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2012-2013学年四川省成都市高二(下)期末数学试卷(理科)


2012-2013 学年四川省成都市高二(下)期末 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)设集合 A={l,2},B={2,4) ,则 A∪ B=( ) A.{1} B.{4} C.{l,4} D.{1,2,4} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起,构成集合 A∪ B,由此利用集合 A={1,2},集 合 B={2,4},能求出集合 A∪ B. 解答: 解:∵ 集合 A={1,2},集合 B={2,4}, ∴ 集合 A∪ B={1,2,4}. 故选 D. 点评: 本题考查集合的并集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2. (5 分)已知向量 =(λ+1,2) , =(1,﹣2) .若 与 共线,则实数 λ 的值为( A.3 B .2 C.﹣2 D.﹣3



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量共线的性质,可得(λ+1) (﹣2)﹣2×1=0,解方程求得 λ 的值. 解答: 解:∵ 已知向量 =(λ+1,2) , =(1,﹣2) ,且 与 共线,∴ (λ+1) (﹣2)﹣2×1=0, 解得 λ=﹣2, 故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.

3. (5 分)若 tanα=3,则 A. B .1

的值为(

) C.﹣l D.﹣3

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把所求的式子分子分母同时除以 cosα,根据同角三角函数间的基本关系化为关于 tanα 的关系式,把 tanα 的值代入可求出值. 解答: 解:由 tanα=3,



=

=

=

=

故选:A. 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系的运用,给所求式子的分子分母同时除以 cosα,然后利用 tanα= 把所求的式子化为关于 tanα 的关系式是解本题的关键.
2

4. (5 分)命题“?x∈R,x ﹣x+l<0”的否定是( ) 2 2 A.?x∈R,x ﹣x+1≥0 B.?x∈R,x ﹣x+1>0 C.?x∈R,x2﹣x+l≥0 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题, 2 2 所以命题“?x∈R,x ﹣x+l<0”的否定是“?x∈R,x ﹣x+1≥0”. 故选 A. 点评: 本题考查特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.

D.?x∈R,x2﹣x+l>0

5. (5 分)如图是一个几何体的三视图(单位:cm) ,则这个几何体的表面积是(



A.(4+2

)cm

2

B.(6+2

)cm

2

C.( 6+

)cm

2

D.(7+

) cm

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 三视图复原几何体是底面为放倒的直角梯形的直棱柱,依据三视图的数据,求出表面积. 解答: 解:图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱.直角梯形的上底为 1,下底为 2,高为 1; 棱柱的高为 1.可求得直角梯形的四条边的长度为 1,1,2, . 所以此几何体的表面积 S 表面=2S 底+S 侧面= (1+2)×1×2+(1+1+2+ )×1=7+ (cm ) .
2

故选 D. 点评: 本题考查由三视图求面积、体积,考查计算能力,空间想象能力,是基础题. 6. (5 分)已知直线 m,n 和平面 α,β,使 m⊥ α 成立的一个充分条件是( A.m⊥ n,n∥ α B.m∥ β,β⊥ α C.m∥ n,n⊥ α 考点: 充分条件. 专题: 阅读型. 分析: 由 n∥ n,n⊥ α,可推出 m⊥ α,故“n∥ n,n⊥ α”是“m⊥ α”的一个充分条件. ) D.m⊥ n,n?α

解答: 解:∵ 已知直线 m,n 和平面 α,β,故由 n∥ n,n⊥ α,可得 m⊥ α,故“n∥ n,n⊥ α”是“m⊥ α”的一个充分条 件, 故选 C. 点评: 本题主要考查充分条件的定义,属于基础题.

7. (5 分)已知函数 数 g(x)=a ﹣b 图象可能为( A. B.
x

的图象与 x 轴的交点分别为(a,0)和(b,0) ,则函 ) C. D.

