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海南省华侨中学三亚学校2016届高三数学一轮复习 解析几何练习7


海南省华侨中学三亚学校 2016 届高三数学一轮复习 解析几何练习 7
一、选择题 1. 已知抛物线 x =ay 的焦点恰好为双曲线 y -x =2 的上焦点, 则 a 等于 A.1 C.8 B.4 D.16
2 2 2

(

)

解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0, ),双曲线的上焦点为(0,2),依题意则 4 有 =2, 解得 a=8. 4 答案:C 2.抛物线 y=-4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 17 A.- 16 C. 7 16 15 B.- 16 15 D. 16
2

a

a

(

)

y 1 2 解析:抛物线方程可化为 x =- ,其准线方程为 y= .设 M(x0,y0),则由抛物线的定 4 16
1 15 义,可知 -y0=1? y0=- . 16 16 答案:B 3.(辽宁高考)已知 F 是拋物线 y =x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|+|BF| =3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A. C. 3 4 5 4 B.1 7 D. 4 ( )
2

解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: 1 1 3 1 5 (|AF|+|BF|)- = - = . 2 4 2 4 4 答案:C 4.已知抛物线 y =2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( A.相离 C.相切 B.相交 D.不确定
2

)

解析:设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线 l,A1、B1 分别为 A、B 在 直线 l 上的射影, 1 1 1 则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= 2 2 2

1

|AB|=半径,故相切. 答案:C 5.(宜宾检测)已知 F 为抛物线 y =8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,则||FA|-|FB||的值等于 A.4 2 C.8 2 B.8 D.16
? ?y=x-2, ?y =8x ?
2 2

(

)

解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2 由?

,消去 y 得 x -12x

2

+ 4 = 0. 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 ||FA| - |FB|| = |(x1 + 2) - (x2 + 2)| = |x1 - x2| = ?x1+x2? -4x1x2= 144-16=8 2. 答案:C 6.已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y-4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是 A.5 C. 17-1
2 2 2 2 2

(

)

B.8 D. 5+2
2 2

解析:抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),圆 x +(y-4) =1 的圆心为 C( 0,4),设点 P 到 抛物线的准线的距离为 d,根据抛物线的定义有 d=|PF|,∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC| -1)+|PF|≥|CF|-1= 17-1. 答案:C 二、填空题 7.(永州模拟)以抛物线 x = 16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程 为 ________. 解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心为(0,4),半径 r=8.所以,圆 的方程为 x +(y-4) =64. 答案:x +(y-4) =64 8.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到焦点的距离 是 5,则抛物线的方程为________. 解析:设抛物线方程为 x =ay(a≠0), 则准线为 y=- . 4 ∵Q(-3,m)在抛物线上, ∴9=am. 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离,
2 2 2 2 2 2

a

2

a 9 ∴|m-(- )|=5.将 m= 代入, 4 a
9 a 得| + |=5,解得,a=±2,或 a=±18, a 4 ∴所求抛物线的方程为 x =±2y,或 x =±18y. 答案:x =±2y 或 x =±18y 9.给出抛物线 y =4x,其焦点为 F,坐标原点为 O,则在抛物线上使得△MOF 为等腰三 角形的点 M 有________个. 解析:当 MO=MF 时 ,△MOF 为等腰三角形,这样的 M 点有两个,是线段 OF 的垂直平分 线与抛物线的交点;当 OM=OF 时,△MOF 也为等腰三角形,这样的 M 点也有两个;而使得
2 2 2 2 2

OF=MF 的点 M 不存在,所以符合题意的点 M 有 4 个.
答案:4 三、解答题 10.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线 16x -9y =144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4). 解:双曲线方程化为 - =1, 9 16 左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线方程为
2 2

x2

y2

p y2=-2px(p>0),则- =-3,
2 ∴p=6,∴抛物线方程为 y =-12x. (2)由于 P(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为 y =mx 或
2 2

x2=ny,代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1,
∴所求抛物线方程为 y =8x 或 x =-y.
2 2

11.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y =4x,O 为坐标原点,过点 A 的动直线

2

l 交抛物线 C 于 M,P 两点,直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM 与 OP 的夹角为 ,
求△POM 的面积.

???? ?

??? ?

π 4

解:设点 M( ,y1),P( ,y2), 4 4 ∵P,M,A 三点共线,

y2 1

y2 2

3

∴kAM=kPM, 即

y1-y2 = 2 2, y y1 y2 +1 - 4 4 4
2 1

y1



y1 1 = , y2 y1+y2 1+4

∴y1y2=4. ∴ OM · OP = · +y1y2=5. 4 4

???? ?

??? ?

y2 y2 1 2

???? ? ??? ? π ∵向量 OM 与 OP 的夹角为 , 4
???? ? ??? ? π ∴| OM |·| OP |·cos =5. 4

? ??? ? 1 ???? π 5 ∴S△POM= | OM | ·| OP | ·sin = . 2 4 2
12.(新课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,- 1),B 点在直线 y=-3 上,M 点满足 MB ∥ OA , MA · AB = MB · BA ,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 解:(1)设 M(x,y)由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ? AB =(x,-2). ???? ???? ??? ? 再由题意可知( MA + MB )· AB =0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
1 2 所以曲线 C 的方程为 y= x -2. 4 1 2 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点, 4 1 1 因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 2 2 1 2 因此曲线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 x0x-2 y+2y0-x0=0. 2 |2y0-x0| 1 2 则 O 点到 l 的距离 d= .又 y0= x0-2, 2 4 x0+4 1 2 x0+4 2
2 0 2

所以 d=

1 4 2 = ( x0+4+ 2 )≥2, 2 x +4 x0+4

当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

4


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