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2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)


1.3.3(二)

1.3.3
【学习要求】

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

1.会用“五点法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.
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2.能根据 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式. 3.了解 y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义,能指出简谐运动 中的振幅、周期、相位、初相. 【学法指导】 1.利用“五点”作图法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,要 π 3 先令“ωx+φ”这一个整体依次取 0、 、π、 π、2π,再求 2 2 出 x 的值,这样才能得到确定图象的五个关键点,而不是 先确定 x 的值,后求“ωx+φ”的值.

1.3.3(二)

2. y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式, 由 可以根据“五
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点”作图法逆向思维, 从图象上确定“五点”中的某些点的 横坐标,建立关于参数 ω、φ 的方程,列方程组求出 ω 和 φ 的值.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.3(二)

1.简谐振动
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简谐振动 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中, A 叫做振幅, ω 2π 周期 T= ω ,频率 f= 2π ,相位是 ωx+φ ,初相是 φ . 2.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质如下: 定义域 值域 周期性 R [-A,A]

2π T= ω

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.3(二)

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π φ= kπ (k∈Z) 时是奇函数;φ= 2+ kπ 奇偶性 kπ (k∈Z) 时是偶函数;当 φ≠ 2 (k∈Z) 时是 非奇非偶 函数
π 单调增区间可由 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+

单调性

π 2 (k∈Z)

得到,单调减区间可由

π 3π 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z) 2 2 得到

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1.3.3(二)

探究点一
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“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 图象

利用“五点法”作出函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一 个周期上的图象,要经过“取值、列表、描点、连线”这 四个步骤.请完成下面的填空. π ωx+φ 0 π 2 φ π φ π φ -ω -ω+2ω -ω+ω x y 0 A 0 3 π 2π 2 φ 2π φ 3π -ω+2ω -ω+ ω -A 0

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? φ ? ?- ,0? ? ω ?

1.3.3(二)

所以,描点时的五个关键点的坐标依次是



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? ? ? φ 2π ? φ ?? φ ? ? φ 3π π π ?- + ,A? ?- + ,0? ?-ω+2ω,-A? ?-ω+ ω ,0? ?. ? ,? ? ω 2ω ? ,? ω ω ?, ?

φ T φ 2π - + - 若设 T= ω ,则这五个关键点的横坐标依次为 ω , ω 4 ,

φ T φ 3 φ - + ω 2 , -ω+4T , -ω+T

.

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探究点二

1.3.3(二)

由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求三角函数的 解析式

(1)在由图象求解析式时,“第一个零点”的确定是关键,
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一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0).从左到右依次为第二、 π 三、四、五点,分别有 ωx2+φ= ,ωx3+φ=π,ωx4+φ 2 3 = π,ωx5+φ=2π. 2 (2)由图象确定系数 ω,φ 通常采用两种方法: ①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零 点的横坐标)或第二,第三(或第四,第五)点横坐标,可以 直接解出 ω 和 φ,或由方程(组)求出.

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1.3.3(二)

②代入点的坐标,通过解最简单的三角函数方程,再结合图 象确定 ω 和 φ. (3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的方
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程求出. π 例如, 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< ) 2 的部分图象如图所示,则 ω=________, φ=________.

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T 7π π π 解析 由图象知 = - = ,∴T=π,ω=2. 4 12 3 4
7π π 且 2× +φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ- (k∈Z). 12 6 π π 又|φ|<2,∴φ=-6. π 答案 2 -6

1.3.3(二)

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探究点三

1.3.3(二)

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)或 f(x)=Acos(ωx+φ)的奇 偶性

关于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)或 f(x)=Acos(ωx+φ)的奇偶性 有以下结论:
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①函数 f(x)=Asin(ωx+φ)是奇函数?f(x)=Asin(ωx+φ)的 图象关于原点对称?f(0)=0?φ=kπ(k∈Z). ②函数 f(x)=Asin(ωx+φ)是偶函数?f(x)=Asin(ωx+φ)的 π 图象关于 y 轴对称?f(0)=A 或 f(0)=-A?φ=kπ+ 2 (k∈Z). ③函数 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(x)=Acos(ωx+φ)的 π 图象关于原点对称?f(0)=0?φ=kπ+ (k∈Z). 2

