了平行四边形的性质: 平边四边形的对边 平行且相等;等腰三角形判定,两直线平行内错角相等;综合运用这三个性质是解题的 关键 解答:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC, ∴∠DEC=∠BCE,∵CE 平分∠DCB, ∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE, ∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE, ∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3, 故选 B. 点评:本题考查了平行四边形性质,平行线性质,角平分线定义,等腰三角形的性质和判定 的应用,关键是求出 DE=AE=DC. 8. (2013· 哈尔滨)在一个不透明的袋子中,有 2 个白球和 2 个红球,它们只有颜色上的区 别,从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回.再随机地摸出一个球.则两次都摸到白球的 概率为( (A) ). (B)

1 16

1 8

(C)

1 4

(D)

1 2

考点:求概率,列表法与树状图法。

分析: 概率的计算一般是利用树状图或列表把所有等可能性的情况列出, 然后再计算某一事 件的概率.其关键是找出所有的等可能性的结果 解答:解:画树状图得:4 个球,白球记为 1、2 黑球记为 3、4 ∵共有 16 种等可能的结果,两次都摸到白球的只有 4 种情况, ∴两次都摸到黑球的概率是 . 故选 C.

点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率. 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合 两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比. 9. (2013· 哈尔滨) 如图,在△ABC 中,M、N 分别是边 AB、AC 的 中点,则△AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为( (A) ). (D)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

2 3

考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 分析:利用相似三角形的判定和性质是解题的关键 解答:由 MN 是三角形的中位线,2MN=BC, MN∥BC ∴△ABC∽△AMN∴三角形的相似比是 2:1,∴△ABC 与△AMN 的面积之比为 4: 1. ,则△AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为

1 ,故选 B 3

点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是得出 MN 是△ABC 的中位 线,判断△AMN∽△ABC,要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方. 10. (2013· 哈尔滨)梅凯种子公司以一定价格销售“黄金 1 号”玉米种子,如果一次购买 10 千克以上(不含 l0 千克) 的种子,超过 l0 千克的那部分种子的价格将打折,并

依此得到付款金额 y(单位:元)与一次购买种子数量 x(单位:千克)之间的函数关系如图 所示.下列四种说法: ①一次购买种子数量不超过 l0 千克时,销售价格为 5 元/千克; ②一次购买 30 千克种子时,付款金额为 100 元; ③一次购买 10 千克以上种子时,超过 l0 千克的那部分种子的价格打五折: ④一次购买 40 千克种子比分两次购买且每次购买 20 千克种子少花 25 元钱. 其中正确的个数是( (A)1 个 ). (B)2 个 (C)3 个 (D) 4 个

考点:一次函数的应用。 分析:考查一次函数的应用;得到超过 10 千克的费用的计算方式是解决本题的关键 点. (1)0≤x≤10 时,付款 y=5× 相应千克数;数量不超过 l0 千克 时,销售价格为 5 元/千克; (2)x>10 时,付款 y=2.5x+25 相应千克数,超过 l0 千克的那部分种子的价 格 解答:由 0≤x≤10 时,付款 y=5× 相应千克数,得数量不超过 l0 千克时,销售价格为 5 元 /千克①是正确;当 x=30 代入 y=2.5x+25 y=100,故②是正确;由(2)x>10 时,付款 y=2.5x+25 相应千克数,得每千克 2.5 元, 故③是正确; x=40 代入 y=2.5x+25.y=125, x=20 代入 y=2.5x+25=75, 当 当 两次共 150 元,两种相差 25 元,故④是正确;四个选项都正确,故选 D 点评:本题主要考查了一次函数的应用,难度适中,解决本题的关键是认真观察图象,求出 一次购买种子数量不超过 10 千克时的销售单价及超过 10 千克以后, 超过的那部分种子的单 价. 二、填空题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1 1. (2013· 哈尔滨)把 98 000 用科学记数法表示为 考点:科学记数法—表示较大的数. 分析:科学记数法的表示形式为 a× n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 10 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, 的绝对值与小数点移动的位数相同. n 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:将 98000 用科学记数法表示为 9.8× 4.故答案为:9.8× 4. 10 10 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a× n 的形式,其中 1≤|a| 10 <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. .

