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2012届高考文科数学二轮复习课件:专题5-平面解析几何(人教A版)


专题五

平面解析几何

专题五 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题五 │ 考情分析预测
考情分析预测
考向预测 解析几何初步的内容主要是直线的方程、圆的方程和空 间直角坐标系,在该部分高考考查的分值不多,在高考试卷 中一般就是一个选择题或者填空题,考查直线的方程、圆的 方程的基本问题,偏向于考查直线与圆的综合,试题难度不 大,对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进 行,对空间直角坐标系的考查在立体几何中与空间向量结合 考查空间向量的方法解决立体几何问题.根据近年来各地高 考的情况,解析几何初步的考查是稳定的,预计2012年该部 分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知 识和方法,而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用.

专题五 │ 考情分析预测
圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般 有1~2个选择题或者填空题,一个解答题.选择题或者填空题在 于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简 单几何性质及其应用,试题考查的面主要针对圆锥曲线本身,综 合性较小,试题的难度一般不大;解答题中主要是以抛物线为基 本依托,考查椭圆方程的求解、直线与曲线的位置关系,考查数 形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想 等数学思想方法,这类解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆 锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比 较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,预计 2012年仍然是这种考查方式,不会发生大的变化.

专题五 │ 考情分析预测
备考策略 解析几何的知识主线很清晰,就是直线方程、圆的方程、圆 锥曲线方程及其简单几何性质,复习解析几何时不能把目标仅仅 定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解 析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线 的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程 (组)的方法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌 握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;数学思想方法在解析 几何问题中起重要作用,数形结合思想首当其冲,其次分类讨论 思想、函数与方程思想、化归转化思想,如解析几何中的最值问 题往往就是建立求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的 最值,复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用.

专题五 │ 近年高考纵览
近年高考纵览

第14讲

直线与圆

第14讲 直线与圆

第14讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.直线的斜率 2.直线的方程 3.两条直线的位置关系 (1)平行;(2)垂直;(3)相交. 4.距离公式 (1)两点间的距离;(2)点与直线的距离;(3)两条平行直线间的 距离. 5.圆的方程 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相交、相切和相离三种,解决的方法主 要有点线距离法和判别式法. (1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则 d<r?直线与圆相交,d=r?直线与圆相切,d>r?直线与圆相离.

第14讲 │ 主干知识整合
(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+ ?Ax+By+C=0, ? C=0,建立方程组 ? 消去y得x的一元二次方 2 2 2 ??x-a? +?y-b? =r , ? 程,判别式为Δ. ①直线与圆相离?Δ<0; ②直线与圆相切?Δ=0; ③直线与圆相交?Δ>0. 7.圆与圆的位置关系 设r1,r2分别为两圆的半径,d为圆心距,则 (1)d>r1+r2?两圆外离; (2)d=r1+r2?两圆外切; (3)|r1-r2|<d<r1+r2?两圆相交; (4)d=|r1-r2|?两圆内切; (5)d<|r1-r2|?两圆内含.

第14讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 直线与方程

例1 过定点P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4 的直线方程是________.

第14讲 │ 要点热点探究
x+2y-4=0或( 2+1)x-2( 2-1)y-4=0或( 2-1)x- x y 2( 2+1)y+4=0 【解析】 设所求的直线方程为a+b=1. 2 1 ∵直线过点P(2,1),∴a+b=1,即a+2b=ab. ① 1 又由已知,可得 |ab|=4,即|ab|=8.② 2 ?a+2b=ab, ?a+2b=ab, ?a=4, ? ? ? 由①、②可得 ? 或? 解得 ? ?ab=8 ?ab=-8, ?b=2 ? ? ?
?a=4? 2-1?, ? 或? ?b=-2? 2+1? ? ?a=-4? 2+1?, ? 或? ?b=2? 2-1?. ?

故所求直线方程为x+2y-4=0或( 2+1)x-2( 2-1)y-4=0 或( 2-1)x-2( 2+1)y+4=0.

第14讲 │ 要点热点探究

经过点P (2,-3)作圆(x+1)2+y2=25的弦AB, 使点P为弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为( ) A.x-y-5=0 B.x-y+5=0 C.x+y+5=0 D.x+y-5=0

A 【解析】 设圆心为C,则AB垂直于CP,kCP= -3-0 =-1,故直线AB:y+3=x-2,即x-y-5=0, 2-?-1? 选A.

第14讲 │ 要点热点探究
1 例2 “m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x 2 +(m+2)y+3=0相互垂直”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 两直线垂直的充要条件是(m+2)(m-2)+3m(m 1 1 +2)=0,解得m=-2或m= .故m= 是直线(m+2)x+3my+1=0 2 2 与直线(m-2)x+(m+2)y+3=0垂直的充分不必要条件. B

第14讲 │ 要点热点探究

已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2 之间的距离为( ) A.1 B. 3 C. 2 D. 5

C 【解析】 由平行直线间的距离公式,所求距离为d= |1-?-1?| = 2,故选C. 2

第14讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 圆的方程的应用

例3 [2011· 辽宁卷] 已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心 在x轴上,则C的方程为________.

(x-2)2+y2=10 【解析】 设圆心坐标为(x,0),则有 ?x-5?2+1 = ?x-1?2+9 ,解得x=2.由两点距离得r= ?2-5?2+1= 10,所以圆的方程为(x-2)2+y2=10.

