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辽宁省丹东市五校协作体2015届高三上学期期末数学试卷(文科)


辽宁省丹东市五校协作体 2015 届高三上学期期末数学试卷(文 科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,2,3},B={3,4,5},则(?UA) ∩B=() A.{3} B.{4,5} C.{4,5,6} D.{0,1,2} 2. (5 分)已知条件 p:x>1,q: A.充分不必要条件 C. 充要条件 3. (5 分)已知 A. B. ,且 C. ,则 p 是 q 的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,则 tanα=() D.

4. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

5. (5 分)某几何体三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体体 积为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 7. (5 分)设函数 象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的一个单调递减区间是() A. B. C. D. ,且其图

8. (5 分)平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面 上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是() A. B. C. D.

9. (5 分)若曲线 y= a=() A.﹣2 B.

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数

C. 1

D.2

10. (5 分)抛物线 y =2px 与双曲线 轴,则双曲线的离心率为() A. B.

2

有相同焦点 F,点 A 是两曲线交点,且 AF⊥x

C.

D.

11. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣ 7)= A. ,则实数 a 的取值范围为() B.(﹣2,1) C. D.

12. (5 分)已知四面体 P﹣ABC 中,PA=4,AC=2 面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比() A. B. C.

,PB=BC=2

,PA⊥平面 PBC,则四

D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知复数 z= , 是 z 的共轭复数,则 z? =.

14. (5 分)已知 M(x,y)为由不等式组

,所确定的平面区域上的动点,若点

,则

的最大值为.

15. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,则 ? =.

16. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 且 ,则△ ABC 的面积是.



三、解答题: (共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)已知数列{an}满足 an≠0,a1= ,an﹣1﹣an=2an?an﹣1(n≥2,n∈N ) . (1)求证: 是等差数列;
*

(2)设 bn=an?an+1,{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn< .

18. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB⊥侧面 BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2, .

(1)求证:C1B⊥平面 ABC; (2)求点 B1 到平面 ACC1A1 的距离. 19. (12 分)某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的 55 名学生,得到数据如下表: 喜欢统计课程 不喜欢统计课程 男生 20 5 女生 10 20 (1)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关? (2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取 6 名学生作进一步调查,将这 6 名学生 作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 个男生和 1 个女生的概率. P(K ≥k) 0.10 k 2.706 临界值参考: (参考公式:
2

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

,其中 n=a+b+c+d)

20. (12 分)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求实数 m 的取值范围. 21. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M, N, 问: 是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-1: 几何证明选讲 22. (10 分) (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切 线交直线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

选修 4-4:极坐标与参数方程 23.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2sinθ. (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M1、M2 的极坐标分别为 和(2,0) ,直线 M1M2 与曲线 C2 相交于 P, 的

Q 两点, 射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A, 射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B, 求 值.

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式 f(x)≥4﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为{x|0≤x≤2}, + =a(m>0,n>0) .求证:m+2n≥4.

辽宁省丹东市五校协作体 2015 届高三上学期期末数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,2,3},B={3,4,5},则(?UA) ∩B=() A.{3} B.{4,5} C.{4,5,6} D.{0,1,2}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A 的补集,再求出交集即可 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,2,3},B={3,4,5}, ∴(?UA)={4,5,6}, ∴(?UA)∩B={4,5} 点评: 本题考查了集合的交,补运算,属于基础题

2. (5 分)已知条件 p:x>1,q: A.充分不必要条件 C. 充要条件

,则 p 是 q 的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 解答: 解:由 x>1,推出 <1,p 是 q 的充分条件, 由 <1,得 <0,解得:x<0 或 x>1.不是必要条件,

故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了不等式的解法,是一道基础题.

3. (5 分)已知 A. B.

,且 C.

,则 tanα=() D.

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 分析: 通过诱导公式求出 sinα 的值,进而求出 cosα 的值,最后求 tanα. 解答: 解:∵cos( ∴sinα=﹣ ; 又 ∴cosα=﹣ ∴tanα= = =﹣ +α)= ;

故答案选 B 点评: 本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用.属基础题.

4. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S 的值,当 S=2059,k=4 时,不满足 条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=0 S=0 满足条件 S<100,S=1,k=1 满足条件 S<100,S=3,k=2 满足条件 S<100,S=11,k=3 满足条件 S<100,S=2059,k=4 不满足条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4. 故选:B. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,属于基础题. 5. (5 分)某几何体三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体体 积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用三视图判断组合体的形状,利用三视图的数据求解组合体的体积即可. 解答: 解:由三视图可知组合体是下部是半径为 1 的球体,上部是底面直径为 2,母线长为 2 的圆锥, 该几何体体积为两个几何体的体积的和,即: 故选:D. 点评: 本题考查三视图求解组合体的体积,判断组合体的形状是解题的关键. 6. (5 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最后 5 根据等比数列的性质求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质. = .