12. (2013· 哈尔滨)在函数 y ? 考点:分式意义的条件.

x 中,自变量 x 的取值范围是 x?3



分析:根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式,求出 x 的取值范围即可. 解答:∵ 式子 y ?

x 在实数范围内有意义,∴ x+3≠≥0,解得 x≠-3. x?3

点评:本题考查了函数自变量取值范围的求法.函数是分式,要使得函数式子有意义,必须 满足分母不等于 0. 13. (2013· 哈尔滨)计算: 27 ? 考点:二次根式的运算 分析:此题主要考查了二次根式的运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根 式进行合并. 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数, 根指数与被开方数 不变. 解答:原式= 3 3 ?

3 = 2



3 3 3 = . 2 2

点评:本题考查了二次根式的加减运算,属于基础题,关键是掌握二次根式的化简及同类二 次根式的合并. 14. (2013· 哈尔滨)不等式组 3x-1<2,x+3≥1 的解集是 考点: 解一元一次不等式组。 分析: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知同大取大;同小取小;大小小大中间找; 大大小小找不到的原则是解答此题的关键. 分别求出各不等式的解集,再求出 其公 共解集即可. 解答:解:3x-1<2①由①得,x<1, x+3≥1②得 x≥-2 故此不等式组的解集为:-2≤x<1.故答案为:-2≤x<1. 点评:本题考查了解一元一次不等式(组) ,一元一次不等式组的整数解的应用,关键是能 根据不等式的解集找出不等式组的解集. 15. (2013· 哈尔滨)把多项式 4ax ? ay 分解因式的结果是
2 2





考点:提取公因式法和应用公式法因式分解。 分析:先提取公因式法然后考虑应用公式法来因式分解。

解答: 4ax ? ay ? a(4 x ? y ) ? a(2 x ? y )(2 x ? y)
2 2 2 2

点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分 解,注意分解要彻底. 16. (2013· 哈尔滨)一个圆锥的侧面积是 36 ? cm2,母线长是 12cm,则这个圆锥的底面直 径是 cm.

考点:弧长和扇形面积 分析:本题考查圆锥形侧面积公式,直接代入公式即可.掌握圆锥形侧面积公式是解题关键 解答:解:设底面半径为 rcm,36π=πr×12,解得 r=3cm.底面圆的直径为 2r=2× 3=6cm, 故答案为:6. 点评:本题考查圆锥的计算,解题的关键熟练掌握是圆锥侧面积的计算公式. 径是 6 17. 2013· ( 哈尔滨) 如图, 直线 AB 与⊙O 相切于点 A, AC、 是⊙O 的两条弦, CD∥AB, CD 且 若⊙O 的半径为

5 ,CD=4,则弦 AC 的长为 2



考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。 分析: :本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题 意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。 解答: 连接 OA,作 OE⊥CD 于 E,易得 OA⊥AB,CE=DE=2, 由于 CD∥AB 得 EOA 三点共线,连 OC,在直角三角形 OEC 中,由勾股定理得 OE= 再直角三角形 AEC 中由勾股定理得 AC= 2 5 . 点评:此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质.此题难度适中,注 意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 18. (2013· 哈尔滨)某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的 125 元降到 80 元,则平 均每次降价的百分率为 考点:一元二次方程的应用 专题:增长率问题. 分析:本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条 件,找出合适的等量关系求解 解答:设平均每次降价的百分率为 x, .

3 ,从而 AE=4, 2

根据题意得:125(1 ? x) ? 80 ,解得 x1 =0.1=20%,x2 =﹣1.8 (不合题意,舍去) .故答案
2

为:20%. 点评:本题考查了一元二次方程的应用,此题列方程得依据是:商品原来价格× (1-每次降 价的百分率)2=现在价格. 19. (2013· 哈尔滨)在△ ABC 中,AB= 2 2 ,BC=1,∠ABC=450,以 AB 为一边作等腰直 角三角形 ABD,使∠ABD=900,连接 CD,则线段 CD 的长为 考点:解直角三角形,钝角三角形的高 专题:分类讨论. 分析:双解问题,画等腰直角三角形 ABD,使∠ABD=900,分两种情况,点 D 与 C 在 AB 同侧,D 与 C 在 AB 异侧,考虑要全面; 解答:当点 D 与 C 在 AB 同侧,BD=AB= 2 2 ,作 CE⊥BD 于 E,CD=BD= .

