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角的概念推广(一)教案


课题:

角的概念的推广(一)
平面内建立适当的坐标系讨论任意角,

学习目标:1.从“旋转”的角度,理解任意角、象限角、终边相同的角的概念,学会在

2.掌握终边相同的角的表示法, 会求终边相同的角, 会判定一个角是第几象限, 3.能体会运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念。 学习重点:将 0?到 360?的角概念推广到任意角,终边相同的角的表示方法及求法 学习难点:终边相同的角的表示法及求法 学习过程: 一、情境引入 1、复习:初中是如何定义角的?角的大小范围是什么? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
王新敞
奎屯 新疆

这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它是从图形形状来静态定义角,因此 角的范围是 [ 0 ,360 ] ,其弊端在于“狭隘” 这也是初中有关角的知识还解决不了许多
王新敞
奎屯 新疆

0

0

实际问题的局限所在。 2、生活中许多实例的角不在 [ 0 ,360 ] 范围 体操运动员转体 720?,跳水运动员向内、向外转体 1080?;经过 1 小时时针、分针、 秒针转了多少度?这些例子的角不仅超出 [ 0 ,360 ] ,而且方向不同,所以有必要把角 的概念推广到任意角,想想用什么办法才能推广到任意角?(运动) 二、学习新课 1、问题探究 问题 1:想一想初中怎样表示向东走 10 米、向西走 5 米的意义? 问题 2:怎样表示左转体 180°、左转体 360°、右转体 270°、左转体 720°、右 转体 1080°? 怎样区别左转、右转? 2、正角、负角、零角(即任意角)的概念 ⑴“旋转”形成角 (突出:“旋转”、“顶点”、“始边”、“终边”)
0 0 0 0

B O
⑵区别旋转的方向:逆为正,顺为负

α

A

⑶零角:当一条射线没有作任何旋转时,规定它形成了一个角,叫做零角.
1

⑷角的记法:角 ? 或 ? ? ,统一简记成 ? ⑸例α =210°,β =-150°,γ =660°,
6600

2100

-1500

用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了,角可以任意大小了。 实例:体操动作:旋转 2 周(360?×2=720?) 3 周(360?×3=1080?) 3、象限角 任意角概念中,角的顶点、始边、旋转方向若任意选,就会带来混乱。为了统一, 就常在平面直角坐标系中讨论角。 角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 x 轴的正半轴(前提条件),则角的终边落 在第几象限,就称这个角是第几象限的角。 但规定:终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限。 例如:30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角,300?、?60?是第Ⅳ象限角,585?、1180?是 第Ⅲ象限角,?2000?是第Ⅱ象限角等 4、终边相同的角 ⑴观察:390?,?330?角终边与 30?角的终边有怎样关系?(相同) ⑵探究:终边相同的角在表示形式上到底有怎样的关系? 390?=30?+360? ?330?=30??360? 30?=30?+0×360?
( k ? 1)
王新敞
奎屯 新疆

1470?=30?+4×360? ?1770?=30??5×360?

(k ? 4)

( k ? ? 1)
(k ? 0)

( k ? ? 5)

⑶结论:与?终边相同的角 ? 可以表示成: ? ? ? ? k ? 360 ? ,( k ? Z ) 注意: k ? Z ,?是任意角, k ? 360 与?之间是“+”号,比如 k ? 360 -30°应写
0 0

成 k ? 360 +(-30°);终边相同的角不一定相等,它们相差 360°的整数倍;相等的角
0

终边一定相同。 三、学习应用 例 1、 0?到 360?的范围内, 在 找出与下列各角终边相同的角, 并判断它们是第几象限角: (1)650? (2)-150? (3)-990?15?
2

学生探究活动:教师引导学生探讨、交流、展示,教师总结。 例 2、 写出与下列各角终边相同的角的集合 S, 并把 S 中在 ? 360 ? ~ 720 ? 间的角写出来:
⑴ 60 ?

⑵ ? 21 ?

⑶ 363 ?14 ?

王新敞
奎屯

新疆

学生探究活动:教师引导学生探讨、交流、展示,教师总结。 四、课堂练习 1、下列说法中,正确的是( A.第一象限的角是锐角 C.终边相同的角一定相等 ) B.锐角是第一象限的角 D.小于 90°的角是第一象限的角

2、与 120°角终边相同的角是( ) A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z C.120°+(2k+1) ·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z ? 3、 ? 是第二象限角,则 ? ? 、 ? ? 、 ? ? ? 分别是第几象限角? 2 4、在 0°到 360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 五、小结反思:本节内容有 1、角的概念的推广(用“旋转”定义角,角的范围的扩大了) 零角的始边和终边重合。但始边和终边重合角不一定是零角。 2、终边相同的角的表示法: ? ? ? ? k ? 360 ? ,( k ? Z ) 3、判断象限角的方法:先写成 ? ? ? ? k ? 360 ? ,( k ? Z ) ? ? ( 0 ?,360 ? ) ,再判断 ? 的象限即可。注意:终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 .

六、课外作业设计

1、 已知 A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于 90°的角}, 那么 A、 C 关系是 B、 ( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C



2、在直角坐标系中,若角 ? 和角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 和角 ? 之 间的关系是 ( A、 ? C、 ?
? ? ? 90 ? ? ? 90
?

) B、 ? D、 ?
? k ? 360 ? 90 ? ? ( k ? z ) ? k ? 360 ? 90 ? ? ( k ? z )
? ? ? ?

?

3、角 ? , ? 的终边关于 x ? y ? 0 对称,且 ? = —60°,求角 ? .
3


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