7. (5 分)设函数 象关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的一个单调递减区间是() A. B. C. D.

,且其图

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式,由题意和正弦函数的对称轴 求出 θ 的值,代入解析式利用诱导公式化简,再由余弦函数的单调区间求出 f(x)的单调增 区间,结合答案项进行判断即可. 解答: 解:由题意得, f(x)=2[ sin( )﹣ cos( =kπ+ )]=2sin( ,k∈Z, 满足题意, ﹣ )=﹣2cos , ﹣ ) ,

∵图象关于 y 轴对称,∴θ﹣ 又∵|θ|<

,∴当 k=﹣1 时,θ= ﹣ ﹣

∴f(x)=2sin(

)=2sin(

由 2kπ﹣π≤

≤2kπ 可得 4kπ﹣2π≤x≤4kπ,

∴函数 f(x)的单调递增区间为[4kπ﹣2π,4kπ],k∈Z, 当 k=0 时,函数 f(x)的一个单调递增区间为[﹣2π,0], 当 k=1 时,函数 f(x)的一个单调递增区间为[2π,4π], 所以 A、B、D 不正确;C 正确, 故选:C. 点评: 本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式,诱导公式,以及正弦、余弦函数的性质, 属于中档题. 8. (5 分)平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面 上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 欲求硬币不与任何一条平行线相碰的概率,利用几何概型解决,由硬币中心 O 向靠 得最近的平行线引垂线 OM,只须求出线段 OM 长度,最后利用它们的长度比求得即可. 解答: 解:为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M; 线段 OM 长度的取值范围就是[0,a], 只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰, 所以所求事件 A 的概率就是 P=(a﹣r)÷(a﹣0)= 故选 A.

点评: 本题考查古典概型,考查几何概型,几何概型和古典概型是高中必修中学习的,2015 届高考时常以选择和填空出现,有时文科会考这种类型的解答题.

9. (5 分)若曲线 y= a=() A.﹣2 B.

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数

C. 1

D.2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用.

分析: 求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率,利用向量相等,有公共点解方程即可 求出 a 的值. 解答: 解:曲线 y= 的导数为:y′= ,在 P(s,t)处的斜率为:k= .

曲线 y=alnx 的导数为:y′= ,在 P(s,t)处的斜率为:k= . 曲线 y= 可得 与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线, ,并且 t= ,t=alns,



,解得 lns= ,解得 s =e.

2

可得 a=1. 故选:C. 点评: 本题考查函数的导数,导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法,考查计算 能力.

10. (5 分)抛物线 y =2px 与双曲线 轴,则双曲线的离心率为() A. B.

2

有相同焦点 F,点 A 是两曲线交点,且 AF⊥x

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点,和 AF 的长,设双曲线的左焦点为 F',则 AF'=2a+p,再由勾股 定理,可得 2a,由离心率公式计算即可得到. 解答: 解:抛物线 y =2px 的焦点为( ,0) , 由于 AF⊥x 轴,则 AF=p, 由题意可得,双曲线的 2c=p, 设双曲线的左焦点为 F',则 AF'=2a+p, 由于△ AF'F 为等腰直角三角形, 则 AF'= p=2a+p,则 2a=( ﹣1)p, 则双曲线的离心率为 e= =
2

= +1. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质,考查离心率的求法,考查运算能力, 属于基础题.

11. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣ 7)= A. ,则实数 a 的取值范围为() B.(﹣2,1) C. D.

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) ,求出函数的周期,由 此能求出实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) ,函数的周期为 4,则 f(﹣7)=f(8﹣7)=f(1)=﹣f(﹣1) , 又 f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)= ∴﹣ 解得 a∈ >﹣2,即 =﹣f(﹣1) , ,即 ,

故选:D. 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 12. (5 分)已知四面体 P﹣ABC 中,PA=4,AC=2 面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比() A. B. C. ,PB=BC=2 ,PA⊥平面 PBC,则四

D.