2 , 2

ED=

3 2 ,由勾股定理 CD= 5 当点 D 与 C 在 AB 异侧, BD=AB= 2 2 ,∠BDC=1350,作 2

DE⊥BC 于 E,BE=ED=2,EC=3,由勾股定理 CD= 13 .故填 5 或 13 . 点评:本题考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,难点在于要分情况讨论,作出图形更 形象直观. 20. (2013· 哈尔滨)如图。矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0,过点 O 作 OE⊥AC 交 AB 于 E,若 BC=4,△ AOE 的面积为 5,则 sin∠BOE 的值为 考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。解直角三 角形 分析:本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平 分线的性质以及勾股定理及解直角三角形.注意数形结合思想的应 用,此题综合性较强,难度较大, 解答:由△ AOE 的面积为 5,找此三角形的高,作 OH⊥AE 于 E, 得 OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位线∵BC=4 ∴OH=2,从而 AE=5,连接 CE, 由 AO=OC, OE⊥AC 得 EO 是 AC 的垂直平分线,∴AE=CE,在直 角三角形 EBC 中,BC=4,AE=5, 勾股定理得 EB=3,AB=8,在直角三角形 ABC 中,勾股定 .

理得 AC= 4 5 .,BO=

1 AC= 2 5 ,作 EM⊥BO 于 M,在直角三角形 EBM 2
5 3 5 2 5 6 5 4 5 = ,BM= BEcos∠ABD=3× = ,从而 OM= , 5 5 5 5 5

中,EM=BEsin∠ABD=3×

3 5 EM 3 在直角三角形 E0M 中,勾股定理得 OE= 5 ,sin∠BOE= ? 5 ? . 0E 5 5
点评:本题是几何综合题,考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、 三角函数的定义等知识点,有一定的难度.解题要点有两个: (1)求出线段 AE 的长度; (2) 证明∠BOE=∠BCE. 三、解答题(其中 21-24 题各 6 分,25-26 题各 8 分,27-28 题各 10 分,共计 60 分) 21 . 2013· 尔 滨 ) 先 化 简 , 再 求 代 数 式 ( 哈

a 1 a?2 的值,其中 ? ? 2 a ? 2 a ? 1 a ? 2a ? 1

a ? 6 tan 60? ? 2
考点:知识点考察:①分式的通分,②分式的约分,③除法变乘法的法则,④完全平方公式 ⑤特殊角的三角函数值 专题:计算题. 分析:利用除式的分子利用完全平方公式分解因式,除法变乘法的法则,同分母分式的减法 法则计算,再利用特殊角的三角函数值求出 a 的值代入进行计算即可,考查的是分式的化简 求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键

a 1 (a ? 1) 2 a a ?1 1 ? ? 解答:原式= = = ? a ? 2 a ?1 a ? 2 a ? 2 a ? 2 a ? 2
∵ a ? 6 tan 30 ? 2 = a ? 6 ?
?

3 ?2=2 3 ?2 3

∴原式=

3 1 1 = = . a?2 2 3?2?2 6

点评:本题考查了分式的化简求值,熟悉因式分解及特殊角的三角函数值是解题的关键. 22. (2013· 哈尔滨) 如图。 在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸 中,有线段 AB 和直线 MN,点 A、B、M、N 均在小正方形的 顶点上.

(1)在方格纸中画四边形 ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形,点 A 的对称点为点 D,点 B 的对称点为点 C; (2)请直接写出四边形 ABCD 的周长. 考点:轴对称图形;勾股定理;网格作图; 分析: (1)根据轴对称图形的性质,利用轴对称的作图方法来作图, (2)利用勾股定理求出 AB 、BC、CD、AD 四条线段的长度,然后求和即可最 解答:(1)正确画图(2) 2 5 ? 5 2

点评:此题主要考查了勾股定理以及轴对称图形的作法,根据已知得出 A,B 点关于 MN 的 对称点是解题关键. 23. (2013· 哈尔滨)春雷中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况,围绕“在体 育、新闻、动画、娱乐四类电视节目中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全 校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条 形统计图. 其中最喜欢新闻类电视节目的人数占被抽取人数的 l0%. 请你根据以上信息回答 下列问题: (1)在这次调查中,最喜欢新闻类电视节目的学生有多少名?并补全条形统计图: (2)如果全校共有 l 200 名学生,请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多 少名?