第14讲 │ 要点热点探究
圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C 在P点切线的斜率为1,则圆C的方程为________.

x2+y2+x+5y-6=0

【解析】 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey

+F=0.将P、Q、R的坐标代入,得

?k +Dk+F=0, ? 2 ?2 +2D+F=0, ?1+E+F=0, ?
2

解得

?D=-?k+2?, ? ?F=2k, ?E=-?2k+1?. ?

∴圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,

?k+2 2k+1? ?. 圆心C为? , 2 2 ? ?

又可知kCP=-1,∴k=-3.∴圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.

第14讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 直线与圆的综合问题

例4 已知圆C:x2+y2+2x+4y-3=0和直线l:x+y+1= 0,则圆C上到直线l的距离为 2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第14讲 │ 要点热点探究
C 【解析】 方法1:将圆C方程配方得:(x+1)2+(y+2)2=

8,圆C的圆心坐标和半径分别是:C(-1,-2),R=2 2. 设与直线l:x+y+1=0平行且距离为 2的直线方程为x+y+ |m-1| m=0,由 = 2知m=-1或m=3.当m=-1时,圆心到直线 2 |-1-2-1| x+y-1=0的距离d1= =2 2 =R,直线与圆相切,满 2 足要求的点有一个;当m=3时,圆心到直线x+y+3=0的距离d2 |-1-2+3| = =0<R,直线与圆相交,满足要求的点有两个.故 2 满足要求的点共有3个.选C.

第14讲 │ 要点热点探究

方法2:将圆C的方程配方得:(x+1)2+(y+2)2=8, 圆C的圆心坐标和半径分别是:C(-1,-2),R=2 2. |-1-2+1| 圆心C到直线l的距离d= = 2, 2 故与直线l平行且距离为 2的两条直线l1,l2中,一条与圆C相 切,另一条与圆C相交, 故圆C上到直线l的距离为 2的点共有3个.选C.

第14讲 │ 要点热点探究

方法3:设圆C上任意一点的坐标为(-1+2 2 cosα,-2+ 2 2sinα),其中α∈[0,2π), |-1+2 2cosα-2+2 2sinα+1| 依题意得: = 2, 2 ? ? π ?? 即?-1+2sin?α+4 ??=1, ? ? ?? ? ? π? π? 即sin?α+ 4 ?=0或sin?α+ 4 ?=1, ? ? ? ? 3π 7π π 因为α∈[0,2π),所以α= 或α= 或α= . 4 4 4 故圆C上到直线l的距离为 2的点共有3个.选C.

第14讲 │ 要点热点探究

过圆x2+y2+4x-2y+3=0上的点P(-1,0)的切线l的方 程是________.

第14讲 │ 要点热点探究
x-y+1=0 【解析】 方法1:由x2+y2+4x-2y+3=0, 得(x+2)2+(y-1)2=2, 则圆心C(-2,1),半径r= 2, 1-0 1 所以kPC= =-1,则kl=-k =1, -2-?-1? PC 那么所求的切线l的方程为:y-0=1×(x+1),即x-y+1=0. 方法2:由x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,则圆 心C(-2,1),半径r= 2. 设所求的切线l的方程为:y-0=k(x+1)(结合图形知l的斜率存 |k×?-2?-1+k| 在),即kx-y+k=0,则d= =r= 2 ,解得k=1, k2+?-1?2 所以所求的切线l的方程为:x-y+1=0.

第14讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.确定直线的几何要素,一个是它的方向,一个是 直线过一个点,只要这两个问题解决了,直线就完全确 定了. 2.求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标) 和圆的半径,这实际上是三个独立的条件,只有根据已 知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定 圆心坐标和圆的半径,其中列条件和解方程组都要注意 其准确性.

第14讲 │ 规律技巧提炼

3.直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问 题,是直线与圆的位置关系的一个衍生问题.解决的方法: 一是根据平面几何知识结合坐标的方法,把弦长用圆的半径 和圆心到直线的距离表示,即如果圆的半径是r,圆心到直 线的距离是d,则直线被圆所截得的弦长l=2 r2-d2 ,这个 公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到 的;二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法 解决.

第14讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由:例1是2011年一道高考题,以集合的形式 考查了直线与圆的位置关系,相对来说是一道难题;例2 是灵活解决直线与圆的位置关系的,这是高考考查解析几 何初步的重点内容;例3考查直线与圆相切;例4是圆的知 识的综合考查,结合抛物线知识考查圆的方程的求法.由 于文科在该节设解答题,这个例题可以作为要点热点探究 的补充.

第14讲 │ 教师备用例题

例1

设集合A=

?m {(x,y) ? 2 ?

≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈ 若A∩B≠

R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}, ?, 则实数m的取值范围是________.

第14讲 │ 教师备用例题
【答案】
?1 ? ? ,2+ ?2 ? 2? ? ?

【解析】 若m<0,则符合题意的条件是:直线x+y=2m+1与圆(x-2)2+y2 =m2有交点,从而由 |2-2m-1| 2- 2 2+ 2 ≤|m|,解之得 ≤m≤ ,矛盾; 2 2 2 若m=0,则代入后可知矛盾; 1 m 若m>0,则当 ≤m2,即m≥ 时,集合A表示一个环形区域,且大圆半径不 2 2

1 2 小于 ,即直径不小于1,集合B表示一个带形区域,且两直线间距离为 ,从而 2 2 当直线x+y=2m与x+y=2m+1中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2有交点,即可 符合题意,从而有 解之得 |2-2m| |2-2m-1| ≤|m|或 ≤|m|, 2 2

2- 2 ≤m≤2+ 2, 2

1 所以综上所述,实数m的取值范围是 ≤m≤2+ 2. 2

第14讲 │ 教师备用例题

例2 若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点 到直线l:ax+by=0的距离为2 2 ,则直线l的斜率的取值范 围是( ) A.[-2- 3,-2+ 3] B.[2- 3,2+ 3] ? 3 ? C.? , 3? D.[0,+∞) ? 3 ?

