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优秀教案25-两条直线的交点坐标


3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标

教材分析
本节内容是数学必修 2 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 的第一课时.本节课是 在学习了二元一次方程组的解、 直线的位置关系和直线的方程后进行的, 是对前面学习内容的延续与深入, 也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础.本节课通过利用代数的方法来解决两条 直线相交的交点坐标问题,渗透数形结合、坐标法的思想,通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培 养学生转化化归的思想.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一 次方程组的解与两条直线位置的对应关系.

教学目标
重 难 点: 能判断两条直线的位置关系,会求两直线的交点坐标. 点:二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系,过两条直线的交点的直线系方程.

知识点:两条直线的交点的求法,二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系,过两条直线的交点 的直线系方程. 能力点:通过学习两条直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法,培养学生的数形结合能力,通 过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系,进一步渗透坐标法及转化化归的思想. 教育点:通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系,认识事物之间的内在联系,能用辩证的观点看问 题;在探究和解决问题的过程中,培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神, 自主探究点:二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现,过两条直线的交点的直线系 方程问题. 考试点:求两直线的交点坐标,判断两条直线的位置关系,. 易错易混点:利用直线系方程求解直线方程、求未知参. 拓展点:探究直线恒过定点问题,探究对称与最值问题.

教具准备 课堂模式

课件、几何画板、三角板 学案导学
1

一、引入新课
知识回顾: (教师出示多媒体课件并提出问题) 问题 1. 直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系? 问题 2. 如何求二元一次方程组的解? 二元一次方程组的解有几种情况? 问题 3:直角坐标系中两条直线的位置关系有几种? 【师生活动】 师:展示课件、提出问题. 生:思考、讨论并回答问题. 师:每一个关于 x, y 的二元一次方程都表示条直线,而二元一次方程组的解有三种情况,直角坐标系中两 条直线的位置关系也有三种,那么试想两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关系吗?如 果有,那么又有怎样的对应关系呢? 【设计意图】复习巩固,以旧带新;简单的知识回顾,为学生自主探究铺平道路,唤起学生的记忆,引发 学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情,并自然导入新课.

二、探究新知
探究 1:两条直线的交点坐标
问题 1:教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表,并讨论直线上的点与对应方程

Ax ? By ? C ? 0 的解有怎样的关系?

几何元素及关系

代数表示

点A 直线 l 点 A 在直线 l 上

A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
点 A 坐标 ( x 0 , y 0 ) 满足方程 Ax0 ? By0 ? C ? 0

直线 l1 与 l 2 的交点是 A

点 A 坐标 ( x 0 , y 0 ) 满足方程组 ?

? A1 x 0 ? B1 y 0 ? C1 ? 0 ? A2 x 0 ? B2 y 0 ? C 2 ? 0

生:独立思考,小组交流,完善表格. 师:因为直线 l1 与 l 2 的交点是 A ,故点 A 在直线 l1 ,也在直线 l 2 .

2

所以点 A 坐标 ( x 0 , y 0 ) 既满足 l1 的方程,又满足直线 l 2 的方程,即: ?

? A1 x0 ? B1 y0 ? C1 ? 0, ? A2 x0 ? B2 y0 ? C2 ? 0.

问题 2:由上述问题可知,两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组.那么,如果两条直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,如何求这两条直线的交点坐标? 生:交流,讨论. 师生共同总结:要求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 【设计意图】设置问题串,以旧带新,通过对熟悉知识点的温故讨论,引发学生探究新知的兴趣,培养学 生发现、归纳、概括数学问题的能力.

探究 2:两条直线的位置关系
师:求解下列方程组,判断对应两条直线是否相交(教材例 2 变式) . (1) ?

? x ? y ? 0, ?3 x ? 3 y ? 10 ? 0.

(2) ?

? 3x ? y ? 4 ? 0, ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0. ? 3 x ? 4 y ? 5 ? 0, ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0.

(3) ?