考点:条形统计图;用样本估计总体; 分析: (1)根据条形统计图除新闻的三组人数,最喜欢新闻类电视节目的人数占被抽取人数 的 l0%则除新闻的三组人数占 90%,即可得出被抽取的总天数;用抽取人数减去 除新闻的三组人数即可,再根据各组人数补图 (2)最喜欢体育类电视节目的学生所占比例得出全校共有 l 200 名学生即可. 解答: (1)解:(11+18+16)÷ (1—10%)=50(名)。 50—11—18—16=5(名) ∴在这次调查中.最喜欢新闻类电视节目的学生有 5 名 补全条形图如图所示. (2)解:l200×

11 =264(名) 50

∴估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有 264 名 点评:考查了条形统计图和用样本估计总体.已知部分占总体的百分比,用除法即可计算总 人数;能够用样本所占的百分比估计总体百分比,进行正确计算. 24. (2013· 哈尔滨) 某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为 AB(单位:米)。现以 AB 所在直线为 x 轴.以 抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O.已知 AB=8 米。 设抛物线解析式为 y=ax2-4. (1)求 a 的值; (2)点 C(一 1,m)是抛物线上一点,点 C 关于原点 0 的对称点为点 D,连接 CD、BC、 BD,求 ABCD 的面积.

考点:二次函数综合题。 分析: (1)首先得出 B 点的坐标,进而利用待定系数法求出 a 继而得二次函数解析式(2) 首先得出 C 点的坐标,再由对称性得 D 点的坐标,由 S△ BCD= S△ BOD+ S△ BOC 求出

解答:(1)解∵AB=8 由抛物线的对称性可知 0B=4 ∴B(4,0) 0=16a-4∴a=

1 4

(2)解:过点 C 作 CE⊥AB 于 E,过点 D 作 DF⊥AB 于 F

1 2 x ?4 4 1 15 令 x=一 1.∴m= × 1)2—4= ? (一 4 4
∵a= ∴y?

1 4

15 ) 4 15 15 ∵点 C 关于原点对称点为 D ∴D(1, ). ∴CE=DF= 4 4 1 1 1 15 1 15 S△ BCD= S△ BOD+ S△ BOC = = OB· DF+ OB· CE= × 4× + × 4× =15 2 2 2 4 2 4
∴C(-1, ? ∴△ BCD 的面积为 l5 平方米 点评:本题考查了二次函数的应用,难度适中,解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函 数解析式. 25. (2013· 哈尔滨)) 如图,在△ ABC 中,以 BC 为直径作半圆 0,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E.AD=AE (1)求证:AB=AC; (2)若 BD=4,BO= 2 5 ,求 AD 的长.

考点: (1)圆周角定理;全等三角形的性质;相似三角形的判定 分析:连接 CD、BE,利用直径所对圆周角 900、证明△ ADC≌△AEB 得 AB=AC, (2)利 用△ OBD∽△ABC 得

BD BO 得 BC=4 再求 AB=10 从而 AD=AB—BD=6 此题利用相似 ? BC AB

三角形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识. 此题综合性 较强,难度适中,注意数形结合思想的应用. 解答:(1)证明:连接 CD、BE ∴∠BDC=∠CEB=900 ∴∠LADC=∠AEB=900 又∵AD=AE ∠A=∠A ∴△ ADC≌△AEB ∴AB=AC ∵BC 为半圆 O 的直径.

(2)解:连接 0D ∵OD=OB.∴∠OBD=∠ODB ∵AB=AC ∴∠0BD=∠ACB ∴∠ODB=∠ACB 又∵∠OBD=∠ABC.∴△ OBD∽△ABC ∴ ∵ BO ? 2 5 ∴BC=4.又∵BD=4∴ ∴AB=10 ∴AD=AB—BD=6 点评:本题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股 定理的知识,利用圆周角定理得出∠BDC=∠BEC=90° 是解题的突破口. 26. (2013· 哈尔滨)甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务 比乙队单独施工完成此项任务多用 l0 天。且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工 作量相同. (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天? 、

BD BO . ? BC AB

4 4 5

?

