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2016全国卷Ⅱ高考文科数学试卷及答案(word版)


2016 年普通高等学校招生全统一考试

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 题,共 150 分

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1,2,3?, B ? x x ? 9 ,则 A ? B ? (1) 已知集合 A ? ?
2

?

?

(A)?? 2,?1,0,1,2,3?

(B)

?? 1,0,1,2?
(C) 3 ? 2i

(C)? 1,2,3?

(D)? 1,2?

(2) 设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z ? (A) ? 1 ? 2i (B) 1 ? 2i (D) 3 ? 2i
y 2

(3) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 (A) y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

(B) y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)
π 6 O π 3 x

(C) y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

(D) y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

-

(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 (A) 12?

32 ? (B) 3

-2

(C) 8?

(D) 4?

(5) 设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点,曲线 y ? (A)

1 2

(B) 1

k (k ? 0) 与 C 交于点 P , PF ? x 轴,则 k ? x 3 (C) (D) 2 2

(6) 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为1 ,则 a ? (A) 3 (B) ?

3 4

(C) 3

(D) 2
2 3

(7) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为 (A)20π (B)24π (C)28π (D)32π

4

4

4

文科数学试卷

第 1 页(共 5 页)

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇 到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 (A) 开始 (D)

7 10

(B)

5 8

(C)

3 8

3 10

输入 x , n

(9) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行 该程序框图, 若输入的 x ? 2 ,n ? 2 ,依次输入的 a 为 2, 2, 5, 则输出的 s ? (A)7 (B)12 (C)17
lg x

k ? 0, s ? 0

(D)34 的定义域和值域相同的是 (D) y ? 输入 a

(10)下列函数中, 其定义域和值域分别与函数 y ? 10 (A) y ? x (B) y ? lg x (C) y ? 2

x

1 x

s ? s?x? a k ? k ?1


(11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4 (B)5

? ? x) 的最大值为 2
(C)6 (D)7
2

k?n

是 输出 s

(12)已知函数 f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) ,若函数 y ? x ? 2 x ? 3 与

y ? f ( x) 图像的交点为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xm , ym ) ,则
(A) 0 (B) m (C) 2 m

?x
i ?1

m

i

结束

(D) 4 m

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题都必须作答。第(22)~(24)题为 选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知向量 a ? (m,4) ,b ? (3,?2) ,且 a∥b,则 m ? .

? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ? x ? 3 ? 0, ?
(15) △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 cos A ?



4 5 , cos C ? , a ? 1 , 则b ? 5 13



(16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片 后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不 是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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(17)(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中,且 a3 ? a4 ? 4 , a5 ? a7 ? 6 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ? ?a n ?, 求数列 ?bn ? 的前 10 项和, 其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数, 如 ?0.9? ? 0 ,?2.6? ? 2 .

(18)(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a (单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保 费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保 费

0
0.85a

1

2

3
1.5 a

4

?5
2a

a

1.25a

1.75a

随机调查了设该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 概 数

0

1

2

3

4

?5

60

50

30

30

20

10

(Ⅰ)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费” .求 P ( A) 的估计值; (Ⅱ) 记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” . 求 P ( B ) 的估计值; (Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.
D′

(19)(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点

O, 点 E , F 分别在 AD, CD 上,AE ? CF ,EF
交 BD 于点 H .将 △DEF 沿 EF 折到 △ D ?EF 的位置. (Ⅰ)证明: AC ? HD ? ; (Ⅱ)若 AB ? 5 , AC ? 6 , AE ?
B A E H F C D O

5 , OD? ? 2 2 ,求五棱锥 D? ? ABCFE 的体积. 4

文科数学试卷

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(20)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a ( x ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

(21)(本小题满分 12 分) 已知 A 是椭圆 E : 上, MA ? NA . (Ⅰ)当 AM ? AN 时,求 △ AMN 的面积; (Ⅱ)当 2 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 .

x2 y2 ? ? 1 的左顶点,斜率为 k (k ? 0) 的直线交 E 于 A, M 两点,点 N 在 E 4 3

请考生在第(22)~(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD 中, E , G 分别在边 DA, DC 上(不与端点重 合) ,且 DE ? DG ,过 D 点作 DF ? CE ,垂足为 F .
E F D G C

(Ⅰ)证明: B, C , G, F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB ? 1 , E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.
A B

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(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x ? 6) ? y ? 25 .
2 2

(Ⅰ)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t cos? , ( t 为参数) , l 与 C 交于 A, B 两点, AB ? 10 ,求 l 的斜率. ? y ? t sin ? ,

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)证明:当 a, b ? M 时, a ? b ? 1 ? ab .

