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2016课堂新坐标高考数学理科人教A版专题突破练1



专题突破练(一)
[A 级 一、选择题 1.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程 是 ( A.3x+y+2=0 C.x+3y+2=0 [解析] B.3x-y+2=0 D.x-3y-2=0 ) 基础达标练]

设切点坐标为(x0,y0),由 f′(x)=3x2+6x 得

2 f′(x0)=3x0 +6x0=-3,解得 x0=-1,

即切点坐标为(-1,1). 从而切线方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0,故选 A. [答案] A

2.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作 成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( A.12 cm3 C.144 cm3 [解析] B.72 cm3 D.160 cm3 )

设盒子容积为 y cm3, 盒子的高为 x cm.则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3

-52x2+160x(0<x<5), ∴y′=12x2-104x+160. 20 令 y′=0,得 x=2 或 3 (舍去), ∴ymax=6×12×2=144(cm3). [答案] C 3.(2013· 浙江高考)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k =1,2),则( )

A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值

C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 [解析] -1, 所以 f′(1)=e-1≠0, 所以 f(1)不是极值. 当 k=2 时,f(x)=(ex-1)(x-1)2, 则 f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x-1)=(x-1)[ex(x+1)- 2], 所以 f′(1)=0,且当 x>1 时,f′(x)>0;在 x=1 附近的左侧,f′(x)<0, 所以 f(1)是极小值. [答案] C 4. 已知函数 f(x)的定义域是[-1,5], 部分对应值如下表. f(x)的导函数 y=f′(x) 的图象如图 11 所示. x f(x) -1 1 0 2 4 2 5 1 当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),则 f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx

图 11 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)在[0,2]上是减函数;②如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值是 4;③当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点.其中真命 题的个数是( ) D.1

A.0 B.3 C.2 [解析]

y=f′(x)在[0,2]上为负,故函数 y=f(x)在[0,2]上是减函数,①正确;

当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,t 的最大值是 5,②错误;当 1<a<2 时,函 数 y=f(x)-a 可能有 2 个,3 个或 4 个零点,故③错误,选 D. [答案] D

5. 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足: f(4)=-3, 且对任意实数 x, 总有 f′(x)<3,

则不等式 f(x)<3x-15 的解集为( A.(-∞,4) B.(-∞,-4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(4,+∞) [解析]

)

g(x)=f(x)-(3x-15)=f(x)-3x+15,

则所求的不等式解集可理解为使 g(x)<0 的解集. g(x)的导函数为 g′(x)=f′(x)-3,根据题意可知 g′(x)=f′(x)-3<0 对任意实数 x 恒成立, 所以 g(x)在 R 上单调递减. 则 g(4)=f(4)-12+15=0,令 g(x)<0, 则 g(x)<g(4)根据单调递减可知,x>4. [答案] D

二、填空题 6.(2015· 扬州模拟)已知函数 f(x)=(ax2+x)-xln x 在[1,+∞)上单调递增, 则实数 a 的取值范围是________. [解析] 由题意知:f′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0,

ln x 即 a≥ 2x ,x∈[1,+∞)恒成立; ln x 设 g(x)= 2x , 令 g′(x)= 1-ln x 2x =0,解得 x=e,x∈[e,+∞)时,g(x)为减函数;x∈[1,

1 1 e)时,g(x)为增函数,故 g(x)的最大值为 g(e)=2e,即 a≥2e. [答案] 1 a≥2e

7. (2015· 长春模拟)若函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值, 则常数 c 的值 为________. [解析] 因为 x=2 是 f(x)的极大值点,

所以 f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x, 所以 f′(x)=3x2-4cx+c2,

所以 f′(2)=3×4-8c+c2=0, 解得 c=2 或 c=6, 当 c=2 时,不能取极大值, 所以 c=6. [答案] 6

8.(2015· 南京模拟)抛物线 y=x2 上的点到直线:x-y-2=0 的最短距离为 ________. [解析] y′=2x, 根据题意可知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切

2 线对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐标为(x0,x0 ),则 y′|x

1 ?1 1? =x0=2x0=1,所以 x0=2,所以切点坐标为?2,4?,切点到直线 x-y-2=0 的 ? ? ?1 1 ? ?2-4-2? ? ? 7 2 距离 d= = 8 ,所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 2 7 2 8 . [答案] 7 2 8

三、解答题 x a 3 9. (2014· 重庆高考)已知函数 f(x)=4+ x-ln x-2, 其中 a∈R, 且曲线 y=f(x) 1 在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. [解] 1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=4-x2-x ,

1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x 知 3 5 f′(1)=-4-a=-2,解得 a=4. x 5 3 (2)由(1)知 f(x)=4+4x-ln x-2, x2-4x-5 则 f′(x)= 4x2 .