考点: 指数函数的图像变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 a,b 的值,函数 g(x)=ax﹣b 的可能图象可以看成吧 y=ax 向下平移 b 个单位得到的, 画出函数的简图,结合所给的选项可得结论. 解答: 解:∵ 函数 的图象与 x 轴的交点分别为(a,0)和(b,0) , 则 a=2,b= ,或 a= ,b=2. ① 当 a=2,b= 时,函数 g(x)=a ﹣b 即函数 g(x)=2 ﹣ ,其大致图象是:
x x

② 当 a= ,b=2 时,函数 g(x)=a ﹣b 即函数 g(x)=

x

x

﹣2,其大致图象是:

故选 C. 点评: 本题主要考查函数的图象的变换规律,函数的单调性和特殊点,属于基础题.

8. (5 分)已知 A.z<y<x B.z<x<y

,则下列关系正确的是( C.x<y<z



D.y<z<x

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 利用对数函数的性质,化简 x,推出 x 的范围,然后推出 y 与 z 的范围并比较大小,从而可得答案. 解答: 解:∵ ; y=log53<1, z= = , > ,即 y>z,

因为 log53>log5

∴ z<y<x. 故选 A. 点评: 本题考查对数函数的单调性的应用,对数值大小的比较,着重考查对数函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分)某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为 3 万元,每件乙产品的利润为 2 万元, 且甲、乙两种产品都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台设备 A、每台设备 B 上加工 1 件甲产品所需工 时分别为 1h 和 2h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2h 和 1h,A 设备每天使用时间不超过 4h,B 设备每 天使用时间不起过 5h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是( ) A.18 万元 B.12 万元 C.10 万元 D.8 万元 考点: 简单线性规划的应用. 分析: 设应生产甲、乙两种产品各 x,y 件,企业获得的利润为 z.由已知中的条件,我们构造出满足条件 的约束条件和目标函数,然后根据线性规划的角点法求解,即可得到答案. 解答: 解:设应生产甲、乙两种产品各 x,y 件,企业获得的利润为 z,

则则 x、y 满足的约束条件

且 z=3x+2y,

画出可行域,如图,可知最优解为(2,1) , 即应生产 A 产品 2 件,B 产品 1 件, 可使企业获得最大利润,最大利润为 8 万元. 故选 D.

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中将题目中的实际问题转化为约束条件和目标函数, 构造线性规划数学模型是解答本题的关键. 10. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 g(x)满足:当 x≠0 时,xg′ (x)<0(其中 g′ (x)为函数 g(x) 的导函数) ;定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:f(x+2)=﹣f(x) ,在区间[0,1]上为单调递增函数,且函 2 数 y=f(x)在 x=﹣5 处的切线方程为 y=﹣6.若关于 x 的不等式 g[f(x)]≥g(a ﹣a+4)对 x∈[6,10]恒成 立,则 a 的取值范围是( ) A.﹣2≤a≤3 B.a≤﹣1 或 a≥2 C.﹣1≤a≤2 D.a≤﹣2 或 a≥3 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;奇偶性与单调性的综合;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题. 2 分析: 根据“xg′ (x)<0”和导数与函数单调性的关系,判断出函数 g(x)的单调性,再将“g[f(x)]≥g(a ﹣a+4)对 x∈[6,10]恒成立”,转化为“|f(x)|≤|a ﹣a+4|对 x∈[6,10]恒成立”,再由条件求出函数 f (x)的周期、对称轴以及 f(﹣5)的值,再得 f(﹣1) 、f(1) 、f(3)的值,再由这些性质画出大 致图象,右图象求出函数 f(x)在[6,10]上的值域,从而求出最大值,列出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵ 当 x≠0 时,xg′ (x)<0,∴ 当 x>0 时,g′ (x)<0,当 x<0 时,g′ (x)>0, 即 g(x)在(﹣∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减, 2 ∵ 不等式 g[f(x)]≥g(a ﹣a+4)对 x∈[6,10]恒成立, 2 ∴ |f(x)|≤|a ﹣a+4|对 x∈[6,10]恒成立, 由 f(x+2)=﹣f(x)得,f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) ,则函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 又∵ f(x)是 R 上的奇函数,∴ f(x+2)=﹣f(x)=f(﹣x) ,则函数 f(x)的对称轴是 x=1, ∵ 在 x=﹣5 处的切线方程为 y=﹣6,∴ f(﹣5)=﹣6,即 f(﹣1)=f(3)=﹣6,f(1)=6, 再结合 f(x)在区间[0,1]上为单调递增函数,且 f(0)=0,画出大致图象:
2

