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2014高考数学必考点解题方法秘籍 离心率 理


2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:离心率
离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点,对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两类: 一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围,属于中低档次的题 型,对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率,只需要 由条件得到一个关于基本量 a,b,c,e 的一个方程,就可以从中求出离心率.但如果选择方 法不恰当,则极可能“小题”大作,误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可 以使结果马上水落石出,一针见血,其实不然,对于这类题,用最淳朴的定义来解题是最好 的,此时无招胜有招! 【例 1】

(05全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若?F1 PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A. 2 2 B. 2-1 2 C. 2- 2 D. )

2-1

[解法一](大多数学生的解法) 解:由于

?F1 PF2 为等腰直角三角形,故有
PF2 ? b2 a

F1 F2 ? PF2 ,而 F1 F2 ? 2c ,
2c ?
所以

b2 a ,整理得 2ac ? b 2 ? a 2 ? c 2
2 2 2

等式两边同时除以 a ,得 2e ? 1 ? e ,即 e ? 2e ? 1 ? 0 ,

e?
解得

?2 ? 8 ? ?1 ? 2 2 ,舍去 e ? ?1 ? 2

因此 e ? ?1 ? 2 ,选 D [解法二](采用离心率的定义以及椭圆的定义求解) 解:如右图所示,有

e

离心率的定义

?

c 2c 椭圆的定义 2c ? ? a 2a | PF1 | ? | PF2 |

?

2c 1 ? ? 2 ?1 2 2c ? 2 c 2 ?1

故选 D [评] 以上两种方法都是很好的方法,解法一是高手的解法,灵活运用了“通径”这个二级结论, 使题目迎刃而解,但计算量偏大,耗时较长;而解法二则是老手,整个过程没有任何高级结 论,只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义” ,通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无 法胜有法!

-1-

一、用定义求离心率问题 1. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )D

2 (A) 2

2 ?1 (B) 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 △ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A

3 A. 3

2 B. 3

2 C. 2
cos B ? ?

3 D. 2
7 18 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆

3.在 △ ABC 中, AB ? BC ,

的离心率 e ?

3 .8

4、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_________;

b2 c 1 ? 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a ? a ? 1 ? 2 ? e ? ? ? 2 ?1 a a 2 ? 1 解析:设 c=1,则
5、已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率 为 。

b2 c 2 1 ? 3 ? b 2 ? 3a ? a 2 ? 4 ? 3a ? a ? 4, e ? ? ? a 4 2 解析:由已知 C=2, a x2 y 2 ? 2 ?1 2 F F b 6.过椭圆 a ( a ? b ? 0 )的左焦点 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , 2 为右焦点,若
?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 B

2 A. 2

3 B. 3

1 C. 2

1 D. 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7.已知 F1、F2 是双曲线 a 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形
MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 )D

3 ?1 C. 2

D. 3 ? 1

x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 F ,F2 F b 8.双曲线 a ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 1 ,过 1 作倾斜角为 30 的

-2-

直线交双曲线右支于 M 点,若

MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(
3 D. 3

)B

A. 6

B. 3

C. 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 9、设 F1,F2 分别是双曲线 a 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90?,
且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为

(A)

5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 解. 设 F1, F2 分别是双曲线 a 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90?,
且 |AF1|=3|AF2| , 设 |AF2|=1 , |AF1|=3 , 双 曲 线 中

2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 2 ,

2c ? | AF1 |2 ? | AF2 |2 ? 10

e?
,∴ 离心率

10 2 ,选 B。

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 10、如图, F1 和 F2 分别是双曲线 a 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆
心,以

O F1

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的

离心率为

(A) 3

(B) 5

5 (C) 2

(D) 1 ? 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 解析:如图, F1 和 F2 分别是双曲线 a 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为
圆心,以