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 确定△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形,分别求出四面体 P﹣ABC 的内切 球半径与外接球半径,即可得出结论. 解答: 解:由题意,已知 PA⊥面 PBC,PA=4,PB=BC=2 ,AC=2 , 所以,由勾股定理得到:AB=2 ,PC=2 , 所以,△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形, 等边三角形 PBC 所在的小圆的直径 PD= 那么,四面体 P﹣ABC 的外接球直径 2R= VP﹣ABC= S△ PBC?PA= ? 表面积 S= ?2 ?4?2+ ?12?4=4 ?12+ ?2 = ?16 , ?5=16 , =4, =4 ,所以,R=2 ,

设内切球半径为 r,那么 4

r,所以 r= ,

所以四面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比 故选:A.

=



点评: 本题考查四面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知复数 z= , 是 z 的共轭复数,则 z? = .

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 化简可得复数 z,进而可得其共轭复数 ,然后再计算即可. 解答: 解:化简得 z= =

=

=

=

=

= 所以 z? =( 故答案为:

,故 = ) (

, )= =

点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,化简复数 z 是解决问题的关键,属基础题.

14. (5 分)已知 M(x,y)为由不等式组

,所确定的平面区域上的动点,若点

,则

的最大值为 4.

考点: 平面向量数量积的运算;简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,化向量数量积为线性目标函数,数形结合得到最优解,求 出最优解的坐标,代入目标函数得答案 解答: 解:由约束条件作出可行域如图,

得出 A( 则

,1) ,若 M(x,y) , = +y,化为 y=﹣ +z,

由图可知,当直线 y=﹣ +z 过 B( ,2)时, z 有最大值为: . 故答案为:4. 点评: 本题考查了简单的线性规划,体现数形结合的解题思想方法,还融合了平面向量的 数量积的简单计算. 15. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,则 ? =﹣ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 先根据两个向量的数量积的定义,求出 ( ﹣ )= ﹣ ? ? ﹣ 的值,利用, ? =( + )?

进行运算求值.

解答: 解:由题意得 , ? =( + )?(

=2×1×cos60°=1, ﹣ )= ﹣ ? ﹣ =1﹣ ﹣2=﹣ ,

故答案为:﹣ .

点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,数量积公式的应用. 16. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 且 ,则△ ABC 的面积是 .



考点: 余弦定理的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知条件,然后通过余弦定理求出角 A 的大小,然后通过数量积 化简求出三角形的面积. 解答: 解:在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 所以 ,化简可得:b =a +bc﹣c ,可得 cosA= ,A=
2 2 2






2 2

,abcosC=﹣5,即 ab×
2 2 2

=﹣5,

25+a ﹣c =﹣10,又 b =a +bc﹣c , 25=bc﹣35, bc=60. S= = =15 .

故答案为: 点评: 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查分析问题解决 问题的能力. 三、解答题: (共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)已知数列{an}满足 an≠0,a1= ,an﹣1﹣an=2an?an﹣1(n≥2,n∈N ) . (1)求证: 是等差数列;
*

(2)设 bn=an?an+1,{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn< .

考点: 数列与不等式的综合;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意化简已知的式子,由条件求出数列{ 可证明结论; (2)由(1)和等差数列的通项公式求出 ,化简后代入 bn 化简,利用裂项相消法求出数列 }的首项,根据等差数列的定义即

{bn}的前 n 项和 Sn,即可证明结论. 解答: 证明: (1)∵an﹣1﹣an=2an?an﹣1(n≥2) ,an≠0,

∴两边同除 anan﹣1,得 又 a1= , ∴

(n≥2) ,

是以 3 为首项,2 为公差的等差数列.…(6 分) ,

(2)由(1)知: ∴ ∴ 则 = ∴ …(12 分) . , …(8 分) = (

) ,

点评: 本题考查了等差数列的定义、通项公式,以及裂项相消法求数列的前 n 项和,是数 列与不等式的综合题,属于中档题. 18. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB⊥侧面 BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2, .

(1)求证:C1B⊥平面 ABC; (2)求点 B1 到平面 ACC1A1 的距离. 考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知得 AB⊥BC1,C1B⊥BC,由此能证明 C1B⊥平面 ABC. (2)点 B1 转化为点 B,利用等体积,即可求点 B1 到平面 ACC1A1 的距离. 解答: 解: (1)因为侧面 AB⊥BB1C1C,BC1?侧面 BB1C1C, 故 AB⊥BC1,…(2 分) 在△ BCC1 中,

由余弦定理得: 所以 故

=

=3 ,所以 BC⊥BC1,…(4 分)

而 BC∩AB=B,所以 BC1⊥平面 ABC…(6 分) (2)点 B1 转化为点 B, 又 所以点 B1 到平面 ACC1A1 的距离为 …(12 分) ,…(8 分) …(10 分)