1 1 ? x ? , M 为不等式 f ( x) ? 2 的解集. 2 2

文科数学试卷

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2016 年全国卷Ⅱ高考数学(文科)答案
一. 选择题
(1)D (7) C (2)C (8) B (3) A (9) C (4) A (10) D (5) D (11) B (6) A (12) B

二.填空题
(13) ?6 (14) ?5 (15)

21 13

(16)1 和 3

三、解答题
(17)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d,由题意有 2a1 ? 5d ? 4, a1 ? 5d ? 3 ,解得 a1 ? 1, d ? 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? 当 n=1,2,3 时, 1 ?

2 , 5

2n ? 3 . 5

? 2n ? 3 ? , ? 5 ? ?

2n ? 3 ? 2, bn ? 1; 5 2n ? 3 ? 3, bn ? 2 ; 当 n=4,5 时, 2 ? 5 2n ? 3 ? 4, bn ? 3 ; 当 n=6,7,8 时, 3 ? 5 2n ? 3 ? 5, bn ? 4 , 当 n=9,10 时, 4 ? 5
所以数列 ?bn ? 的前 10 项和为 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 24 . (18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内险次数小于 2 的频率为

60 ? 50 ? 0.55 , 200
故 P(A)的估计值为 0.55. (Ⅱ)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,一年内出险次数大于 1 且 小于 4 的频率为

30 ? 30 ? 0.3 , 200

故 P(B)的估计值为 0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为: 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

文科数学试卷

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频率

0.30

0.25

0.15

0.15

0.10

0.05

调查 200 名续保人的平均保费为

0.85a ? 0.30 ? a ? 0.25 ? 1.25a ? 0.15 ? 1.5a ? 0.15 ? 1.75a ? 0.30 ? 2a ? 0.10 ? 1.1925a ,
因此,续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a. (19) (本小题满分 12 分) (I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又由 AE ? CF 得

AE CF ? ,故 AC / / EF . AD CD

由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. . (II)由 EF / / AC 得

OH AE 1 ? ? . DO AD 4

由 AB ? 5, AC ? 6 得 DO ? BO ? 所以 OH ? 1, D?H ? DH ? 3.

AB2 ? AO2 ? 4.

于是 OD? ? OH ? (2 2) ? 1 ? 9 ? D?H , 故 OD? ? OH .
2 2 2 2 2

由(I)知 AC ? HD? ,又 AC ? BD, BD ? HD? ? H , 所以 AC ? 平面 BHD?, 于是 AC ? OD?. 又由 OD? ? OH , AC ? OH ? O ,所以, OD? ? 平面 ABC.

EF DH 9 ? 得 EF ? . AC DO 2 1 1 9 69 . 五边形 ABCFE 的面积 S ? ? 6 ? 8 ? ? ? 3 ? 2 2 2 4
又由 所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ? (20) (本小题满分 12 分) (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .当 a ? 4 时,

1 69 23 2 ? ?2 2 ? . 3 4 2

f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 4( x ? 1), f ?( x) ? ln x ?
的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0.

1 ? 3 , f ?(1) ? ?2, f (1) ? 0. 曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处 x

(II)当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 等价于 ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ? 0. x ?1

a ( x ? 1) ,则 x ?1
文科数学试卷 第 7 页(共 5 页)

g ?( x) ?

1 2a x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? ? , g (1) ? 0 , x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

(i)当 a ? 2 , x ? (1, ??) 时, x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? x2 ? 2x ? 1 ? 0 ,故 g ?(x) ? 0, g( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递增,因此 g ( x) ? 0 ; (ii)当 a ? 2 时,令 g ?( x) ? 0 得

x1 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1, x2 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ,
由 x2 ? 1 和 x1 x2 ? 1 得 x1 ? 1 ,故当 x ? (1, x2 ) 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 x ? (1, x2 ) 单调递减,因此

g ( x) ? 0 .
综上, a 的取值范围是 ? ??, 2?. (21) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设 M ( x1 , y1 ) ,则由题意知 y1 ? 0 . 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 又 A(?2, 0) ,因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 . 将 x ? y ? 2 代入 解得 y ? 0 或 y ?