由上图得,当 x∈[6,10]时,f(x)∈[﹣6,6], 2 2 由|f(x)|≤|a ﹣a+4|对 x∈[6,10]恒成立,得 6≤|a ﹣a+4|, 2 2 2 2 即 a ﹣a+4≥6 或 a ﹣a+4≤﹣6,化简得 a ﹣a﹣2≥0 或 a ﹣a+10≤0, 解得 a≤﹣1 或 a≥2, 故选 B.

点评: 本题是有关函数性质的综合题,考查了导数与函数单调性的关系,函数的奇偶性与单调性关系、对 称性、周期性等,考查了转化思想和数形结合思想,难度以及综合程度都很大. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案填在答题卡上. 11. (5 分)设函数 f(x)=lnx﹣2x+3,则 f(f(1) )= 1 . 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 计算 f(1) ,然后再把 f(1)再入到函数解析式中进行求解即可. 解答: 解:由于函数 f(x)=lnx﹣2x+3, 则 f(1)=ln1﹣2×1+3=1,则 f(f(1) )=f(1)=1. 故答案为 1 点评: 本题主要考查了函数的函数值的求解,属于基础题. 12. (5 分)已知正方体的棱长为 2,则该正方体的外接球的半径为 .

考点: 球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 正方体的体对角线的长,就是球的直径,求出球的直径,即可求出它的半径. 解答: 解:正方体的体对角线,就是正方体的外接球的直径, 所以球的直径为: =2

所以球的半径为: . 故答案为: . 点评: 本题考查正方体的外接球的半径,解题的关键在正方体的体对角线就是它的外接球的直径,考查计 算能力,是基础题.
2 2

13. (5 分)若直线 2ax﹣by+2=0(其中 a、b 为正实数)经过圆 C:x +y 十 2x﹣4y+l=0 的圆心,则 最小值为 9 .



考点: 基本不等式;直线与圆相交的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直线过圆心,先求圆心坐标,利用 1 的代换,以及基本不等式求最小值即可. 2 2 解答: 解:圆 x +y 十 2x﹣4y+l=0 的圆心(﹣1,2)在直线 2ax﹣by+2=0 上, 所以﹣2a﹣2b+2=0,即 1=a+b 代入 得( ) (a+b)=5+ ,

+ ≥9(a>0,b>0 当且仅当 a=2b 时取等号)

故答案为:9. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,基本不等式,是中档题. 14. (5 分) 如图是某算法的程序框图, 若任意输入[ , 19]中的实数 x, 则输出的 x 大于 25 的概率为



考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 利用程序框图可得所有的结果 2(2x﹣1)﹣1>25,解此不等式求出 x 的取值范围,是几何概型中 的长度类型,由“输入[ ,19]中的实数 x“求出构成的区域长度,再求出不等式求出 x 的取值范围构 成的区域长度,再求两长度的比值.由此求得输出的 x 大于 25 的概率. 解答: 解:根据算法的程序框图,若任意输入[ ,19]中的实数 x,则输出的是 2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3, 由 4x﹣3>25,得 x>7. 此数大于 0.5 而小于等于 19, 则构成的区域长度为:19﹣7=12, 在区间[ ,19]上任取一个数 x 构成的区域长度为 19﹣ , 输出的 x 大于 25 的概率为 = ;

故答案为:



点评: 本题主要考查循环结构,概率的建模和解模能力,本题是长度类型,思路是先求得试验的全部构成 的长度和构成事件的区域长度,再求比值.

