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高中数学必修五课件:3.3.2-1《简单的线性规划问题》(人教A版必修5)


?第2课时

简单的线性规划问题

线性规划问题的有关概念: ? 1.线性约束条件:不等式组是一组对变量 x、y的约束条件, 一次不等式 这组约束条件都是关于x、 y的 . ? 2.目标函数:欲达到最大值或最小值所涉 一次 线性目标函数 及的变量x、y的解析式是 , 线性约束 目标函数又是x、y的 解析式. 最大值或最小值 ? 3.线性规划问题:求线性目标函数在 条件下的 的 问 题.
?

4.可行解:满足线性约束条件的解(x、y) ? 由所有可行解组成的集合叫做 . 可行域 ? 5.最优解:使目标函数取得 时 最大值或最小值 的可行解. ? 6.通常最优解在可行域的 取 边界处或顶点处 得.
?

1.目标函数z=4x+y,将其看成直线方程 时,z的几何意义是 ?( ) ? A.该直线的截距 ? B.该直线的纵截距 ? C.该直线的横截距 ? D.该直线的纵截距的相反数
?

解析: 把 z = 4x + y 变形为 y =- 4x + z ,则 此方程为直线方程的斜截式,所以z为该直 线的纵截距. ? 答案:B
?

?

2.若 范围是

则目标函数 z = x + 2y 的取值
?

(

)

A.[2,6] B.[2,5] ? C.[3,6] D.[3,5] ? 解析:本题考查线性规划问题的图象解 法.只需画出约束条件对应的可行域,平 移直线 x + 2y = 0 使之经过可行域,观察图 形,找出动直线纵截距最大时和最小时经 过的点,然后计算可得答案. ? 答案:A
?

3 . 在 △ ABC 中 , 三 顶 点 坐 标 为 A(2,4) , B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部 及边界运动,则z=x-y的最大,最小值分 别是 ( ) ? A.3,1 ? B.-1,-3 ? C.1,-3 ? D.3,-1
?

解析:本题运用线性规划问题的图象解 法.只需画出约束条件对应的可行域,即 一个封闭的三角形区域(含边界),再平移直 线x-y=0使之经过可行域,观察图形,找 出动直线纵截距最大时和最小时经过的点, 然后计算可得答案. ? 答案:C
?

1 4 .求 z = 3 x + 2y 的最大值,使式子中的 x 、 y 满足

?y≤x, ? 1 ?x+y≤1, 该问题中的不等式组叫做________,z=3x+2y ? ?y≥1.
叫做________.

解析: 本题运用线性规划问题中的有关概 念,即变量 x , y 的一次不等式组称为问题 的线性约束条件,研究最值的函数解析式 称为线性目标函数. ? 答案:线性约束条件 线性目标函数
?

?

5.已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求2x- 3y的取值范围.
? ?1≤x+y≤5, 解:画出二元一次不等式组? ? ?-1≤x-y≤3

所表示的

平面区域(如图阴影部分所示),即可行域. 画出直线 2x-3y=0,并平移使之经过可行域,观察图形 可知,当直线经过点 A 时,直线的纵截距最大,此时 z 最 小.

? ?x-y=-1, 解方程组? ? ?x+y=5,

得 A(2,3),

所以 zmin=2×2-3×3=-5. 当直线经过点 B 时, 直线的纵截距最小, 此时 z 最大.
? ?x-y=3, 解方程组? ? ?x+y=1,

得 B(2,-1),

所以 zmax=2×2-3×(-1)=7. 所以 2x-3y 的取值范围是[-5,7]

? ?x≥-3, ?y≥-4, [例 1] 设 x,y 满足约束条件? ?-4x+3y≤12, ? ?4x+3y≤36.
(1)求目标函数 z=2x+3y 的最小值与最大值; (2)求目标函数 z=3x-y 的最小值与最大值;

?

[分析] 求目标函数最大值或最小值的步骤: 作可行域、画平行线、解方程组、求最 值.

[解] 作出可行域如图 2 (1)z=2x+3y 变形为 y=- x 3 z 2 +3,得到斜率为-3,在 y 轴上的截 z 距为3, 随 z 变化的一族平行直线. 由 图可知, 当直线经过可行域上的点 D z 时,截距3最大,即 z 最大.

