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【高考精品复习】第四篇 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数


第1讲 【高考会这样考】 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习指导】 从近几年的高考试题看,这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创 新,因此学习中要立足基础,抓好对部分概念的理解. 基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360° (k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α| l =r,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值r与所取的 r 的大小无关, 仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形=2lr=2|α|r2. 2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0), y x y 那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α=r ,cos α= r ,tan α=x,它们都是 以角为自变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P, 过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的 定义知,点 P 的坐标为(cos_α,sin_α),即 P(cos_α,sin_α),其中 cos α=OM, sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边 或其反向延长线相交于点 T,则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线. 三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线 一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合 ? ?β|β ? ? π =2+kπ,k∈Z? ; 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 ? ? ? ?. ? ? ? ? ? kπ ?β?β= ,k∈Z 2 ? ? ? 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别: 第一象限角、 锐角、 小于 90° 的角是概念不同的三类角, 第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量 制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题. 双基自测 9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 4 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( A.2kπ+45° (k∈Z) C.k· 360° -315° (k∈Z) 9 B.k· 360° +4π(k∈Z) 5π D.kπ+ 4 (k

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