15. (5 分)对抛物线 C:x =4y,有下列命题: ① 设直线 l:y=kx+l,则直线 l 被抛物线 C 所截得的最短弦长为 4; ② 已知直线 l:y=kx+l 交抛物线 C 于 A,B 两点,则以 AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切; ③ 过点 P(2,t) (t∈R)与抛物线有且只有一个交点的直线有 1 条或 3 条; ④ 若抛物线 C 的焦点为 F,抛物线上一点 Q(2,1)和抛物线内一点 R(2,m) (m>1) ,过点 Q 作抛物线 的切线 l1,直线 l2 过点 Q 且与 l1 垂直,则 l2 一定平分∠ RQF. 其中你认为是真命题的所有命题的序号是 ① ② ④ . 考点: 命题的真假判断与应用;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ① 将直线和抛物线联立,解出弦长.② 利用直线与抛物线的位置关系进行判断.③ 设直线方程,联立抛 物线进行求解判断. ④ 作出切线,利用抛物线的定义,判断 l2 是否平分∠ RQF. 解答: 解:① 因为抛物线的焦点为 F(0,1) ,直线 y=kx+l 过焦点 F,所以当 k=0 时,直线 l 被抛物线 C 所 截得的通径最短,此时为 2p=4,所以① 正确. ② 直线 y=kx+l 过焦点 F,且抛物线的准线方程为 y=﹣1.所以根据抛物线的定义可知,A,B 到抛物 线准线的距离之和为 AB, 所以 AB 的中点到准线的距离为 ,所以此时以 AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切,所以②

2

正确. ③ 当过点 P 的直线的斜率不存在时,此时为 x=2,此时直线和抛物线只有一个交点,此时满足条件的 直线只有 1 条.当过点 P 的直线斜率存在时,不妨设为 k, 此时和抛物线只有一个交点的直线有两条切线,所以过点 P(2,t) (t∈R)与抛物线有且只有一个交 点的直线有 1 条或 2 条,所以③ 错误. ④ 因为抛物线的焦点为 F (0, 1) , 又Q (2, 1) , R (2, m) , 所以三角形 FQR 为直角三角形, 由 x =4y, 得 ,求导得 ,
2

所以切线 l1 的斜率为 k1=1,即直线 l1 的倾斜角为 45°,因为直线 l2 过点 Q 且与 l1 垂直,所以 l2 一定 平分∠ RQF.所以④ 正确. 故答案为:① ② ④ . 点评: 本题考查了抛物线的定义和性质,以及直线和抛物线的位置关系,综合性较强,运算量较大. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. * 16. (12 分)已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且.a2 是 a1、a4 的等比中项,n∈N . (I)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )若数列{an}的前 n 项和为 Sn 记数列 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<1.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )先等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解,再代入等 差数列的通项公式化简即可; (Ⅱ )由(Ⅰ )求出的公差,代入等差数列的前 n 项和公式化简,再求出 和为 Tn 化简,根据式子和 n 的取值范围进行证明即可. 解答: 解: (Ⅰ )设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) , 并且裂项,再代入前 n 项

由题意得
2

,即



∴ (2+d) =2(2+3d) ,解得 d=2,或 d=0(舍) , ∴ an=a1+(n﹣1)d=2n. (Ⅱ )由(Ⅰ )得, , ∴ ∴ =
*

= = ,

, ,

∵ n∈N ,∴ Tn<1. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式,裂项相消法求数列的前 n 项和,数列与不等式结 合等,属于中档题.

17. (12 分)已知向量 =(2cosx,2sinx) , =(cosx, (I)求函数 f(x)的单调递增区间;

cosx) ,设 f(x)=

﹣1.

(Ⅱ )在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 的形状.

,且 acosB=bcosA,试判断△ ABC

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;三角形的形状判断. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (I)由于函数 f(x)= ﹣1=2sin(2x+ ) ,令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈z,求得 x 的范 围,可得函数的增区间. (Ⅱ )在△ ABC 中,由于 ,求得 sin(C+ )=1,C= .再由 acosB=bcosA,利用正弦

定理可得 sin(A﹣B)=0,A﹣B=0,故 A=B=C= 解答: 解: (I)由于函数 f(x)= 令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ﹣1=2cos x+2
2

,由此可得△ ABC 的形状. sin2x=2sin(2x+ ) ,

sinxcosx﹣1=cos2x+ ≤x≤kπ+

,k∈z,求得 kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z. =2sin(C+

,k∈z.