生:自主完成练习,并请学生到前面板演解题过程. (1)方程组有唯一解 ( , ) ,所以直线 l1 : x ? y ? 0 与 l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 即为相交,交点 ( , ) . (2)方程组无解. (3)两个方程可化为同一个方程,所以方程组有无数解. 师: (1)中方程组有唯一解对应直线 l1 与 l 2 相交; (2)中方程组无解,两个方程就没有公共解,那么方程 对应的两条直线有交点吗?它们具有怎样的位置关系? 生:没有.两条直线平行. 师: (3)中方程组有无数解,两条直线具有怎样的位置关系? 生:两条直线重合. 【设计意图】通过动手操作,直观感知,深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系. 问题:两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系? 已知 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

5 5 3 3

5 5 3 3

3

将方程联立,得 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,对于这个方程组解的情况分三种讨论: ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

(1)若方程组有唯一解,则 l1 、 l 2 相交,有唯一的公共点; (2)若方程组无解,则 l1 、 l 2 没有公共点,即平行; (3)若方程组有无数多个解,则 l1 、 l 2 有无数多个公共点,即重合. 【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解;由具体问题的解通过思考、感悟得到 一般性结论,循序渐进,符合学生的认知规律,便于理解记忆;在问题探究的过程中,让学生体会数形结 合的思想.

三、理解新知
师:如何求解两条直线的交点?如何判断两条直线的位置关系? 生:写出两条直线方程,联立求解: 方程组有唯一解 ? 两直线相交 方程组无解 ? 两直线平行 方程组有无穷多解 ? 两直线重合 师:如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢?请大家完成下列表格:

l1 : A1 x B ? ? 1 y

C?0 1

(

A B C ,)l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 1, ? 0 1 1
方程组解的个数

( A2 , B2 , C2 ? 0)

两直线的位置关系

方程系数的关系

相交

有唯一解

A1 B1 ? A2 B2

平行

无解

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

重合

有无数个解

如果 A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 中有等于零的情况,方程较简单,两条直线的位置关系容易确定. 【设计意图】理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的 一致性.

四、运用新知
例 1 求下列两条直线的交点坐标:
4

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 4 x ? 2 y ? 2 ? 0
生:分析解题思路,独立完成解题步骤. 师:板书解题过程,引导学生校对自己的答案. 解:解方程组

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? 4 x ? 2 y ? 2 ? 0.

得: ?

? x ? ?2, ? y ? 2.

-1

1

所以 l1 与 l 2 的交点是 M (?2, 2) . 几何画板作图验证. [设计意图]巩固所学知识,提高学生分析问题、解决 问题的能力;通过问题分析,强化求解两条直线交点 的方法;教师板书示范,规范解题步骤. 例 2 判断下列各对直线的位置关系.如 果相交,求出交点的坐标: (1) l1 : x ? y ? 0 , l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 ; (2) l1 : 3x ? y ? 4 ? 0 , l2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ; (3) l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 , l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 . 学生自主完成例 2,并请学生到前面板演解题过程. 教师引导学生共同批改学生答案,探讨解题中出现的问题和解题的关键点,并校对自己的答案. [设计意图]进一步巩固两直线位置关系与直线组成的方程组解的个数的对应关系;学生板书便于及时发现 问题、解决问题,并规范学生的解题步骤;通过对答案的批改、校对,培养学生反思、总结的习惯. 例 3(补充) 求经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点,且和直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行的直线

l 的方程.
分析:由直线 l 与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,可以求得 直线 l 的斜率;又因为直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点,所以求出两直线的交点即可由点 斜式求得直线 l 的方程.
5
-1 1

解法一:?直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的斜率为 2,且直线 l 与直 线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,

?直线 l 的斜率为: kl ? 2 .
解方程组 ?

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0.

得?

? x ? 0, ? y ? 2.

. ?直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标为 M (0, 2)

?直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .
解法二:设与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行的直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0(C ? 6) 解方程组 ?

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0.

得?

? x ? 0, ? y ? 2.

. ?直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标为 M (0, 2) , ?直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点 M (0, 2)

? 2 ? 0 ? 2 ? C ? 0 ,即 C ? 2 .
?直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
点评:解法一中求直线方程的方法是通法,须掌握.解法二中利用了平行直线的设法:与直线

Ax ? By? C ?0 平行的直线方程可设为 Ax ? By ? ? ? 0(? ? 0) ,其中 ? 待定.
[设计意图] 通过对问题的分析、解决过程,培养学生综合分析问题和转化化归的能力;通过方法探究,一 题多解,发散思维,有益于沟通知识和方法,开拓解题思路. 【拓展提升】 问题:当 ? 变化时, x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 表示什么图形呢?图形有何特点? ( ? 师:方程 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 中的未知数是什么? ? 可取什么值? ( ? 生:未知数是 x, y. ? 可取任意实数,是常数. 师:是关于 x, y 的几元几次方程? 生:二元一次方程. 师:这个二元一次方程 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 表示什么图形? ( ? 生:表示直线.
6