O F1

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,连接 AF1,

∠AF2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|= 3 c,∴ 2a ? ( 3 ? 1)c ,双曲线的离心率为 1 ? 3 ,选 D。 11.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 r 上存在点 P 满 则曲线 r 的离心率等于 A

PF1 : F1 F2 : PF2

=4:3:2,

1 3 或 2 A. 2

2 B. 3 或 2

1 或 C. 2 2

2 3 或 2 D. 3

二、列方程求离心率问题

-3-

1.方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为(
2



A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率
2

B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

1 解:方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根分别为 2, 2 ,故选 A
2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( )

1 A. 3

3 B. 3

1 C. 2

3 D. 2

解.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2b ,椭圆的离心率

e?

c 3 ? a 2 ,选 D。
AB

3、设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 B (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3

x2 y2 4.在平面直角坐标系中,椭圆 + =1(a>b>0)的焦距为 2c,以 O 为圆心,a 为半 a2 b2 a2 径的圆,过点( ,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率 e= c

e?


2 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 4 b 5.已知双曲线 a 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为
3 5 (A) 3 4 (B) 3 5 (C) 4 3 (D) 2

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? a 3 3 ,故选 A 解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 a 3
6 、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为

x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为( )

A. 5

5 B. 2

C. 3

D. 2

a 1 c ? 得b ? 2a e? ? 5 2 2 c ? a ? b ? 5a , a 解析:由 b 2

选A

-4-

x2 y 2 ? ?1 2 π 2 7.已知双曲线 a (a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为
3 A.2 B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

x2 y 2 2 ? 3 ? ?1 ? tan ? 2 π 2 6 3 ,∴ a2=6, 解:双曲线 a (a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则 a
3 2 3 双曲线的离心率为 ,选 D. 3

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 8.已知双曲线 a (a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k ,则双曲
线方程为( )C

x2 y2 2 2 (A) a - 4a =1

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 2 5a b b (B) a (C) 4b (D) 5b

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 9 设双曲线 a (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率
等于( ) (A) 3 (B)2 (C) 5
'

(D) 6

y0 ? 2 x0 y |x ? x0 ? 2 x0 P ( x , y ) y ? x0 2 ? 1 x 0 0 0 解:设切点 ,则切线的斜率为 .由题意有 又 0

b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( ) 2 ? 5 a a 解得: .

【命题立意】:本题考查了双曲线的

渐近线的方程和离心率的概念 ,以及直线与抛物线的位置关系 ,只有一个公共点 ,则解方程组 有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10、设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为

(A) 2

(B) 3

3 ?1 (C) 2

5 ?1 (D) 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为: a ,

b b b b ? ? ? (? ) ? ?1 F ( c ,0), B (0, b ) c 则一个焦点为 一条渐近线斜率为:a , 直线 FB 的斜率为: c , a ,

-5-

? b ? ac ? c ? a ? ac,? e ? e ? 1 ? 0 ? e ?
2
2 2 2

5 ?1 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 A, A ,B ,B b 11.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 1 2 1 2 为椭圆 a 的四个顶
F 为其右焦点, 点, 直线

A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T, 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT

的中点,则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。

x y ? ?1 A B 直线 1 2 的方程为: ? a b ; x y 2ac b(a ? c) ? ?1 T( , ) B F 直线 1 的方程为: c ?b 。二者联立解得: a ? c a ? c ,

M(


ac b(a ? c) x2 y 2 , ) ? ? 1(a ? b ? 0) a ? c 2(a ? c) 在椭圆 a 2 b 2 上,

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e 2 ? 10e ? 3 ? 0 (a ? c) 2 4(a ? c) 2 ,
解得: e ? 2 7 ? 5

x2 y 2 3 ? 2 ?1 2 b 12 已知椭圆 C: a (a>b>0)的离心率为 2 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直 ???? ??? ? 线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k =
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