故函数的增区间为[kπ﹣ (Ⅱ )在△ ABC 中,由于

) ,∴ sin(C+

)=1,∴ C=



再由 acosB=bcosA,利用正弦定理可得 ainAcosB=sinBcosA,∴ sin(A﹣B)=0. 再由﹣π<A﹣B<π,可得 A﹣B=0,故 A=B=C= ,

故△ ABC 为等边三角形. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式、三角函数的恒等变换,正弦函数的单调性、正弦定理的应用, 属于中档题.

18. (12 分)某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零 件数的统计数据的茎叶图如图所示. (I)已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为 10,分别求出 m,n 的值; (Ⅱ )分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差 和 ,并由此分析两组技工的

加工水平; (Ⅲ )质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,若两人加工 的合格零件数之和大于 17,则称该车间“待整改”,求该车间“待整改”的概率. (注:方差, ,其中 为数据 x1,x2,…,xn 的平均数)

考点: 古典概型及其概率计算公式;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 题干错误:若两人加工的合格零件数之和大于 17,则称该车间“待整改”, 应该是:若两人加工的合格零件数之和不超过 17,则称该车间“待整改”, 解答: 解: (I)由题意可得 = (7+8+10+12+10+m)=10,解得 m=3. 再由 = (n+9+10+11+12)=10,解得 n=8. = [(7﹣10) +(8﹣
2

(Ⅱ )分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差, 10) +(10﹣10) +(12﹣10) +(13﹣10) ]=5.2,
2 2 2 2

= [(8﹣10) +(9﹣10) +(10﹣10) +(11﹣10) +(12﹣10) ]=2, 并由 = , < ,可得两组的整体水平相当,乙组的发挥更稳定一些.

2

2

2

2

2

(Ⅲ )质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,设两人 加工的合格零件数分别为(a,b) , 则所有的(a,b)有 (7,8) 、 (7,9) 、 (7,10) 、 (7,11) 、 (7,12) 、 (8,8) 、 (8,9) 、 (8,10) 、 (8,11) 、 (8,12) 、 (10,8) 、 (10,9) 、 (10,10) 、 (10,11) 、 (10,12) 、 (12,8) 、 (12,9) 、 (12,10) 、 (12,11) 、 (12,12) 、 (13,8) 、 (13,9) 、 (13,10) 、 (13,11) 、 (13,12) ,共计 25 个, 而满足 a+b≤17 时,该车间“待整改”,含有(7,8) 、 (7,9) 、 (7,10) 、 (8,8) 、 (8,9)这 5 个基 本事件, 故该车间“待整改”的概率为 = .

点评: 本题主要考查方差的定义和求法,古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事 件,列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于中档题.

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD, 且 PA=PD= ,E、F 分别为 PC、BD 的中点. (I)求证:EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ )若 G 为线段 AB 的中点,求二面角 C﹣PD﹣G 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)连接 AC,利用三角形中位线的性质,证明 EF∥ PA,利用线面平行的判定,可得 EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ )取 AD 的中点 O,连结 OP,OF,以 O 为原点,直线 OA,OF,OP 分别为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系,求出平面 PDC 的一个法向量、平面 PGD 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即 可得到结论. 解答: (I)证明:连接 AC,则 F 是 AC 的中点, 在△ CPA 中,∵ E 为 PC 的中点, ∴ EF∥ PA, ∵ PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴ EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ )解:取 AD 的中点 O,连结 OP,OF. ∵ PA=PD,∴ PO⊥ AD. ∵ 侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,面 PAD∩ 面 ABCD=AD, ∴ PO⊥ 面 ABCD, 而 O,F 分别为 AD,BD 的中点,∴ OF∥ AB, 又 ABCD 是正方形,故 OF⊥ AD. ∵ PA=PD= ,AD=2,∴ PA⊥ PD,OP=OA=1 以 O 为原点,直线 OA,OF,OP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则有 A(1,0,0) ,G(1,1,0) ,D(﹣1,0,0) ,P(0,0,1) , ∵ 侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,AD⊥ DC, ∴ CD⊥ 平面 PAD, ∴ CD⊥ PA ∵ PD∩ DC=D,且 CD、PD?面 PDC ∴ PA⊥ 平面 PCD ∴ 平面 PDC 的一个法向量为 =(1,0,﹣1)