第14讲 │ 教师备用例题

【解析】 B 圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为(x-2)2+ (y-2)2=(3 2 )2,∴圆心坐标为(2,2),半径为3 2 ,要求圆上至 少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2 2 ,则圆心到 ?a? 2 ?a? |2a+2b| 直线的距离应小于或等于 2,∴ 2 2 ≤ 2,∴ ?b? +4 ?b? + ? ? ? ? a +b a a 1≤0,∴-2- 3 ≤ b ≤-2+ 3 ,k=- b ,∴2- 3 ≤k≤2+ 3,直线l的斜率的取值范围是[2- 3,2+ 3],选B.

第14讲 │ 教师备用例题

例3 圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程 为________.

【答案】 x2+y2=2 【解析】 由圆心到直线x+y-2=0的距离d= 2,得圆的方程为x2+y2=2. |0+0-2| 2 =

第14讲 │ 教师备用例题

【命题者说】 【考查目标】 本题考查圆的标准方程、直线和圆的位置关 系,考查数形结合的思想. 【命制过程】 本题的设计即可以体现代数方法求圆的方程, 也可以体现几何方法求圆的方程,使不同能力的考生得到才能的 展示. 【试题评价】 试题的设计展示了求解圆的方程的基本方法.

第14讲 │ 教师备用例题

例4 如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A. (1)求实数b的值; (2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

第14讲 │ 教师备用例题
?y=x+b, ? (1)由? 2 ?x =4y ?

【解答】

得x2-4x-4b=0,(*)

因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0, 解得b=-1. (2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0, 解得x=2,代入x2=4y,得y=1. 故点A(2,1), 因为圆A与抛物线C的准线相切, 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离, 即r=|1-(-1)|=2, 所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

第15讲

圆锥曲线的定义、方程与性质

第15讲

圆锥曲线的定义、方程与性质

第15讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.椭圆 (1)椭圆的定义; x2 y2 y2 x2 (2)两种标准方程: 2 + 2 =1(a>b>0),焦点在x轴上; 2 + 2 = a b a b 1(a>b>0),焦点在y轴上; (3)椭圆方程的一般形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),其焦点 位置有如下规律,当m<n时,焦点在x轴上;当m>n时,焦点在y轴上; (4)椭圆的简单几何性质. 2.双曲线 (1)双曲线的定义; x2 y2 y2 x2 (2)两种标准方程: 2 - 2 =1(a>0,b>0),焦点在x轴上; 2 - 2 = a b a b 1(a>0,b>0),焦点在y轴上;

第15讲 │ 主干知识整合
(3)双曲线方程的一般形式:mx2+ny2=1(mn<0),其焦点位 置有如下规律:当m>0,n<0时,焦点在x轴上;当m<0,n>0时, 焦点在y轴上; (4)双曲线的简单几何性质. 3.抛物线 (1)抛物线的定义; (2)抛物线的标准方程; (3)抛物线方程的一般形式:焦点在x轴上的抛物线方程可以 用y2=λx(λ≠0)表示;焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2= λy(λ≠0)表示; (4)抛物线的简单几何性质.

第15讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 圆锥曲线的定义与标准方程
x2 y2 x2 y2 例1 若椭圆 m+ n =1与双曲线 p - q =1(m,n,p,q均为正数) 有共同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个公共点,则|PF1|· 2|等 |PF 于( ) A.p2-m2 B.p-m C.m-p D.m2-p2

【分析】 首先根据点P的特殊性,它是椭圆与双曲线的交 点,且两个曲线有公共的焦点,结合椭圆的定义与双曲线的定 义,可知|PF1|+|PF2|=2 m 与|PF1|-|PF2|=± p ,进而求得 2 |PF1|· 2|. |PF

第15讲 │ 要点热点探究

C 【解析】 由题设可知m>n,再由椭圆和双曲线的定义有 |PF1|+|PF2|=2 m 及|PF1|-|PF2|=± p ,两个式子分别平方再相减 2 即可得|PF1|· 2|=m-p.选C. |PF

【点评】 本题考查了椭圆和双曲线的定义的应用.椭圆和 双曲线的定义反映了它们的图形特点,是画图的依据和基础, 而定义中的定值是求标准方程的基础.在许多实际问题中正确 利用定义可以使问题的解决更加灵活.已知圆锥曲线上一点及 焦点,首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.

第15讲 │ 要点热点探究

[2011· 广东卷] 设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与 直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆

A 【解析】 设圆心C的坐标C(x,y),由题意知y>0, 则圆C的半径为y,由于圆C与已知圆相外切,则由两圆心距等于 半径之和,得 x2+?y-3?2 =1+y,整理得:x2=8(y-1),所以 轨迹为抛物线.

