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2016新课标三维人教A版数学选修2-3 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用


独立性检验的基本思想及其初步应用

预习课本 P91~96,思考并完成以下问题 1.分类变量与列联表分别是如何定义的?

2.独立性检验的基本思想是怎样的?

3.独立性检验的常用方法有哪些?

[新知初探] 1.与列联表相关的概念 (1)分类变量: 变量的不同“值”表示个体所属的不同类型, 像这样的变量称为分类变量. (2)列联表: ①列出的两个分类变量的频数表, 称为列联表. ②一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本 频数列联表(称为 2×2 列联表)为:

y1 x1 x2 总计 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

在 2×2 列联表中, 如果两个分类变量没有关系, 则应满足 ad-bc≈0, 因此|ad-bc|越小, 关系越弱; |ad-bc|越大, 关系越强. 2.等高条形图 等高条形图与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响, 常用 等高条形图展示列表数据的频率特征.

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3.独立性检验的基本思想 (1)定义:利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)公式:K2= n?ad-bc?2 ,其中 n=a+b+c+d 为样本容量. ?a+b??c+d??a+c??b+d? [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念.( )

(2)列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系, 而独立性检验 中 K2 取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小.( (3)独立性检验的方法就是反证法.( 答案:(1)× (2)√ (3)× ) ) )

2.与表格相比,能更直观地反映出相关数据总体状况的是( A.列联表 C.残差图 答案:D B.散点图 D.等高条形图

3.如果有 99%的把握认为“X 与 Y 有关系”,那么具体算出的数据满足( 附表: P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

)

A.k>6.635 C.k>7.879 答案:A 4.下面是一个 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 a 2 b

B.k>5.024 D.k>3.841

y2 21 25 46

总计 73 27 100

则表中 a,b 的值分别为________. 答案:52, 54

等高条形图的应用 [典例] 为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分别对病人组和对照组的尿 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

液作尿棕色素定性检查,结果如下: 组别 铅中毒病人 对照组 总计 阳性数 29 9 38 阴性数 7 28 35 总计 36 37 73

试画出列联表的等高条形图,分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别,铅 中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系? [解] 等高条形图如图所示:

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率. 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比,尿棕色素为阳性的频率差异明显,因此 铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系.

在等高条形图中, 可以估计满足条件 X=x1 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比例

a , a+b

c 也可以估计满足条件 X=x2 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比例 .两个比例的值相差 c+d 越大,X 与 Y 有关系成立的可能性就越大. [活学活用] 某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考试中,性格内向的学生 426 人中 有 332 人在考前心情紧张,性格外向的学生 594 人中有 213 人在考前心情紧张,作出等高条 形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系. 解:作列联表如下: 性格内向 考前心情紧张 考前心情不紧张 总计 332 94 426 性格外向 213 381 594 总计 545 475 1 020

相应的等高条形图如图所示:

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图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例,从图中可以看出 考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可以认 为考前紧张与性格类型有关. 两个变量的独立性检验 [典例] 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关,某同学调查了 361 名高

二在校学生,调查结果如下:理科对外语有兴趣的有 138 人,无兴趣的有 98 人,文科对外 语有兴趣的有 73 人,无兴趣的有 52 人.能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为 “学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”? [解] 根据题目所给的数据得到如下列联表: 理科 有兴趣 无兴趣 总计 138 98 236 文科 73 52 125 总计 211 150 361

根据列联表中数据由公式计算得随机变量 K2 的观测值 k= 361×?138×52-73×98?2 - ≈1.871×10 4. 211×150×236×125


因为 1.871×10 4<2.706, 所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,不能认为“学生选报文、理科与对外语的 兴趣有关”.

独立性检验的步骤 (1)确定分类变量,获取样本频数,得到列联表. (2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 α,然 后查表确定临界值 k0. (3)利用公式 K2= (4)作出判断. 如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 α,否则就认为 n?ad-bc?2 计算随机变量 K2 的观测值 k0. ?a+b??c+d??a+c??b+d?