? , 4

x2 y 2 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 , 4 3

12 12 ,所以 y1 ? . 7 7 1 12 12 144 ? 因此 ?AMN 的面积 S ?AMN ? 2 ? ? ? . 2 7 7 49
(II)将直线 AM 的方程 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入

x2 y 2 ? ? 1得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 .
由 x1 ? (?2) ?

12 1 ? k 2 16k 2 ? 12 2(3 ? 4k 2 ) 2 x ? | AM | ? 1 ? k | x ? 2 | ? 得 ,故 . 1 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12k 1 ? k 2 1 ( x ? 2) ,故同理可得 | AN |? . k 4 ? 3k 2

由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? 由 2 | AM |?| AN | 得
3 2

2 k 3 2 ? ,即 4k ? 6k ? 3k ? 8 ? 0 . 2 3 ? 4k 4 ? 3k 2
2 2

设 f (t ) ? 4t ? 6t ? 3t ? 8 ,则 k 是 f (t ) 的零点, f '(t ) ? 12t ?12t ? 3 ? 3(2t ?1) ? 0 ,

文科数学试卷

第 8 页(共 5 页)

所以 f (t ) 在 (0, ??) 单调递增,又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 , 因此 f (t ) 在 (0, ??) 有唯一的零点,且零点 k 在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 . (22) (本小题满分 10 分) (I)因为 DF ? EC ,所以 ?DEF ? ?CDF , 则有 ?GDF ? ?DEF ? ?FCB,

DF DE DG ? ? , CF CD CB

所以 ?DGF ? ?CBF , 由此可得 ?DGF ? ?CBF , 由此 ?CGF ? ?CBF ? 1800 , 所以 B, C , G, F 四点共圆. (II)由 B, C , G, F 四点共圆, CG ? CB 知 FG ? FB ,连结 GB , 由 G 为 Rt ?DFC 斜 边 CD 的 中 点 , 知 GF ? GC , 故

Rt ?BCG ? Rt ?BFG,
因此四边形 BCGF 的面积 S 是 ?GCB 面积 S ?GCB 的 2 倍,即

1 1 1 S ? 2S?GCB ? 2 ? ? ? 1 ? . 2 2 2
(23) (本小题满分 10 分) (I)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得 C 的极坐标方程 ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0. (II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R) 由 A, B 所对应的极径分别为 ?1 , ?2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得

? 2 ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
于是 ?1 ? ?2 ? ?12cos ? , ?1?2 ? 11,

| AB |?| ?1 ? ?2 |? ( ?1 ? ?2 ) 2 ? 4 ?1 ?2 ? 144cos 2 ? ? 44,
由 | AB |? 10 得 cos 2 ? ?

3 15 , , tan ? ? ? 8 3

所以 l 的斜率为

15 15 或? . 3 3

(24) (本小题满分 10 分)

文科数学试卷

第 9 页(共 5 页)

(I)先去掉绝对值,再分 x ? ?

1 1 1 1 , ? ? x ? 和 x ? 三种情况解不等式,即可得 ? ; (II)采用 2 2 2 2

平方作差法,再进行因式分解,进而可证当 a , b ? ? 时, a ? b ? 1 ? ab .

1 ? ? ?2 x , x ? ? 2 , ? 1 ? 1 f ( x ) ? 试题解析: (I) ?1, ? ? x ? , 2 ? 2 1 ? ? 2 x, x ? 2 . ?
当x??

1 时,由 f ( x) ? 2 得 ?2 x ? 2, 解得 x ? ?1 ; 2

当?

1 1 ? x ? 时, f ( x) ? 2 ; 2 2 1 时,由 f ( x) ? 2 得 2 x ? 2, 解得 x ? 1 . 2

当x?

所以 f ( x) ? 2 的解集 M ? {x | ?1 ? x ? 1} . (II)由(I)知,当 a, b ? M 时, ?1 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ,从而

(a ? b)2 ? (1 ? ab)2 ? a2 ? b2 ? a2b2 ?1 ? (a2 ?1)(1 ? b2 ) ? 0 ,
因此 | a ? b |?|1 ? ab | .

文科数学试卷

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