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. x-1 10.(2015· 哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=1- ex ,g(x)=x-ln x. (1)证明:g(x)≥1; 1 (2)证明:(x-ln x)f(x)>1-e2. [证明] x-1 (1)由题意知,g′(x)= x ,

当 0<x<1 时,g′(x)<0; 当 x>1 时,g′(x)>0, 即 g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数. ∴g(x)≥g(1)=1,得证. x-1 x-2 (2)由 f(x)=1- ex ,f′(x)= ex , ∴当 0<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 即 f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数. 1 ∴f(x)≥f(2)=1-e2, 又由(1)x-ln x≥1, 1 ∴(x-ln x)f(x)>1-e2. [B 级 能力提升练]

1.设函数 f(x)=x3-4x+a(0<a<2)有三个零点 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则下 列结论正确的是( A.x1>-1 C.x3>2 ) B.x2<0 D.0<x2<1

[解析]

∵函数 f(x)=x3-4x+a(0<a<2),

2 3 ∴f′(x)=3x2-4,令 f′(x)=0,得 x=± 3 . 2 3 ∵当 x<- 3 时,f′(x)>0; 2 3 2 3 2 3 当- 3 <x< 3 时,f′(x)<0;当 x> 3 时,f′(x)>0. ? ? 2 3 2 3? 2 3? ? 上是增函数,在 ?- ? 上是减函数,在 故 函数在 ?-∞,- 3 ? 3 , 3 ? ? ? ?2 3 ? ? 2 3? ?2 3? ? ?上是增函数.故 f?- ?是极大值,f? ?是极小值,再由函数 f(x) ,+ ∞ 3 ? ? 3 ? ? ? 3 ? 2 3 2 3 2 3 2 3 的三个零点 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3 得,x1<- 3 ,- 3 <x2< 3 ,x3> 3 . 根据 f(0)=a>0,且 f(1)=1-4+a=a-3<0,得 0<x2<1,选 D. [答案] D

1 a 2.(2015· 厦门模拟)若函数 f(x)=3|x3|-2x2+(3-a)|x|+b 有六个不同的单调 区间,则实数 a 的取值范围是________. [解析] 1 a 因为函数 f(x)=3|x3|-2x2+(3-a)|x|+b,所以 f(-x)=f(x),

所以 f(x)是偶函数, 因为 f(x)有六个不同的单调区间, 又因为函数为偶函数, 所以当 x>0 时,有三个单调区间, 即 f′(x)=x2-ax+3-a=0 有两个不同的正根, a ? ?2>0, 所以?3-a>0, ? ?a2+4a-12>0, 解得 2<a<3. [答案] (2,3)

3.(2015· 贵阳模拟)已知函数 f(x)=x3-3x2+3. (1)求过点(3,3)与曲线 f(x)相切的直线方程;

3 13 (2)若函数 g(x)=f(x)+2kx2-6kx- 2 (k>0)有且只有一个零点,求实数 k 的取 值范围. [解] (1)因为点 M(3,3)在曲线 y=f(x)上,

①当 M(3,3)为切点时,由 k=f′(3)=9 得切线方程为 9x-y-24=0; ②当 M(3,3)不为切点时,设切点为 N(x0,f(x0)),
2 x3 0-3x0+3-3 2 则 kMN=f′(x0)? =3x0 -6x0?x0=0,即 N(0,3),此时,切线 x0-3

方程为 y=3. 3 13 7 ?3 ? (2)∵g(x)=f(x)+2kx2-6kx- 2 =x3+?2k-3?x2-6kx-2有且只有一个零点, ? ? 即 g(x)的图象与 x 轴只有一个交点,由 g(x)的图象及 g(x)∈(-∞,+∞)知,g(x) 在(-∞,+∞)上单调或 g(x)的极小值大于零或 g(x)的极大值小于零. ①当 g(x)在(-∞,+∞)上单调时, 由 g′(x)=3x2+3(k-2)x-6k=3(x-2)(x+k),知 k=-2,这与已知 k>0 矛 盾, ②当 g(x)的极小值大于零或 g(x)的极大值小于零时, 由 g′(x)=0?x=2 或 x=-k, 而 x∈(-∞,-k)和 x∈(2,+∞)时,g′(x)>0;x∈(-k,2)时,g′(x)<0, 15 所以 g(x)极小值=g(2)=-6k- 2 , 1 7 1 g(x)极大值=g(-k)=2k3+3k2-2=2(k3+6k2-7), 5 由 g(x)极小值>0?k<-4,这与已知 k>0 矛盾, 由 g(x)极大值<0?k3+6k2-7<0?(k-1)(k2+7k+7)<0?0<k<1. 综上所述,k∈(0,1).


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