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在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“X 与 Y 的关系”, 或者在样本数据中没有发现 足够证据支持结论“X 与 Y 有关系”. [活学活用] 在对人们的休闲方式的一次调查中, 共调查了 124 人, 其中女性 70 人, 男性 54 人. 女 性中有 43 人主要的休闲方式是看电视, 另外 27 人主要的休闲方式是运动; 男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视, 另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; 并估计, 以运动为主的休闲方式的人的比 例; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下, 认为性别与休闲方式有关系? 附表: P(K2 ≥k0) k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0. 025

0. 010

0. 005

0. 001 10.8 28

0. 455

0. 708

1. 323

2. 072

2. 706

3. 841

5. 024

6. 635

7. 879

n(ad-bc)2 K= . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

解:(1)由所给的数据得到列联表 休闲方式 性别 女 男 总计 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

所以以运动为主要的休闲方式的人的比例为 15∶31. (2)根据列联表中的数据计算得随机变量 K2 的观测值, 124×?43×33-27×21?2 k= ≈6.201, 70×54×64×60 因为 k>5.024, 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为休闲方式与性别有关. 独立性检验的综合应用

[典例]

某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、 乙两个“平行班”, 每班 50 人. 陈

老师采用 A, B 两种不同的教学方式分别在甲、 乙两个班级进行教改实验. 为了解教学效果, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出茎叶图 如图.记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”.

(1)在乙班样本的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两个均 “成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据作出列联表, 并判断能否在犯错误的概率不超过 0. 1 的前提下认为: “成绩优秀”与教学方式有关. [解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从不低于 86

分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是:(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96), (93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有 15 种结果, 符合条件的事件数(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99), (97,99),(99,99),共有 10 种结果, 10 2 根据等可能事件的概率得到 P= = . 15 3 (2)由已知数据得 甲班 成绩优秀 成绩不优秀 总计 1 19 20 乙班 5 15 20 总计 6 34 40

根据列联表中的数据,计算得随机变量 K2 的观测值 k= 40×?1×15-5×19?2 ≈3.137, 6×34×20×20

由于 3.137>2.706,所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为:“成绩优秀”与 教学方式有关.

(1)独立性检验问题是常与统计、概率相结合,解题时一定要认真审题,找出各数据的联 系. (2)解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.

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[活学活用] 某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学,开展听课、访谈及随堂检测等活动,他 们把收集到的 180 节课分为三类课堂教学模式,教师主讲的为 A 模式,少数学生参与的为 B 模式,多数学生参与的为 C 模式,A,B,C 三类课的节数比例为 3∶2∶1. (1)为便于研究分析,教育专家将 A 模式称为传统课堂模式,B,C 统称为新课堂模式, 根据随堂检测结果,把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 2×2 列联表(单位:节) 高效 新课堂模式 传统课堂模式 总计 60 40 100 非高效 30 50 80 总计 90 90 180

请根据统计数据回答: 有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理 由. (2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的 180 节课中选出 12 节课作为样本进行研究, 并从样本中的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 2 节课,求至少有一节课为 C 模式课堂的概 率. 参考临界值有:

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc?2 参考公式:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

其中 n=a+b+c+d. 解:(1)由列联表中的统计数据计算随机变量 K2 的观测值为: 180×?60×50-40×30?2 ∵k= =9>6.635, 100×80×90×90 由临界值表 P(K2≥6.635)≈0.010, ∴有 99%的把握认为课堂效率与教学模式有关. (2)样本中的 B 模式课堂和 C 模式课堂分别是 4 节和 2 节.
2 从中任取两节有 C2 其中至少有一节课为 C 模式课堂取法有 C2 6=15 种取法, 6-C4=9 种,

9 3 ∴至少有一节课为 C 模式课堂的概率为 = . 15 5

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层级一

学业水平达标 )

1.以下关于独立性检验的说法中, 错误的是( A.独立性检验依赖于小概率原理 B.独立性检验得到的结论一定准确 C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异

D.独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法 解析:选 B 根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件,但并 不一定是准确的. 2.观察下列各图,其中两个分类变量之间关系最强的是( )

解析:选 D 在四幅图中,D 图中两个阴影条的高相差最明显,说明两个分类变量之间 关系最强,故选 D. 3.在列联表中,下列哪两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大( A. C. a d 与 a+b c+d c a B. 与 a+b c+d )

a c a c 与 D. 与 a+b c+d a+b b+c a c 与 的值相差越大,|ad-bc|就越大,相关性就越 a+b c+d

解析:选 C 由等高条形图可知 强.