第15讲 │ 要点热点探究
x2 y2 例2 已知点P(3,-4)是双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)渐近线上 a b → FP 的一点,E,F是左、右两个焦点,若 EP ·→ =0,则双曲线方程 为( ) x2 y2 A. - =1 3 4 x2 y2 C. - =1 9 16 x2 y2 B. - =1 4 3 x2 y2 D. - =1 16 9

→ → 【分析】 首先根据已知条件将 EP 与 FP 坐标化,然后借助 → FP → EP · =0,求出c的取值,再借助渐近线的特点得到要求的双曲 线方程.

第14讲 │ 要点热点探究

C

→ FP 【解析】 不妨设E(-c,0),F(c,0),于是有 EP ·→ =(3+

c,-4)· (3-c,-4)=9-c2+16=0,于是c2=25.排除A,B.又由D 3 中双曲线的渐近线方程为y=± x,点P不在其上,排除D. 4

【点评】 本题考查待定系数法求曲线方程.求圆锥曲线方 程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲 线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2+ny2= 1(mn≠0),注意对参数的讨论.

第15讲 │ 要点热点探究
设θ是△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ= x2sinθ-y2cosθ=1表示( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 7 ,则 13

7 B 【解析】 因为θ∈(0,π),且sinθ+cosθ= ,所以sin2θ= 13 ?π ? ?π 3π? 2 30 - <0,所以θ∈ ?2,π? ,且|sinθ|>|cosθ|,所以θ∈ ?2, 4 ? ,从 13 ? ? ? ? 1 1 而cosθ<0且 < ,从而x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在y轴上 sinθ -cosθ 的椭圆.选B.

第15讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 圆锥曲线的几何性质

x2 y2 例3 [2011· 天津卷] 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左顶点 a b 与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线 与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 ( ) A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5

【分析】 根据双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点求出 p,再由题意求焦距.

第15讲 │ 要点热点探究

x2 y2 b B 【解析】 双曲线 2 - 2 =1的渐近线为y=±a x,由双曲线的 a b p 一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1)得- =-2, 2 p b 即p=4.又∵ +a=4,∴a=2,将(-2,-1)代入y=ax得b=1, 2 ∴c= a2+b2= 4+1= 5,∴2c=2 5.

第15讲 │ 要点热点探究

已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,且|AB|=4,则 AB中点C的横坐标是( ) 1 3 5 A.2 B. C. D. 2 2 2

C

【解析】 设A(x1,y1), B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=

x1+x2 3 x1+x2+1=4,所以 = ,故选C. 2 2

第15讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 直线与圆锥曲线的位置关系

例4 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线 → → → AB → BA → → y=-3上,M点满足MB∥OA ,MA· =MB· ,M点的轨迹为曲 线C. (1)求C的方程; (2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最小 值.

【分析】 第(1)问可以设M点的坐标为(x,y),通过向量平行 与数量积得到轨迹方程;第(2)问先用导数求得切线方程,再用基 本不等式求得最小值.

第15讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). → → → 所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2). → → AB → 由题意可知(MA+MB)· =0, 即(-x,-4-2y)· (x,-2)=0, 1 2 所以曲线C的方程为y= x -2. 4 1 (2)设P(x0,y0)为曲线C:y= x2-2上一点, 4 1 1 因为y′= x,所以l的斜率为 x0. 2 2

第15讲 │ 要点热点探究
1 因此直线l的方程为y-y0= x0(x-x0), 2 即x0x-2y+2y0-x2=0. 0 |2y0-x2| 1 0 则O点到l的距离d= .又y0= x2-2, 4 0 x2+4 0 1 2 x +4 4 ? 2 0 1? 2 ?≥2, 所以d= 2 = ? x0+4+ 2 2? x0+4? x0+4 当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.

【点评】 本题考查了轨迹方程的求法和直线与抛物线的 位置关系——相切,并用导数和基本不等式解决了问题,综合 性比较强.

第15讲 │ 要点热点探究

x2 y2 [2011· 北京卷] 已知椭圆G: 2 + 2 =1(a>b>0)的 a b 离心率为 6 ,右焦点为(2 2 ,0),斜率为1的直线l与椭圆G交 3

于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2). (1)求椭圆G的方程; (2)求△PAB的面积.

第15讲 │ 要点热点探究
c 6 【解答】 (1)由已知得,c=2 2,a= . 3 解得a=2 3. 又b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆G的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线l的方程为y=x+m.

?y=x+m, ? 2 2 由? x y 得4x2+6mx+3m2-12=0. ① ?12+ 4 =1 ?
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为 E(x0,y0),则 x1+x2 3m m x0= =- . y0=x0+m= . 2 4 4

第15讲 │ 要点热点探究
因为AB是等腰△PAB的底边, 所以PE⊥AB. m 2- 4 所以PE的斜率k= =-1. 3m -3+ 4 解得m=2. 此时方程①为4x2+12x=0. 解得x1=-3,x2=0.所以y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. 此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d= |-3-2+2| 3 2 = , 2 2 1 9 所以△PAB的面积S= |AB|· d= . 2 2

第15讲 │ 要点热点探究
? 创新链接7 细解离心率问题

离心率是圆锥曲线的重要的几何量,在圆锥曲线的基础类试题 中占有较大的比重,是高考考查圆锥曲线的几何性质中的重要题目 类型. 关于椭圆与双曲线的离心率问题,主要有两类试题:一类是求 解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题思路是 建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式,求值试题就是建立a,b,c 的等式,求取值范围问题就是建立a,b,c的不等式.