点评: 本题考查线面垂直、线线垂直,考查点 B1 到平面 ACC1A1 的距离的计算,考查学生 分析解决问题的能力,正确运用线面垂直的判定定理是关键. 19. (12 分)某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的 55 名学生,得到数据如下表: 喜欢统计课程 不喜欢统计课程 男生 20 5 女生 10 20 (1)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关? (2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取 6 名学生作进一步调查,将这 6 名学生 作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 个男生和 1 个女生的概率. P(K ≥k) 0.10 k 2.706 临界值参考: (参考公式:
2

0.05 3.841

0.25 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

,其中 n=a+b+c+d)

考点: 独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 2 分析: (1)计算 K 的值,与临界值比较,即可得到结论; (2)确定样本中有 4 个男生,2 个女生,利用列举法确定基本事件,即可求得结论. 解答: 解: (1)由公式 所以有 99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关. (2)设所抽样本中有 m 个男生,则 人, ,

所以样本中有 4 个男生,2 个女生,分别记作 B1,B2,B3,B4,G1,G2. 从中任选 2 人的基本事件有(B1,B2) 、 (B1,B3) 、 (B1,B4) 、 (B1,G1) 、 (B1,G2) 、 (B2,B3) 、 (B2,B4) 、 (B2,G1) 、 (B2,G2) 、 (B3,B4) 、 (B3,G1) 、 (B3,G2) 、 (B4,G1) 、 (B4,G2) 、 (G1,G2) ,共 15 个, 其中恰有 1 名男生和 1 名女生的事件有(B1,G1) 、 (B1,G2) 、 (B2,G1) 、

(B2,G2) 、 (B3,G1) 、 (B3,G2) 、 (B4,G1) 、 (B4,G2) ,共 8 个, 所以恰有 1 名男生和 1 名女生的概率为 .

点评: 本题考查独立性检验,考查概率知识的运用,考查学生的计算能力,利用列举法确 定基本事件是解决本题的关键.

20. (12 分)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,求导,令 f′(x)=0,解方程,分析导数的变化情 况,确定函数的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数 f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意 a∈(﹣3,﹣2)及 x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求函数 f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)依题意知 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,f′(x)= ﹣ = ,

令 f′(x)=0,解得 x= , 当 0<x< 时,f′(x)<0; 当 x≥ 时,f′(x)>0 又∵f( )=2ln =2﹣2ln2

∴f(x)的极小值为 2﹣2ln2,无极大值. (Ⅱ)f′(x)= ﹣ +2a= ,

当 a<﹣2 时,﹣ < , 令 f′(x)<0 得 0<x<﹣ 或 x> , 令 f′(x)>0 得﹣ <x< ;

当﹣2<a<0 时,得﹣ > , 令 f′(x)<0 得 0<x< 或 x>﹣ , 令 f′(x)>0 得 <x<﹣ ;

当 a=﹣2 时,f′(x)=﹣

≤0,

综上所述,当 a<﹣2 时 f(x) ,的递减区间为(0,﹣ )和( ,+∞) ,递增区间为(﹣ , ) ; 当 a=﹣2 时,f(x)在(0,+∞)单调递减; 当﹣2<a<0 时,f(x)的递减区间为(0, )和(﹣ ,+∞) ,递增区间为( ,﹣ ) . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在区间[1,3]上单调递减, 当 x=1 时,f(x)取最大值; 当 x=3 时,f(x)取最小值; |f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣[(2﹣a)ln3+ +6a]= ﹣4a+(a﹣2)ln3, ∵(m+ln3)a﹣ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立, ∴(m+ln3)a﹣2ln3> ﹣4a+(a﹣2)ln3 整理得 ma> ﹣4a, ∵a<0,∴m< ﹣4 恒成立, < ﹣4<﹣ ,

∵﹣3<a<﹣2,∴﹣ ∴m≤﹣ .

点评: 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题,在求函数的单调区间时,体现 了分类讨论的思想方法;恒成立问题,转化为函数的最值问题,体现了转化的思想.属难题. 21. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M, N, 问: 是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 考点: 轨迹方程;三角形中的几何计算;点到直线的距离公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率,再利用直线 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式,化简后即为动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)对于存在性问题可先假设存在,由面积公式得: .根据角相等消去三角函数得比例式,最 后得到关于点 P 的纵坐标的方程,解之即得. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1) . 设点 P 的坐标为(x,y)

化简得 x +3y =4(x≠±1) . 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1) (Ⅱ)解:若存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 .