3 ??? ? ??? ? e ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵ AF ? 3FB , ∴ y1 ? ?3 y2 , ∵ 2 ,设 【解析】B:
a ? 2t , c ? 3t , b ? t ,∴ x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 ? 0 ,直线 AB 方程为 x ? sy ? 3t 。代入消去 x ,

2 3st t2 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 2 2 2 s ?4 s ?4, ∴ ( s ? 4) y ? 2 3sty ? t ? 0 ,∴ ?2 y2 ? ? 2 3st t2 1 2 , ? 3 y ? ? s2 ? 2 2 2 s ?4 s ? 4 ,解得 2 ,k ? 2

13 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,且

-6-

uu r uur BF ? 2FD ,则 C 的离心率为
2 答案: 3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数 形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点: “数研究形,形助数” ,利用几何性质可寻 求到简化问题的捷径. 【解析】如图, | BF |? b ? c ? a ,
2 2



uu r uur DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得

| OF | | BF | 2 3 3 ? ? | DD1 |? | OF |? c | DD1 | | BD | 3 ,所以 2 2 ,

a 2 3c 3c 2 3c | FD |? e( ? ) ? a ? xD ? c 2 2a 2 ,由椭圆的第二定义得 即
又由 | BF |? 2 | FD | ,得

c ? 2a ?

3c 2 a ,整理得 3c 2 ? 2a 2 ? ac ? 0 .
e? 2 3.

两边都除以 a ,得 3e ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或
2 2

y2 x ? 2 ?1 b 14.过双曲线 M: 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分
2

别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 (

)

A. 10

B. 5

10 C. 3

5 D. 2

M : x2 ?
解析:过双曲线
2

y2 ?1 b2 的左顶点 A (1,0)作斜率为 1 的直线 l :y=x-1, 若 l 与双曲

y2 x ? 2 ?0 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) b 线 M 的两条渐近线 分别相交于点 , 联立方程组代入消元得
2 ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? b2 ? ? x ?x ? 1 2 2 ? 1 2 1 ? b2 , (b ? 1) x ? 2 x ? 1 ? 0 , ∴ ? x1+x2=2x1x2, 又 | AB |?| BC | ,则 B 为 AC 中点,

-7-

1 ? x1 ? ? ? 4 ? c ?x ? ? 1 ? 10 2 ? 2 ,∴ b2=9,双曲线 M 的离心率 e= a 2x1=1+x2,代入解得 ? ,选 A.

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 b 15.过双曲线 a 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的
??? ? 1 ??? ? AB ? BC 2 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 ,则双曲线的离心率是 (
A. 2 答案:C 【解析】对于 B. 3 C. 5

)

D. 10

A ? a, 0 ?

,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) ? a ?b a ?b ? a?b a?b? ,则有

??? ? ? ? ab 2a 2b 2a 2b ??? ab ? ??? ? ??? ? BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ? 2 2 a ?b a ?b ? a ? b a ? b ? ,因 2 AB ? BC ,? 4a ? b ,? e ? 5 .
x2 y 2 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? b 16. 已知双曲线 a 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于
A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
.

m

6 A. 5

7 B. 5

5 C. 8

9 D. 5

x2 y 2 C: 2 ? 2 ? 1 b 解:设双曲线 a 的右准线为 l , 过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N ,
BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 为

60???BAD ? 60?,| AD |?

1 | AB | 2 ,由双曲线的第二定义有

? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) e 2 2 . ??? ? 5 ??? ? 1 6 ? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? e 2 5 又

故选 A

-8-

一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率的取值范围,通常可以从两个方面来研究:一是考 虑几何的大小,例如线段的长度、角的大小等;二是通过设椭圆(或双曲线)点的坐标,利 用椭圆(或双曲线)本身的范围,列出不等式.离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量, 它是一个比值,它与圆锥曲线的大小无关,只与其形状有关.在椭圆中,离心率越大,椭圆 越扁平,离心率越小,椭圆越圆,椭圆离心率的取值范围 e∈(0,1);在双曲线中,离心率越 大,双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔,即双曲线的“张口”逐渐增大,双曲线离心率的取 值范围 e∈(1,+∞);在抛物线中,离心率 e=1. x2 y2 已知椭圆 + =1(a>b>0)的焦点分别为 F1,F2,若该椭圆上存在一点 P,使得∠F1PF2= a2 b2 60°,则椭圆离心率的取值范围是 .