设平面 PGD 的一个法向量为 =(x,y,z) ∵

∴ 由

可得

∴ 可取

∴ cos<

>=

=

=

∴ 二面角 C﹣PD﹣G 的余弦值为



点评: 本题考查直线与平面平行的判定,考查二面角的平面角及求法,考查逻辑推理能力,属于中档题. 20. (13 分)记平面内与两定点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0)连线的斜率之积等于常数 m(其中 m<0)的动 点 B 的轨迹,加上 A1,A2 两点所构成的曲线为 C (I)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 的值的关系; (Ⅱ )当 m= 时,过点 F(1,0)且斜率为 k(k#0)的直线 l1 交曲线 C 于 M.N 两点,若弦 MN 的中

点为 P,过点 P 作直线 l2 交 x 轴于点 Q,且满足

?

.试求

的取值范围.

考点: 圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: (Ⅰ )设动点 M(x,y) ,由条件可得 mx ﹣y =4m(x≠±2) ,对 m 分 m<﹣1,m=﹣1,﹣1<m<0 三种情况讨论即可; (Ⅱ )设出直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆方程,利用韦达定理,确定|MN|、|PQ|,即可求得 结论. 解答: 解: (I)设动点 B(x,y) . 当 x≠±2 时,由条件可得
2 2

?

=

?

=

=m

即 mx ﹣y =4m(x≠±2) . 2 2 又 A1(﹣2,0) 、A2(2,0)的坐标满足 mx ﹣y =4m. 当 m<﹣1 时,曲线 C 的方程为
2

+
2

=1,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆;

当 m=﹣1 时,曲线 C 的方程为 x +y =4,曲线 C 是圆心在原点上的圆; 当﹣1<m<0 时,曲线 C 的方程为 + =1,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆;

(Ⅱ )由(I)知,曲线 C 的方程为

+

=1.

依题意,直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) . 2 2 2 2 代入椭圆方程可得: (3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则

由韦达定理得:x1+x2=﹣

,x1x2=

∴ 弦 MN 的中点为 P(





∴ |MN|=

=

直线 l2 的方程为

由 y=0,可得 x=

,则 Q(

,0) ,

∴ |PQ|=



=

∵ k +1>1,∴ 0<

2

<1





的取值范围为(0, ) .

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查圆锥曲线的轨迹问题,突出化归思想、分类讨论思 想、方程思想的考查,综合性强. 21. (14 分)已知函数 f(x)=[ax ﹣(a+1)x+1]e ,a∈R. (Ⅰ )若 a=1,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ )若函数 f(x)在区间[0,1]上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ )在(Ⅰ )的条件下,是否存在区间[m,n](m>1)使函数 f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n]?若存 在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )当 a=1 时,代入解析式求出 f′ (x) ,令 f′ (x)=0 求出临界点,列表讨论 f(x)的增区间和减 区间,以及函数的极值问题,代入解析式求解; (Ⅱ )由求导公式和法则求出 f′ (x) ,将条件转化为:f′ (x)≤0 在[0,1]上恒成立,再构造函数 g 2 (x)=ax +(a﹣1)x﹣a,再对 a 分三类结合二次函数的性质讨论:g(x)≤0 在[0,1]上恒成立, 利用 g(x)图象上的特殊点(0,﹣a)进行判断,再把符合条件的 a 的范围并在一起; (Ⅱ )由(Ⅰ )
2 x