2

2

所以
2 2

即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 因为 x0 +3y0 =4,所以 故存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 点评: 本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-1: 几何证明选讲 22. (10 分) (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切 线交直线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC. .
2 2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题;立体几何.

分析: (Ⅰ)根据 BE 为圆 O 的切线,证明∠EBD=∠BAD,AD 平分∠BAC,证明 ∠BAD=∠CAD,即可证明∠EBD=∠CBD (Ⅱ)证明△ EBD∽△EAB,可得 AB?BE=AE?BD,利用 AD 平分∠BAC,即可证明 AB?BE=AE?DC. 解答: 证明: (Ⅰ)∵BE 为圆 O 的切线, ∴∠EBD=∠BAD, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CAD, ∵∠CBD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CBD; (Ⅱ)在△ EBD 和△ EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB, ∴△EBD∽△EAB, ∴ ,

∴AB?BE=AE?BD, ∵AD 平分∠BAC, ∴BD=DC, ∴AB?BE=AE?DC. 点评: 本题考查弦切角定理,考查三角形的相似,考查角平分线的性质,属于中档题. 选修 4-4:极坐标与参数方程 23.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2sinθ. (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M1、M2 的极坐标分别为 和(2,0) ,直线 M1M2 与曲线 C2 相交于 P, 的

Q 两点, 射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A, 射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B, 求 值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 2 2 分析: (1)利用 cos θ+sin θ=1,即可曲线 C1 的参数方程化为普通方程,进而利用 即可化为极坐标方程,同理可得曲线 C2 的直角坐标方程;

(2)由点 M1、M2 的极坐标可得直角坐标:M1(0,1) ,M2(2,0) ,可得直线 M1M2 的方 程为 , 此直线经过圆心, 可得线段 PQ 是圆 x + (y﹣1)=1 的一条直径, 可得得 OA⊥OB, 上的两点,在极坐标下,设 ,
2 2

A,B 是椭圆

代入椭圆的方程即可证明. 解答: 解: (1)曲线 C1 的普通方程为 ,

化成极坐标方程为
2



曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2sinθ,化为 ρ =2ρsinθ, 2 2 2 2 可得:曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y =2x,配方为 x +(y﹣1) =1. (2)由点 M1、M2 的极坐标分别为 可得直角坐标:M1(0,1) ,M2(2,0) , ∴直线 M1M2 的方程为 ,化为 x+2y﹣2=0, 和(2,0) ,

∵此直线经过圆心(0,1) , 2 2 ∴线段 PQ 是圆 x +(y﹣1) =1 的一条直径, ∴∠POQ=90°, 由 OP⊥OQ 得 OA⊥OB, A,B 是椭圆 在极坐标下,设 分别代入 中, 上的两点, ,















,即



点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质,考 查了推理能力与计算能力,考查数形结合思想和化归与转化思想,属于难题. 选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式 f(x)≥4﹣|x﹣1|; (Ⅱ)若 f(x)≤1 的解集为{x|0≤x≤2}, + =a(m>0,n>0) .求证:m+2n≥4.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式. 分析: 对第(1)问,将 a=2 代入函数的解析式中,利用分段讨论法解绝对值不等式即可; 对第(2)问,先由已知解集{x|0≤x≤2}确定 a 值,再将“m+2n”改写为“(m+2n) ( + 展开后利用基本不等式可完成证明. 解答: 解: (I)当 a=2 时,不等式 f(x)≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|, )”,

①当 x≤1 时,原不等式化为 2﹣x≥4+(x﹣1) ,得 故 ;



②当 1<x<2 时,原不等式化为 2﹣x≥4﹣(x﹣1) ,得 2≥5, 故 1<x<2 不是原不等式的解; ③当 x≥2 时,原不等式化为 x﹣2≥4﹣(x﹣1) ,得 故 . ∪ . ,

综合①、②、③知,原不等式的解集为 (Ⅱ)证明:由 f(x)≤1 得|x﹣a|≤1,从而﹣1+a≤x≤1+a, ∵f(x)≤1 的解集为{x|0≤x≤2}, ∴ 得 a=1,∴ + =a=1. )=2+(

又 m>0,n>0,∴m+2n=(m+2n) ( + 当且仅当

) =1,得

, 时,m+2n=4,

即 m=2n 时,等号成立,此时,联立 +

故 m+2n≥4,得证. 点评: 1.已知不等式的解集求参数的值,求解的一般思路是:先将原不等式求解一遍,再 把结果与已知解集对比即可获得参数的值. 2.本题中,“1”的替换很关键,这是解决此类题型的一种常用技巧,应注意体会证明过程的巧 妙性.


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