分析:如果我们考虑几何的大小,我们发现当 M 为椭圆的短轴的顶点 B1(或 B2)时∠F1PF2 c 最大(需要证明) ,从而有 0<∠F1PF2≤∠F1 B1F2.根据条件可得∠F1 B1F2≥60°,易得 ≥ a 1 1 .故 ≤e<1. 2 2 证 明 , 在 △ F1PF2 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,

cos ?F1 PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2
2

2

2

2

2 1 PF1 ? PF2 ? ? F1 F2 ? ? 2 2 1 PF ? PF ? 1 2 ? 2

a 2 ? 2c 2 ? a2

当且仅当 PF1=PF2 时,等号成立,即当 M 与椭圆的短轴的顶点 B1(或 B2)时∠F1MF2 最大. 如果通过设椭圆上的点 P(x,y),利用椭圆本身的范围,也可以求出离心率 e 的范围.在本题 中,运用此法可以做,但比较复杂(关键是点 P 的坐标不易表示) .因此,在解题过程中要注 意方法的选择. 三、离心率范围问题 x2 y2 1.已知椭圆 + =1(a>b>0)的焦点分别为 F1,F2,若该椭圆上存在一点 P,使得∠F1PF2 a2 b2

=60°,则椭圆离心率的取值范围是

1 [ ,1) . 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 F (?c, 0), F2 (c, 0) b 2.已知双曲线 a 的左、右焦点分别为 1 ,若双曲线上
-9-

sin PF1 F2 a ? sin PF F c ,则该双曲线的离心率的取值范围是 2 1 存在一点 P 使
答案:(1,



2 ? 1)

???? ? ????? F F MF 1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率 1 2 3.已知 、 是椭圆的两个焦点,满足
的取值范围是( A. (0,1) )C

1 (0, ] 2 B.

(0,
C.

2 ) 2

2 ,1) D. 2 [

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F F b 4、椭圆 a 的焦点为 1 , 2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若
MN ≤ ? F1 F2
? 1? ? 0, ? A. ? 2 ?
,则该椭圆离心率的取值范围是( )

? 2? 0 , ? ? 2 ? ? B. ?

?1 ? 1? ? , C. ? 2 ?

? 2 ? 1? ? , 2 ? ? ? D.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F F b 解析:椭圆 a 的焦点为 1 , 2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,

| MN |? 2


a2 a2 2 ? 2c MN ≤ ? F F 1 2 c ,| F1 F2 |? 2c , ,则 c ,该椭圆离心率 e≥ 2 ,取值

? 2 ? 1? ? , ? 2 ? ,选 D。 范围是 ?

x2 y2 ? ?1 2 2 a ( a ? 1) a ? 1 5.设 ,则双曲线 的离心率 e 的取值范围是( )B
2) A. ( 2,
B. ( 2,5)

5) C. (2,

D. (2,5)

x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 2 F,F b 6. 已知双曲线 a 的左, 右焦点分别为 1 2 ,点 P 在双曲线的右支上,


| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: ( )B
4 A. 3 5 B. 3 7 D. 3

C. 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 7.双曲线 a (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,

- 10 -

则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) B.

)B C.(3,+ ? ) D.

?1,3?

?3, ?? ?

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 8.已知双曲线 a (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) o 2 b 解析:双曲线 a 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲
b b 线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 a ,∴ a ≥

c2 a 2 ? b2 ? ≥4 3 ,离心率 e2= a 2 a2 ,∴ e≥2,选 C

- 11 -



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