得 f'(x)=(x ﹣1)e ,假设当 x>1 时,f(x)存在[m,n](n>m>1)满足条件,进而问题转化 2 x 2 x 为“(x﹣1) e ﹣x=0 有两个大于 1 的不等实根”,构造新函数 h(x)=(x﹣1) e ﹣x(x≥1) ,求出 他的导数后,再二次求导判断 h(x)的单调性,根据特殊函数值,判断出 h(x)的图象与 x 轴有且 只有一个交点,即方程(x﹣1) e ﹣x=0 有且只有一个大于 1 的根,与假设矛盾,故可得证. 2 x 解答: 解: (Ⅰ )当 a=1 时,f(x)=(x ﹣2x+1)e , x 2 x ∴ f′ (x)=(2x﹣2)e +(x ﹣2x+1)e 2 x =(x ﹣1)e , 令 f′ (x)=0,得 x1=﹣1,x2=1, 列表讨论如下: x 1 (﹣∞,﹣1)﹣1 (﹣1,1) (1,+∞) + 0 0 + f′ (x) ﹣ ↑ ↓ ↑ f(x) 极大值 极小值 ∴ f(x)的极大值是 f(﹣1)= ;极小值是 f(1)=0. (Ⅱ )由题意得,f′ (x)=(2ax﹣a﹣1)e +[ax
x x 2 2 x

2

x

﹣(a+1)x+1)e 2 x =[ax +(a﹣1)x﹣a]e ,由 f(x)在区间[0,1]上单调递减得,f′ (x)≤0 在[0,1]上恒成立, 2 2 即 ax +(a﹣1)x﹣a≤0 在[0,1]上恒成立,令 g(x)=ax +(a﹣1)x﹣a,x∈[0,1],① 当 a=0 时,g 2 (x)=﹣x≤0 在[0,1]上恒成立;② 当 a>0 时,g(x)=ax +(a﹣1)x﹣a 过点(0,﹣a) ,即 g(0) =﹣a<0,只需 g(1)=a+a﹣1﹣a=a﹣1≤0,就满足条件;解得 a≤1,则此时 0<a≤1,③ 当 a<0 时, 2 同理有 g(0)=﹣a>0,∴ ax +(a﹣1)x﹣a≤0 在[0,1]上不可能恒成立,综上得,所求的 a 的取值 2 x 范围是[0,1]. (Ⅱ )由(Ⅰ )得 f'(x)=(x ﹣1)e , 假设当 x>1 时存在[m,n]使函数 f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n],且(n>m>1) 2 x ∵ 当 x>1 时,f'(x)=(x ﹣1)e >0, ∴ f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,∴
2 x

,即



则问题转化为(x﹣1) e ﹣x=0 有两个大于 1 的不等实根. 2 x 2 x 设函数 h(x)=(x﹣1) e ﹣x(x>1) ,h′ (x)=(x ﹣1)e ﹣1, 2 x 2 x 令 φ(x)=(x ﹣1)e ﹣1,∴ φ′ (x)=(x +2x﹣1)e , 当 x>1 时,φ′ (x)>0, ∴ φ(x)在(1,+∞)上是增函数,即 h′ (x)在(1,+∞)上是增函数 2 ∴ h′ (1)=﹣1<0,h′ (2)=3e ﹣1>0 ∴ 存在唯一 x0∈(1,2) ,使得 h′ (x0)=0, 当 x 变化时,h′ (x) ,h(x)的变化情况如下表: x h′ (x) h(x) (1,x0) ﹣ 单调递减 x0 0 极小值 (x0,+∞) + 单调递增

∴ h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. ∴ h(x0)<h(1)=﹣1<0 2 ∵ h(2)=e ﹣2>0 ∴ 当 x>1 时,h(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点, 2 x 即方程(x﹣1) e ﹣x=0 有且只有一个大于 1 的根,与假设矛盾, 故当 x>1 时,f(x)不存在[m,n]使函数 f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n]. 点评: 本题主要考查了导数的应用:利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求最值等,当导数中含 有参数时需要分类讨论,考查运算求解能力和推理论证能力;考查化归与转化思想和分类讨论的思

想,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.


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