? ?-4x+3y=12, 解方程组? ?4x+3y=36. ?

得 D 点坐标为(3,8)

∴zmax=2x+3y=30 z 当直线经过可行域上的点 B 时,截距3最小,即 z 最 小.由已知得 B(-3,-4) ∴zmin=2x+3y=2×(-3)+3×(-4)=-18. (2)同理可求 zmax=40,zmin=-9.

[点评] (1)中z并不是直线2x+3y=z在y轴 的截距,而是截距的3倍,因此,直线过点 B时, 最小,z最小. ? (2) 中 z 并不是直线 3x - y = z 在 y 轴的截距, 而是截距的相反数,过A(-3,0)截距最大而 z值最小,注意不要搞反.
?

?

迁移变式1 设x,y满足 =x+y( )

则z

A.有最小值2,最大值3 ? B.有最小值2,无最大值 ? C.有最大值3,无最小值 ? D.既无最大值,也无最小值
?

解析:如图3所 示. ? 作出可行域, 作直线l0:x+y = 0 ,平移 l0 , 当 l0 过点 A(2,0) 时,z有最小值 2,无最大值. ? 答案:B
?

?x-y+5≥0, ? [例 2] 设 x,y 满足条件?x+y≥0, ? ?x≤3.
(1)求 u=x2+y2 的最大值与最小值; y (2)求 v= 的最大值与最小值. x-5

[分析] 把所求问题赋给相关的几何意义, 即圆与斜率. ? [解] 画出满足条件的可行域如图4所示, ? (1)x2 + y2 = u 表示一组同心圆 ( 圆心为原点 O),且对同一圆上的点x2+y2的值都相等, 由图可知:当(x,y)在可行域内取值时,当 且仅当圆O过C点时,u最大,过(0,0)时,u 最小.又C(3,8),所以umax=73,umin=0.
?

y (2)v= 表示可行域内的点 P(x,y)到定点 D(5,0)的斜 x-5 率,由图可知,kBD 最大,kCD 最小,又 C(3,8),B(3,-3), -3 3 8 所以 vmax= = ,v = =-4. 3-5 2 min 3-5

迁移变式 2

已知变量 x,y 满足约束条件

?x-y+2≤0 ? ?x≥1 ? ?x+y-7≤0
________.

y , 则 的 最 大 值 是 ________ , 最 小 值 是 x

解析:由约束条件作出可行域 y (如图 5 所示),目标函数 z=x表示坐 标(x,y)与原点(0,0)连线的斜率.由 图可知,点 C 与 O 连线斜率最大;B 与 O 连线斜率最小,又 B 点坐标为 5 9 (2,2),C 点坐标为(1,6),所以 kOB 9 y = ,kOC=6.故 的最大值为 6,最小 5 x 9 值为5.

[例3] 已知变量x,y满足约束条件1≤x+ y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其 中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取 值范围为________. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ①可行域已知; ? ②目标函数在(3,1)处取得最大值. ? 解答本题可利用逆向思维,数形结合求 解.
?

[解] 由约束条件画出可行域(如图6所示), 为 矩 形 ABCD( 包 括 边 界 ) . 点 C 的 坐 标 为 (3,1) , z 最大时,即平移 y =- ax 时使直线 在y轴上的截距最大, ? ∴-a<kCD,即-a<-1,∴a>1.
?

[答案] a>1 ? [ 评析 ] 这是一道线性规划的逆向思维问 题.解答此类问题必须要明确线性目标函 数的最值一般在可行域的顶点或边界取得, 运用数形结合的思想方法求解.
?

?x≥0 ? 迁移变式 3 已知点 P(x, y)满足条件?y≤x (k ? ?2x+y+k≤0
为常数),若 x+3y 的最大值为 8,则 k=________.

解:作出可行域如图 7 所示, 作直线 l0:x+3y=0, 平移 l0 知当 l0 过点 A 时,x+3y 最大, k k 由于 A 点坐标为(-3,-3). k ∴-3-k=8,从而 k=-6.

?

[例4] 某人有楼房一幢,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大 房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每 名游客每天住宿费为40元;小房间每间15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为 50元;装修大房间每间需1000元,装修小 房间每间需600元.如果他只能筹款8000元 用于装修,且游客能住满客房,他应隔出 大房间和小房间各多少间,才能获得最大 收益?