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1.3.3(二)

④函数 f(x)=Acos(ωx+φ)是偶函数?f(x)=Acos(ωx+φ)的图 象关于 y 轴对称?f(0)=A 或 f(0)=-A?φ=kπ(k∈Z). 例如,(1)若函数 f(x)=5sin(2x+α)是偶函数,则 α= π kπ+2,k∈Z __________________. π kπ+ (k∈Z) 2 (2)若函数 f(x)=cos(3x+φ)是奇函数,则 φ=____________.

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解析 (1)f(0)=5sin α=± 5,∴sin α=± 1. π ∴α=kπ+ ,k∈Z. 2 π (2)f(0)=cos φ=0,∴φ=kπ+ ,k∈Z. 2

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1.3.3(二)

探究点四 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)或 f(x)=Acos(ωx+φ)图象 的对称性 关于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称性有以下结论:
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①函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且 仅当 f(x0)=0. ②函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=x0 轴对称当 且仅当 f(x0)=A 或 f(x0)=-A. 上述结论若换成函数 f(x)=Acos(ωx+φ)同样成立. ③对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期;相邻的一个对称 中心和一条对称轴相距周期的四分之一.

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例如,函数
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k∈Z

2 x=2kπ+3π,k∈Z. ,对称轴方程是 .
?kπ-φ ? ? ? y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的对称中心是? ,0?, ? ω ? π

?1 π? ? x+ ?的对称中心是 y=sin 2 6? ?

? π ? ?2kπ- ,0? 3 ? ?



一般地, 函数

kπ+2-φ ω

k∈Z,对称轴方程是 x= φ 表示).

,k∈Z

(结果用 ω,

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[典型例题] 例 1 利用五点法作出函数

1.3.3(二)

?x π? y=3sin ?2-3 ? 在一个周期内的 ? ?

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草图. x π π 3π 解 依次令2-3取 0、2、π、 2 、2π,列出下表:
x π - 2 3 x y 0 2π 3 0 π 2 5π 3 3 π 8π 3 0 3π 2 11π 3 -3 2π 14π 3 0

描点、连线,如图所示.

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1.3.3(二)

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小结 “五点法”作图时,五点的确定,应先令 ωx+φ 分别 π 3π 为 0、 、π、 、2π,解出 x,从而确定这五点. 2 2

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? π? 跟踪训练 1 作出 y=2.5sin?2x+4 ?的图象. ? ? π? π 1? 解 令 X=2x+ ,则 x= ?X-4?.列表: 4 2? ?

1.3.3(二)

X
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x y

0 π - 8 0

π 2 π 8

π 3π 8 0

3π 2 5π 8

2π 7π 8 0

2.5

-2.5

描点、连线,如图所示.

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例2

1.3.3(二)

如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.

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解 方法一 以 N 为第一个零点, ?5π π? 则 A=- 3,T=2? 6 -3?=π, ? ? ∴ω=2,此时解析式为 y=- 3sin(2x+φ).
∵点
? π ? N?-6,0?, ? ?

π π ∴-6×2+φ=0,∴φ=3, 所求解析式为 y=-

? π? 3sin?2x+3?= ? ?

? 2π? 3sin?2x- 3 ?. ? ?

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方法二 以 由图象知 A= 3,
?π ? ?5π ? M?3,0?为第一个零点,P? 6 ,0?为第二个零点. ? ? ? ?

1.3.3(二)

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? π ?ω·+φ=0 3 列方程组? 5π ?ω· +φ=π ? 6



?ω=2 ? 解之得? 2π ?φ=- 3 . ? ? 2π? ∴所求解析式为 y= 3sin?2x- 3 ?. ? ? 小结 A、ω、φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难点,除使用 ? φ ? 初始点?-ω,0?外,还可利用五点法来确定初相 φ,即在五点 ? ?
中找两个特殊点列方程组解出 φ.