师:这个二元一次方程 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 能够表示多少条直线? ( ? 生:无数条,一个 ? 的值就对应一条直线. 师:这些直线有什么共同特点吗?如何研究呢?既然一个 ? 的值就对应一条直线,那么能否通过给定 ? 的 特殊值进行研究呢?例如取 ? ? ?1,0,1, 2 ??. 生:计算探究

? ? ?1 时,方程为: ?3 y ? 6 ? 0 ,
? ? 0 时,方程为: x ? 2 y ? 4 ? 0 ,
( ? ? ? 1 时,方程为: x ? 2 y ? 4 ? x ? y ? 2) 0 ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 ( ? ? ? 2 时,方程为: x ? 2 y ? 4 ? 2 x ? y ? 2) 0 ,即 x ? 0
作出图形可知,所有直线都过一个定点,该点为 M (0, 2) ,即为例 3 中两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和

x ? y ? 2 ? 0 的交点.
由此猜测:方程 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 表示的直线都经过 M (0, 2) 点. ( ? 动画演示,验证猜想. 师:方程 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 能表示 x ? y ? 2 ? 0 这条直线吗? ( ? 生:思考回答. 结论:方程 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 表示除直线 x ? y ? 2 ? 0 以外且经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 ( ?

x ? y ? 2 ? 0 交点的直线.
师:像这种具有某种共同性质的所有直线的集合,称为直线系;它的方程叫直线系方程. 总结提高:若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 、 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,则方程

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 表示过 l1 与 l 2 交点的直线系(不包括直线 l 2 ) .
应用: (例 3 另解) 解:设经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点的直线 l 方程为 x ? 2 y ? 4 ? ? x ? y ? 2) 0 , ( ? 则 (1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? 4 ? 2? ? 0 .

?直线 l 与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,? ? ?直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

1? ? ? 2 ,即 ? ? 1 . ? ?2

7

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生总结:1.知识点:两条直线的交点的求法; 二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系; 2.思 想:由特殊到一般的思想; 转化化归的思想; 数形结合的思想. 教师强调:过两条直线交点的直线系方程. [设计意图] 通过学生总结,培养学生的口头表达能力、归纳概括能力,教会学生学习方法,让学生再次回 顾本节课的活动过程、重点、难点所在,对所学知识加以思考延伸.使学生对本节课所学知识结构有一个 清晰的认识,形成知识体系.

六、布置作业
1.书面作业 必做题: P 109 A 组 1,3,4, B 组 1. 选做题:1.两直线 y ? kx ? 2k ? 1和 x ? 2 y ? 4 ? 0 的交点在第四象限,则 k 的取值范围是( )

A . (?6, 2)

B. (?

1 , 0) 6

1 1 C.(? , ? ) 2 6

1 D.(? , ??) 2

2.过点 P(0,1) 作直线 m ,使它被两条直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 所截得线段以 P 为 中点,求直线 m 的方程. 答案:1. C ;2. x ? 4 y ? 4 ? 0 2.课外思考 思考 1:求证:不论 ? 取什么实数,直线 (2? ? 1) x ? (? ? 3) y ? (? ? 3) ? 0 都过一个定点,并求这个定点 坐标. 思考 2:已知直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 及点 A(4,1), B(0, 4), C (2,0) , (1)试在 l 上求求一点 P ,使 | PA | — | 最小; +|PC (2) )试在 l 上求求一点 Q ,使 | QA | — | 最大. ?|QB [设计意图]书面作业的布置,以不同层次出现,对不同层次学生有不同的要求,体现了分层教学的教学思 想.设置“必做题”是为了进一步巩固所学,加强学生学习的自信心;课外思考探究活动进一步激励学生
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学习的热情,培养学生数形结合的能力.

七、教后反思
本节课在设计上注重课堂的开放性,在学习过程中让学生主动参与,,使学生在参与活动的过程中感 受“数”与“形”的相互转换,深化坐标法的应用.通过讨论两直线方程联立方程组的解来研究两直线的 交点问题, 培养了学生的数形结合与运动转化的数学思想.在探究两直线的位置关系与对应二元一次方程组 解的个数问题的过程中,把学习的主动权还给学生,让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学 习过程,使数学课堂生动起来.通过探究讨论,动画展示,加深对解析法的理解,培养学生勇于探索的科 学精神. 在直线系的探究过程,还是老师的启发过多、讲的多,可以尝试让学生分析讲解,老师 补充完善,这样更有益于学生学习兴趣培养和对知识的理解.

八、板书设计
2.3.3 直线与平面垂直的性质 1.两直线的交点坐标 例2
学生板书

2.两直线的位置关系与对应方程组的解的个数 的关系

例3

例1

拓展提升

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