第15讲 │ 要点热点探究
x2 y2 例5 过椭圆C: 2 + 2 =1的左焦点作直线l⊥x轴,交椭圆C于 a b A,B两点,若△OAB(O为坐标原点)是直角三角形,则椭圆C的离心 率e为( ) 3-1 3+1 5-1 5+1 A. B. C. D. 2 2 2 2

【分析】 根据直线l⊥x轴,由椭圆的对称性可知,A、 B两点关于y轴对称,再由若△OAB是直角三角形,则 AO⊥OB,可以找到a,b,c的关系,进而求得离心率.

第15讲 │ 要点热点探究
设A(-c,y1),B(-c,y2),∵A、B在椭圆上, b4 2 2 2 2 2 2 2 → OB → ∴b c +a y =a b ,即y = 2 .∵AO⊥OB,∴OA · =c2+y1y2=0, a 5-1 b4 2 2 2 2 c =-y1y2=y ,∴c = 2,即b =ac,∴e= . a 2 C
【点评】 本题考查了椭圆的几何性质,离心率的问题,该问 题是这几年高考的热点之一.离心率是圆锥曲线的重要几何量, 求解椭圆或者双曲线的离心率,其关键是建立一个关于a,b,c的 方程,通过这个方程和b与a,c的关系消掉b后,建立a,c之间的方 c 程,通过这个方程只要能求出 a 即可,不一定要具体求出a,c的数 值.

【解析】

第15讲 │ 要点热点探究
x2 y2 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条 a b → 渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若 FB → =2FA,则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5

【分析】 根据三条直线的位置关系求出点A,B的坐标, → → 根据向量关系式 FB =2 FA 建立双曲线中a,b,c的方程,找到 a,c的关系即可求出其离心率.

第15讲 │ 要点热点探究

C 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),双曲线的渐近线方程是 b b y=±a x,设过右焦点F(c,0)的直线l与渐近线y= a x垂直,则直线l的 a ab 方程为y=- b (x-c),两直线方程联立解得点A的纵坐标y1= c ;把 a b abc 方程y=- b(x-c)与方程y=- ax联立,解得点B的纵坐标y2= 2 2. b -a → → 由于 FB =2 FA ,即(x2-c,y2)=2(x1-c,y1),由此得y2=2y1,故 abc 2ab ,此即2(b2-a2)=c2,即2(c2-2a2)=c2,解得c=2a,故 2 2= c b -a 所求的双曲线的离心率是2.

第15讲 │ 要点热点探究
x2 y2 例6 已知点F1、F2分别是双曲线 2 - 2 =1的左、右焦点,过F1 a b 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角 形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1, 3) C.( 2-1,1+ 2) D.(1,1+ 2)
【分析】 根据对称性,△ABF2是等腰三角形,两个底角一定 是锐角,故要满足题意顶角也须是锐角,即∠AF2B<90° ,即 ∠F1F2A<45° ,这个问题等价于|AF1|<|F1F2|,由此可找出关于a, b,c的不等式求得其离心率的范围.

第15讲 │ 要点热点探究

【解析】 D

b2 由题意|AF1|= a ,∠F1F2A<45° <∠F1AF2,

b2 故 a <2c,即c2-2ac-a2<0,即e2-2e-1<0,解得1- 2<e<1+ 2,又e>1,故选D.
【点评】 求离心率的取值范围,一般是根据已知条件得到一 个关于a,b,c的不等式,再把这个不等式化为关于a,c的不等 式,求出a,c所满足的不等关系,如果得到的不等式各项是“齐 次”的,可以通过除法转化为关于离心率的不等式求出其范围.

第15讲 │ 要点热点探究
x2 y2 设F1、F2分别是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦 a b 2 a 点,若在直线x= c 上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2, 则椭圆离心率的取值范围是( ) ? ? ? 2 ? ? 3 ? 2? 3? ?0, ? ?0, ? ? ,1? ? ,1? A. B. C. D. 2? 3? ? ? ? 2 ? ? 3 ?
【解析】 由F2在PF1的中垂线上,所以|F1F2|=|F2P|. a2 c2 1 由题意知 c -c≤2c,即a2≤3c2,所以e2= 2≥ . a 3 ? 3 ? ? ,1?,故选D. 又e∈(0,1),所以e∈ ? 3 ? D

第15讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.抛物线y =2px(p>0)的过焦点F
2

?p ? ? ,0? ?2 ?

的弦AB,若A(x1,

p2 y1),B(x2,y2),则x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p. 4 同样可得抛物线y2=-2px,x2=2py,x2=-2py类似的性质. 2.解决直线与圆锥曲线相交时弦长问题的方法是:设而不 求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点 1 2 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= 1+k |x1-x2|= 1+ 2 |y1- k y2|,而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2 等,将直线方程与圆锥曲线方 程联立消元后得一元二次方程,利用韦达定理进行整体代入.

第15讲 │ 教师备用例题
教师备用例题

备选理由:在高考中单纯的圆锥曲线基础类试题一般 就是一个选择题或者填空题,本节的目的就是解决这个问 题.

第15讲 │ 教师备用例题
x2 y2 例1 从双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2 a b =a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线 段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系 为( ) A.|MO|-|MT|>b-a B.|MO|-|MT|=b-a C.|MO|-|MT|<b-a D.不确定

【分析】 连接点P和双曲线的另一个焦点,根据圆的切线性 质、三角形的中位线性质、双曲线的定义,寻找|MO|-|MT|的表 达式.