2 5 AB

(2)若甲、乙两队共同工作了 3 天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队单独继续施工, 为了不影响工程进度。 甲队的工作效率提高到原来的 2 倍。 要使甲队总的工作量不少于乙队 的工作量的 2 倍,那么甲队至少再单独施工多少天? 考点:分式方程的应用。一元一次不等式的应用; 分析: (1)假设乙队单独完成此项任务需 x 天,则甲队单独完成此项任务需(x+10)天, 根据:甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同. 列方程即可. (2)乙队再单独施工 a 天结合(1)的解和甲队总的工作量不少于乙队的工作 量的 2 倍,可列不等式.此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用,合理地 建立等量或不等量关系,列出方程和不等式是解题关键, 解答:设乙队单独完成此项任务需 x 天,则甲队单独完成此项任务需(x+10)天 根据题意得

45 30 经检验 x=20 是原方程的解 ∴x+10=30(天) ? x ? 10 x 3 2 a 2 ? ?2 ? 解得 a ≥3 30 30 30

∴甲队单独完成此项任务需 30 天.乙队单独完成此颊任务需 20 天 (2)解:设甲队再单独施工 a 天 ∴甲队至少再单独施工 3 天. 点评:本题时一道工程问题的运用,考查了工作时间× 工作效率=工作总量的运用,列分式 方程解实际问题的运用,分式方程的解法的运用,解答时验根是学生容易忽略的地方. 27. (2013· 哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,A 点的坐标为(3,0),

以 0A 为边作等边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C.动 点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动,动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动,P,Q 两点同时 出发,速度均为 1 个单位/秒。设运动时间为 t 秒. (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E,过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF 的长为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围: (3)在(2)的条件下, 将△ BEF 绕点 B 逆时针旋转得到△ BE1F1,使点 E 的对应点 E1 落在线 段 AB 上,点 F 的对应点是 F1,E1F1 交 x 轴于点 G,连接 PF、QG,当 t 为何值时,2BQ-PF=

3 QG? 3

考点: 等边三角形判定与性质、 相似三角形判定与性质、 直角三角形的判定、 三角形内角和、 等腰三角形判定,一元一次方程 分析: (1)由△ AOB 为等边三角形得∠ACB=∠OBC=300


由此 CO=OB=AB=OA=3, RT△ ABC 中, 为 6 , 在 AC 从而 BC= 3 3 (2) 过点 Q 作 QN∥0B 交 x 轴于点 N,先证△ AQN 为等边三角形,从而 NQ=NA=AQ=3-t,NON=3- (3-t)=t PN=t+t=2t,再由△ POE∽△PNQ 后 对应边成比例计算得 OE ? m 与 t 之间的函数关系式 (3)先证△ AE’G 为等边三角形,再证∠QGA=900 通过两边成比例夹角相等得△ FCP∽△BCA 再用含 t 的式子表示 BQ、 PF、 通过解方程 、 QG 求出 解答:(1)解:如图 l∵△AOB 为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。 ∵BC⊥AB ∴∠ABC=900 ∴∠ACB=300∠OBC=300 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3

3 1 ? t 再由 EF=BE 易得出 2 2

∴AC=6 ∴BC=

3 AC= 3 3 2

(2)解:如图 l 过点 Q 作 QN∥0B 交 x 轴于点 N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA ∴△ AQN 为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN.∴△ POE∽△PNQ ∴

OE PO ? QN PN



OE 1 3 1 ? ∴ OE ? ? t 3?t 2 2 2

∵EF∥x 轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE ? (0<t<3) (3)解:如图 2

1 3 t? 2 2

? ?BE1F 1 ? ?BEF ? 180? ? ?EBF ? ?EFB ? 120?
∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE1=GA ∴△ AE’G 为等边三角形

1 3 3 1 ? QE1 ? BE1 ? BQ ? m ? t ? t ? ? t ? ? t 2 2 2 2 3 1 ? QE1 ? GA ? AE1 ? AB ? BE1 ? BQ ? ? t ? QE1 2 2
∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900 即∠QGA=900

∵EF∥OC

?

BF BE ? BC BO

?