[解] 设隔出大房间 x 间,小房间 y 间,获得收 益为 z 元,则

?18x+15y≤180, ? ?1000x+600y≤8000, ? ?x≥0,y≥0,且x,y∈N, ?6x+5y≤60,① ? 即?5x+3y≤40,② ? ?x≥0,y≥0,且x,y∈N.
目标函数为 z=200x+150y, 画出可行域如右图 8 所示.

作出直线 l:200x+150y=0,即直线 4x+3y=0.当 l 经过平移过可 20 60 行域上的点 A( 7 , 7 )时,z 有最大值,由于 A 的坐标不是整数, 又因为 x,y∈N,所以 A 不是最优解. 调整最优解: 37-4x 由 x,y∈N,知 z′=4x+3y≤37,令 4x+3y=37,即 y= 3 , 5 代入约束条件①,②,可解得 ≤x≤2,由于 x∈N,得 x=3,但此 2 25 时 y= 3 ?N.

再次调整最优解: 36-4x 令 4x+3y=36,即 y= ,代入约束条件①,②,可解 3 2 得 0≤x≤4(x∈N). 当 x=0 时, y=12; 当 x=1 时, y=10 ; 3 1 2 当 x=2 时,y=93;当 x=3 时,y=8;当 x=4 时,y=63. 所以最优解为(0,12)和(3,8),这时 zmax′=36,zmax=1800. 所以应隔出小房间 12 间或大房间 3 间、小房间 8 间,可以 获得最大收益.

[点评] 对于线性规划中的最优整数解的问 题,当解方程组得到的解不是整数解时, 可用下面的方法求解: ? ①平移直线法:先在可行域内打网格,再 描整点,平移直线 l ,最先经过或最后经过 的整点坐标是整点最优解. ? ②检查优值法:当可行域内整点个数较少 时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求 值,经比较得出最优解. ? ③调整优值法:先求非整点最优解及最优 值,再借助不定方程知识调整最优值,最
?

?

迁移变式4 某公司租赁甲、乙两种设备生 产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天 能生产A类产品6件和B类产品20件.已知 设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天 的租赁费为300元.现该公司至少要生产A 类产品50件,B类产品140件,所需租赁费 最少为________元.

解析:设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台, 租赁费 z 元, 由题意得

?5x+6y≥50 ? ?10x+20y≥140 , ? ?x,y≥0且x,y∈N
z=200x+300y. 作出如图 9 所示的可行域.

令z=0,得l0:2x+3y=0, ? 平移l0可知,当l0过点A时,z有最小值. ? 又由 得A点坐标为(4,5). ? 所以zmin=4×200+5×300=2300. ? 答案:2300
?

1.简单的线性规划问题指的是在线性约束条件下,求线性目 标函数 d=ax+by 的最值.一般步骤包括: (1)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区 域,即可行域. a d (2)由 d=ax+by 变形为 y=-bx+b,所求 d 的最值可看成是 a d 求直线 y=-bx+b在 y 轴上截距的最值(其中 a,b 是常数,d 随 x,y 的变化而变化).

(3)将直线ax+by=0平移,在可行域中,观 察使 最大(或最小)时所经过的点. ? (4)将该点代入目标函数,从而求出d的最大 值或最小值.
?

2.最优解可有两种确定方法: ? (1) 将目标函数的直线平行移动,最先通过 或最后通过的顶点便是最优解; ? (2) 利 用 围 成 可 行 域 的 直 线 的 斜 率 来 判 断.若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜 率分别为 k1 , k2 ,…,kn ,且 k1<k2<…kn , 而且目标函数的直线的斜率为k,则当 ki<k<ki+1时,直线li与li+1的交点一般是最优 解.
?

3.寻找整点最优解的方法 ? (1) 平移找解法:先打网格,描整点,平移 直线 l ,最先经过或最后经过的整点便是最 优整点解,这种方法应充分利用非整点最 优解的信息,结合精确的作图才行,当可 行域是有限区域且整点个数又较少时,可 逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比 较求最优解. ? (2) 调整优值法:先求非整点最优解及最优 值,再借助不定方程的知识调整最优值, 最后筛选出整点最优解.
?



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