第15讲 │ 教师备用例题
【解析】B 如图,F′为双曲线的右焦点,连接PF′,OT, ∵|FP|-|F′P|=2a, ∴2|FM|-2|OM|=2a,即|FM|-|OM|=a. 又∵|FM|=|MT|+b,∴|MT|+b-|OM|=a, 即|MO|-|MT|=b-a.故选B.

第15讲 │ 教师备用例题

【点评】 当问题涉及双曲线(椭圆也一样)上的点和双曲 线的一个焦点之间的连线时,就要把双曲线上的点和另一个 焦点联系起来使用双曲线的定义.圆的切线和过切点的半径 垂直,当问题含有圆的切线时,一般就是把圆心和这个切点 连接起来使用圆的切线的这个性质.

第15讲 │ 教师备用例题
例2 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的 光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有 一个水平放置的椭圆形台球盘,点A,B是它的焦点,长轴长 为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的 路程是( ) A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能
【分析】 分小球被椭圆的两个顶点反弹和不经过顶点反弹,结 合椭圆的几何性质和椭圆定义即可求出小球经过的路程.

第15讲 │ 教师备用例题
【解析】 D 记点A为椭圆的右焦点.静放在点A的小球(小 球的半径不计)从点A沿直线出发,经椭圆壁右顶点反弹后第一次 回到点A时,小球经过的路程是2(a-c),则B正确;静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发,经椭圆壁左顶点反 弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a+c),则C正确; 静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发,经椭圆壁 非左右顶点反弹后第一次回到点A时,根据椭圆的定义,小球经 过的路程是4a,则A正确.于是三种情况均有可能,故选D.
【点评】 解题中思维要缜密,本题如果不考虑目标是“小球从 点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时”中的第一次, 就可能错选A;本题如果是改为“小球从点A沿直线出发,经椭圆壁 反弹后经过焦点B第一次回到点A时”其经过的路程就是4a.

第15讲 │ 教师备用例题

x2 y2 例3 已知双曲线 - =1,过其右焦点F的直线交双曲线 9 16 |MF| 于P,Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则 的值为 |PQ| ( ) 5 5 5 5 A. B. C. D. 3 6 4 8

【分析】 使用参数建立直线系,然后根据弦长公式计算两个线 段的长度.

第15讲 │ 教师备用例题
【解析】 B 右焦点F的坐标是(5,0),设直线PQ的方程是x=my +5,代入双曲线方程得(16m2-9)y2+160my+162=0.设P(x1,y1), 160m 162 Q(x2,y2),则y1+y2=- ,y y = , 16m2-9 1 2 16m2-9 96?1+m2? 160m 2 162 则|PQ|= 1+m2 -4· 2 = . 16m2-9 16m -9 |16m2-9| 设PQ的中点N(x0,y0), 80m 80m2 45 则y0=- ,x0=- +5=- . 16m2-9 16m2-9 16m2-9 y0 y0 125 设M(t,0),则 =-m,即t=m+x0=- , x0-t 16m2-9 ? ? 80?1+m2? 125 故|MF|=|t-5|=?-16m2-9-5?= . 2 ? ? |16m -9| |MF| 80 5 所以 = = . |PQ| 96 6

第16讲

圆锥曲线热点问题

第16讲 圆锥曲线热点问题

第16讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.曲线与方程的概念 2.求曲线的方程的一般步骤 ①建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的 坐标;②写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};③用坐标表示条件 P(M),列出方程f(x,y)=0;④化方程f(x,y)=0为最简形式;⑤证明以 化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 3.求曲线方程的方法 (1)代入法:当形成曲线的动点P(x,y)随着另一个在已知曲线f(x,y) =0上的动点Q(x0,y0)有规律的运动时,利用这种规律就能得到x0=φ(x, y),y0=Φ(x,y),而x0,y0满足f(x0,y0)=0,将x0=φ(x,y),y0=Φ(x,y) 代入就可得到动点P(x,y)所形成的曲线的方程.

第16讲 │ 主干知识整合

(2)参数法:当很难找到形成曲线的动点P(x,y)的坐标x,y 所满足的关系式时,借助第三个变量t,建立t和x,t和y的关系式 x=φ(t),y=Φ(t),再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所 满足的方程,从而求出动点P(x,y)所形成的曲线的普通方程. (3)交轨法:有些情况下,所求的曲线是由两条动直线的交 点P(x,y)所形成的,既然是动直线,那么这两条直线的方程就 必然含有变动的参数,通过解两直线方程所组成的方程组,就能 将交点P(x,y)的坐标用这些参数表达出来,也就求出了动点 P(x,y)所形成的曲线的参数方程,消掉参数就得到了动点 P(x,y)所形成的曲线的普通方程.

第16讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 轨迹问题

x2 y2 例1 已知一椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)及焦点F(-c,0),点A为椭圆 a b 上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程.

【分析】 动点P(x,y)依赖于另一个动点A(x1,y1),而 A(x1,y1)在椭圆上,则可以先列出关于x,y,x1,y1的方程组, 利用x,y表示x1,y1,并把x1,y1代入曲线方程即可求出轨迹的 方程.