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跟踪训练 2 如图是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象,试写出函数 的表达式. 解 方法一 由图象知 A=2,
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1.3.3(二)

3 ? π? T= π-?-4?=π, 4 ? ? 2π ∴ω= π =2,∴y=2sin(2x+φ). 又当 x=0 时,2sin φ=2,即 sin φ=1, π ∴φ=2(∵|φ|<π), ? π? ∴所求解析式为 y=2sin?2x+2?. ? ?

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方法二 同方法一,求得 A=2,

1.3.3(二)

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π π 根据图象选取五点法作图中的第一个点为 x1=- , x3= , 则 4 4 ? π π ? ?-4ω+φ=0 ?φ= 2 . 由? ,解得? ?ω=2 ?πω+φ=π ? ?4

于是所求解析式为

? π? y=2sin?2x+2?. ? ?

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1.3.3(二)

例 3 已知函数 f(x)=a2sin 2x+(a-2)cos 2x 的图象关于点 ?π ? ? ,0?中心对称,求 a 的值. ?2 ?
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解 根据函数 f(x)=a2sin 2x+(a-2)cos 2x 的图象关于 ?π ? ?π ? ? ,0?中心对称,∴f? ?=2-a=0,∴a=2. ?2 ? ?2? 小结 对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)而言, 函数图象与 x 轴的 交点就是图象的对称中心,注意以下充要条件的应用:函 数 f(x)=Asin(ωx+φ)关于点(x0,0)中心对称?f(x0)=0,换为 函数 f(x)=Acos(ωx+φ)结论仍成立.

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1.3.3(二)

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跟踪训练 3 已知函数 f(x)=a2sin 2x+(a-2)cos 2x 的图象关 π 于直线 x=- 对称,求 a 的值. 8 π 解 根据函数图象关于直线 x=-8对称, ? π ? ? π ? ∴f ?-8+x?=f ?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ?
? π? π 取 x=8得 f(0)=f ?-4?.代入得 a-2=-a2, ? ?

解得 a=1 或 a=-2.

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1.3.3(二)

本 课 时 1.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为偶函数,则 φ 满足的 栏 π 目 φ=kπ+ (k∈Z) 2 条件是_____________________. 开 关

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1.3.3(二)

2. 函数 y=sin(ωx+φ)(x∈R, ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图, π π 则 ω=________,φ=________. 4 4

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T 解析 由所给图象可知,4=2,∴T=8. 2π π 又∵T= ω ,∴ω=4. ∵图象在 x=1 处取得最高点, π π π ∴4+φ=2+2kπ(k∈Z),∴φ=2kπ+4(k∈Z), π ∵0≤φ<2π,∴φ=4.

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1.3.3(二)

3.已知函数
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? π? f(x)=sin?ωx+ 3 ?(ω>0)的最小正周期为 ? ?

π,则该

函数的图象说法正确的有________. ①④ ?π ? ①关于点?3,0?对称; ? ? π ②关于直线 x= 对称; 4 ?π ? ③关于点?4,0?对称; ? ? π ④关于直线 x= 对称. 12

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4.作出

?1 π? y=3sin?2x-4 ?一个周期上的图象. ? ?

1.3.3(二)

(1)列表: x π 2 0 0 1 π x- 2 4 ?1 π? 3sin?2x-4? ? ? 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

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描点、连线,如图所示:

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1.3.3(二)

1. 由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确
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定参数 A,ω,φ 的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)因为 T= ω ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω,可通过 已知曲线与 x 轴的交点从而确定 T,即相邻的最高点与最 T 低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的 2 距离为 T.

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1.3.3(二)

? φ ? (3)从寻找“五点法”中的第一零点?-ω,0?(也叫初始点) ? ?

作为突破口.以 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为例,位于单
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调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点” 中的第一个点. 2.在研究 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整 π 体代换的思想. 例如, 它在 ωx+φ= +2kπ (k∈Z)时取得 2 3π 最大值,在 ωx+φ= +2kπ (k∈Z)时取得最小值. 2


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