BF m 3 3 3 ? ? BF ? 3m ? t? 2 2 3 3 3

? BC ? CF ?

3 1 3? 3 2 2

C P? C O O P3 ? t ? ?
3 1 3? 3t CF 2 3 ? t CP 2 ? ? ? ? CB 6 CA 3 3

∵∠FCP=∠BCA

∴△FCP∽△BCA. ∵2BQ—PF=

?

PF CP 3?t ? ? PF ? AB CA 2

3 3

QG

∴ 2t ?

3?t 3 3 1 3 ? ?( 3 ? 3t ) ∴t=1∴当 t=1 时,2BQ—PF= QG 2 3 2 2 3

点评: 此题主要考查了相似三角形的综合应用以及等边三角形的性质等知识, 根据数形结合 得出△ FCP∽△BCA 是解题关键. 28. (2013· 哈尔滨) 已知:△ ABD 和△ CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C),点 E、F 分别是线段 BC 和线段 BD 上的点, 且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上, 连接 AF、 AE, 交 BD 于点 G. AE (1)如图 l,求证:∠EAF=∠ABD; (2)如图 2,当 AB=AD 时,M 是线段 AG 上一点,连接 BM、ED、MF,MF 的延长线 交 ED 于点 N,∠MBF= 并证明你的结论.

1 2 ∠BAF,AF= AD,试探究线段 FM 和 FN 之间的数量关系, 2 3

考点:本题考查了三角形全等的判断和性质,相似三角形的判断和性质,平行线分线段成比 例定理,轴对称性质,三角形四边形内角和,线段的垂直平分线性质 要求较高的视图能力和证明推理能力。 分析: (1)连接 FE、FC,先证△ ABF、△ CBF 全等,得∠FEC=∠BAF,通过四边形 ABEF 与三角形 AEF 内角和导出; (2)先由△ AFG∽△BFA,推出∠AGF=∠BAF,再得 BG=MG,

9 5 a, FD= a, 过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q, 通过 BE∥AD 2 2 4 8 8 7 35 德线段成比例设 EG=2kBG=MG=3k, GQ= EG= k , MQ=3k+ k = 从而 FM= FN k, 9 9 9 2 9
通过△ AGF∽△DGA, 导出 GD= 本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、平行线分线段成比例定理等重要知识点, 难度较大.在解题过程中,涉及到数目较多的线段比,注意不要出错 解答:(1)证明:如图 1 连接 FE、FC ∴. FE=FC BF=BF ∴△ABF≌ACBF ∴∠BAF=∠2 ∵ ∠l+∠BEF=1800∠BAF+∠BEF=1800 ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600 ∵∠AFE+∠5+∠6=1800 即∠EAF=∠ABD (2)FM= ∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴ . ∠AFE+∠ABE=1800 ∴∠5=∠4 又 FA=FC ∴FE=FA ∠1=∠BAF. ∴∠5=∠6 ∴∠l=∠2 ∵点 F 在线段 EC 的垂直平分线上

∵△ABD 和△ CBD 关于直线 BD 对称. ∴AB=CB ∠4=∠3

7 FN 2

证明:如图 2 由(1)可知∠EAF=∠ABD

又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF 又∵∠MBF=

1 1 ∠BAF.∠MBF= ∠AGF 2 2

又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG ∴∠MBG=∠BMG ∴BG=MG

∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF 又 ∵∠FGA=∠AGD. ∴△ AGF∽△DGA. ? 设 GF=2a AG=3a.∴GD= ∴FD==

GF AG AF 2 GF AG 2 ∵AF= AD? ? ? ? ? AG GD AD 3 AG GD 3

9 a 2

5 a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB 2 BG EG EG AG 2 ∴.∠CBD=∠ADB∴BE//AD.∴ ? ? ? ? GD AG BG GD 3
设 EG=2k∴BG=MG=3k 过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q

?

4 GO GF 2a 4 ? ? ? ∴? GO ? QE 5 QE FD 5a 5 2 4 8 8 35 ∴GQ= EG= k . MQ=3k+ k = k 9 9 9 9
∵FQ∥ED?

MF MQ 7 7 ? ? ∴FM= FN FN QE 2 2

点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例,三角形内角和定理 以及四边形内角和是 360 度等知识点.难度较大,综合性较强.


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