第16讲 │ 要点热点探究
x1-c y1 【解答】 设点P(x,y),A(x1,y1),则x= ,y= , 2 2 即x1=2x+c,y1=2y. 2 x2 y2 x1 y2 1 又因为点A在椭圆 2+ 2=1上,所以 2+ 2=1. a b a b ? c? ?x+ ?2 4 2? 4y2 ? 代入得点P的轨迹方程为 + 2 =1. a2 b ? c ? ?- ,0?,焦点分别为F和O的椭圆. 它表示中心为 2 ? ?
【点评】 求曲线的方程,常见的有两种类型:一种是曲线 形状明确且便于用标准形式表示,这时用待定系数法求其方 程,另一种是曲线形状不明确或不便于用标准形式来表示, 一般可用直接法、代入法、参数法等方法求解,本题就是这个 类型的题.

第16讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 定点、定值

例2 过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、 AQ,P、Q为切点. (1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1和k2,求证:k1·2为定值, k 并求出这个定值; (2)求证:直线PQ恒过定点,并求出定点坐标.

图16-1

第16讲 │ 要点热点探究
【解答】 证明:(1)设过点A(a,0)与抛物线y=x2+1相切的直线的 斜率是k, 则该切线的方程为:y=k(x-a), ?y=k?x-a?, ? 由? 得x2-kx+(ka+1)=0, 2 ?y=x +1 ? ∴Δ=k2-4(ka+1)=k2-4ak-4=0, 则k1,k2是方程k2-4ak-4=0的解, 故k1·2=-4为定值. k (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由于y′=2x, 故切线AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1). 又由于A点在直线AP上, 2 则-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x1=2x1a-2(y1-1), ∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2, 则直线PQ的方程是y=2ax+2,故直线PQ恒过定点(0,2).

第16讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题考查了定点、定值问题.定点、定 值问题的求解策略:在几何问题中,有些几何量与参数 无关,这就是“定值”问题,解决这类问题常通过取参 数和特殊值先确定“定值”是多少,再进行证明,或者 将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常 数.

第16讲 │ 要点热点探究
已知A,B是抛物线x2=2py(p>0)上的两个动点,O → → → → → → 为坐标原点,非零向量OA ,OB 满足|OA +OB |=|OA -OB |.求 证:直线AB经过定点.

→ → → → → OB → 【解答】 证明:|OA+OB|=|OA-OB|,则OA· =0. ? x2 ? ? x2 ? 1 2 设A、B两点的坐标分别为?x1,2p?,?x2,2p?, ? ? ? ? 2 2 x1x2 则x1x2+ 2 =0,所以x1x2=-4p2. 4p 设直线AB的方程为y=kx+b, 代入抛物线方程得:x2-2pkx-2pb=0, 所以x1x2=-4p2=-2pb,所以b=2p, 故直线AB经过定点(0,2p).

第16讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 参数的范围问题与最值问题

x2 y2 例3 过双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)右焦点的直线x=c与双曲 a b 线的两条渐近线分别交于A,B两点,若原点在以AB为直径的圆 外,则双曲线离心率的取值范围是________.
? ? bc? bc? 由题意知,A ?c, a ? ,B ?c,- a ? .要使原 ? ? ? ?

(1, 2) 【解析】

点在以AB为直径的圆外,只需原点到直线AB的距离|t|大于半径 ?bc? ?b?2 c ? ?即可,于是b<a,e= = 1+? ? < 2,故e∈(1, 2). a ?a? ?a?

第16讲 │ 要点热点探究
x2 y2 已知a>b>0,e1,e2分别是圆锥曲线 2 + 2 =1和 a b x2 y2 - 2 =1的离心率,设m=l 1+lne2,则m的取值范围是 ne a2 b ________.

a2-b2 b (-∞,0) 【解析】 由条件得:0< a <1,e1= , a ?b?4 a2+b2 a4-b4 e2= ,则e1·2= e = 1-?a? , a a2 ? ? 得0<e1e2<1,所以m=lne1+lne2=ln(e1e2)<0.

第16讲 │ 要点热点探究

例4 已知A、B是抛物线y2=4x上的两点,O是抛物线的顶 点,OA⊥OB. (1)求证:直线AB过定点M(4,0); (2)设弦AB的中点为P,求点P到直线x-y=0的距离的最 小值.

第16讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)设直线AB方程为x=my+b,A(x1,y1),B(x2,y2). 将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x, 得y2-4my-4b=0, 则y1+y2=4m,y1y2=-4b. y2 y2 1 2 ∵OA⊥OB,x1= ,x2= , 4 4 y1y2 16 4 ∴kOA·OB= k = =-b=-1,b=4, x1x2 y1y2 于是直线AB的方程为x=my+4,该直线过定点(4,0).

第16讲 │ 要点热点探究
?x1+x2 y1+y2? ?到直线x-y=0的距离 (2)P? , 2 ? ? 2 ?x1+x2 y1+y2? ? ? - 2 ? |y2+y2-4?y1+y2?| ? 2 1 2

= 2 8 2 |?y1+y2?2-2y1y2-4?y1+y2?| = 8 2 |16m2+32-16m| = 8 2 ? 1?2 7 2 2 = 2(m -m+2)= 2?m-2? + . 4 ? ? 1 7 2 当m= 时,d取得最小值 . 2 4 d=

第16讲 │ 要点热点探究

已知A是抛物线y2=2x上的一动点,过A作圆 (x-1)2+y2=1的两条切线分别切圆于E、F两点,交y轴于 B、C两点. (1)当A点的坐标为(8,4)时,求直线EF的方程; (2)当A点的横坐标大于2时,求△ABC的面积的最小值.

第16讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)如图,由题意知,A,E,D,F四点共圆, 所以EF为圆(x-1)2+y2=1与圆(x-1)(x-8)+y(y-4)=0 的公共弦, 所以直线EF的方程为7x+4y-8=0.

第16讲 │ 要点热点探究
(2)设B(0,yB),C(0,yC),A(x0,y0),其中x0>2, 直线AB的方程为y= y0-yB x+yB, x0

化简得(y0-yB)x-x0y+x0yB=0, |y0-yB+x0yB| 直线AB与圆相切,故 =1,两边平方化简得, ?y0-yB?2+x2 0 (x0-2)y2 +2y0yB-x0=0, B
2 同理(x0-2)yC+2y0yC-x0=0,

故yB,yC是方程(x0-2)y2+2y0y-x0=0的两个不同的实根, 2y0 x0 1 故yB+yC= ,yB·C= y .因为S= |yC-yB|x0, 2 2-x0 2-x0 1 x2 4 0 2 所以S= ?yC-yB? x0= =(x0-2)+ +4≥8,当x0=4时取到, 2 x0-2 x0-2 所以△ABC的面积的最小值为8.

第16讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.求曲线方程的基本方法有:直接法,定义法(或者待定系 数法),代入法,参数法. 2.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例 关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响 的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题难点 的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

第16讲 │ 规律技巧提炼

3.解决圆锥曲线中的最值、范围问题的基本思路是建立目 标函数和不等关系,根据目标函数和不等关系求最值、范围,因 此这类问题的难点就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标 函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量 能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截 距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.

第16讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由:圆锥曲线热点问题主要是定点、定值、最值 和范围问题,高考中解析几何的难题也大多是这几种情况, 本节的目的就是在这几个点上有所突破,下面的4个例题可以 与【要点热点探究】例题配合使用.例1突出了直线与椭圆方 程联立后消元的方法,使得问题得到简化;例2、3、4是2011 年高考题,紧跟高考热点,高考考什么,怎样考,加强对高 考题适应性.

第16讲 │ 教师备用例题

例1 =

x2 y2 已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)经过点(0,1),离心率e a b

3 . 2 (1)求椭圆C的方程; (2)在椭圆C上任取不同两点A,B,点A关于x轴的对称点为 A′,当A,B变化时,如果直线AB经过x轴上的定点(1,0),问 直线A′B是否也经过x轴上的一个定点?若是,求出这个定点 的坐标;若不是,说明理由.

第16讲 │ 教师备用例题
【解答】

?b=1, ?c 3 (1)依题意可得? = , a 2 ?2 2 2 ?a =b +c ,

解得a=2,b=1.

x2 2 所以椭圆C的方程是 +y =1. 4 (2)设直线AB:x=my+1, 2 ?x ? +y2=1, 由? 4 得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0. ?x=my+1, ? 记A(x1,y1),B(x2,y2), 2m 3 则A′(x1,-y1),且y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 , m +4 m +4 3 特别地,令y1=-1,则x1=0,m=1,y2= , 5 ?8 3? ? 此时A′(0,1),B?5,5?,直线A′B:x+4y-4=0与x轴的交点为S(4,0), ? ? ? 若直线A′B与x轴交于一个定点,则定点只能为S(4,0).

第16讲 │ 教师备用例题
以下证明对于任意的m,直线A′B与x轴交于定点S(4,0). y+y1 事实上,当m≠0时,经过点A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为 = y2+y1 x-x1 x2-x1 .令y=0,得x= y +x1. x2-x1 y2+y1 1 只需证明 x2-x1 m?y2-y1?y1 y1+x1=4,即证 +my1-3=0, y2+y1 y2+y1

即证2my1y2-3(y1+y2)=0. -6m -6m 因为2my1y2-3(y1+y2)= 2 - =0, m +4 m2+4 所以2my1y2-3(y1+y2)=0成立. 当m=0时,直线AB:x=1,此时A′,B重合,经过A′,B的直线有无数 条,当然可以有一条经过点S(4,0)的直线. 当直线AB为x轴时,直线A′B就是直线AB,即x轴,这条直线也经过点 S(4,0). 综上所述,直线A′B恒过x轴上的定点S(4,0).

第16讲 │ 教师备用例题
例2 如图,已知椭圆C1的中点在原点O,长轴左、右端点M, N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥ MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依 次为A,B,C,D. 1 (1)设e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2 (2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.

第16讲 │ 教师备用例题

【解答】 (1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设 x2 y2 b2y2 x2 C1: 2+ 2=1,C2: 4 + 2=1,(a>b>0) a b a a 设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,求得 ? ? a 2 2? b 2 2? ?t, ?,B?t, ? A b a -t ? a a -t ?. ? ? 1 3 当e= 时,b= a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知 2 2 2|yB| b2 3 |BC|∶|AD|= = = . 2|yA| a2 4

第16讲 │ 教师备用例题

(2)t=0时的l不符合题意.t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率 b 2 2 a 2 2 a a -t b a -t kBO与AN的斜率kAN相等,即 = , t t-a 1-e ab2 解得t=- 2 =- 2 · a. e a -b2 1-e2 2 因为|t|<a,又0<e<1,所以 2 <1,解得 <e<1. e 2 2 所以当0<e≤ 时,不存在直线l,使得BO∥AN; 2 2 当 <e<1时,存在直线l使得BO∥AN. 2
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