4.对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k,下列说法正确的是( A.k 越大,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小 B.k 越小,“X 与 Y 有关系”的可信程度越小 C.k 越接近于 0,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越小 D.k 越大,“X 与 Y 没有关系”的可信程度越大

)

解析:选 B K2 的观测值 k 越大,“X 与 Y 有关系”的可信程度越大.因此,A、C、D 都不正确. 5.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据: 种子处理 得病 32 种子未处理 101 总计 133

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不得病 总计 根据以上数据,可得出( )

61 93

213 314

274 407

A.种子是否经过处理跟是否生病有关 B.种子是否经过处理跟是否生病无关 C.种子是否经过处理决定是否生病 D.以上都是错误的 解析:选 B 由 K2= 407×?32×213-61×101?2 ≈0.164<2.706,即没有把握认为是 93×314×133×274

否经过处理跟是否生病有关. 6. 在一项打鼾与患心脏病的调查中, 共调查了 1 671 人, 经过计算 K2 的观测值 k=27. 63, 根据这一数据分析, 我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的. (填“有关”或“无关”) 解析:∵K2 的观测值 k=27.63,∴k>10.828,∴在犯错误的概率不超过 0.001 的 前提下认为打鼾与患心脏病是有关的. 答案:有关 7.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到 K2≈3.852>3.841,则判断性别与是 否爱好运动有关,那么这种判断犯错的可能性不超过________. 解析:∵P(K2≥3.841)≈0.05. ∴判断性别与是否爱好运动有关,出错的可能性不超过 5%. 答案:5% 8.统计推断,当________时,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为事件 A 与 B 有关;当________时,认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的. 解析:当 k>3.841 时,就有在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为事件 A 与 B 有 关,当 k≤2.706 时认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的. 答案:k>3.841 k≤2.706

9.为了调查胃病是否与生活规律有关,在某地对 540 名 40 岁以上的人进行了调查,结 果是:患胃病者生活不规律的共 60 人,患胃病者生活规律的共 20 人,未患胃病者生活不规 律的共 260 人,未患胃病者生活规律的共 200 人. (1)根据以上数据列出 2×2 列联表; (2)在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 40 岁以上的人患胃病与否和生活规律有 关系吗?为什么? 解:(1)由已知可列 2×2 列联表: 患胃病 生活规律 生活不规律 20 60 未患胃病 200 260 总计 220 320

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总计

80

460

540

(2)根据列联表中的数据,由计算公式得 K2 的观测值 k= 540×?20×260-200×60?2 ≈9.638. 220×320×80×460

∵9.638>6.635, 因此,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 40 岁以上的人患胃病与否和生活规 律有关. 10.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了 如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 a c=10 不喜爱打篮球 b=5 d 50 合计

3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到爱打篮球的学生的概率为 . 5 (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关;请说明理由. n?ad-bc?2 附参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k0) k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

解:(1)列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

50×?20×15-10×5?2 (2)∵K = ≈8.333>7.879, 30×20×25×25
2

∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. 层级二 应试能力达标

1.在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居金牌

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榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反对意见,有网友为 此进行了调查, 在参加调查的 2 548 名男性中有 1 560 名持反对意见, 2 452 名女性中有 1 200 名持反对意见,在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关 系时,用什么方法最有说服力( A.平均数与方差 C.独立性检验 ) B.回归直线方程 D.概率

解析: 选 C 由于参加调查的人按性别被分成了两组, 而且每一组又被分成了两种情况, 判断有关与无关,符合 2×2 列联表的要求,故用独立性检验最有说服力. 2.对于独立性检验,下列说法正确的是( )

A.K2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 无关 B.K2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关 C.K2≤3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关 D.K2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 无关 解析:选 B 由独立性检验的知识知:K2>3.841 时,有 95%的把握认为“变量 X 与 Y 有关系”;K2>6.635 时,有 99%的把握认为“变量 X 与 Y 有关系”.故选项 B 正确. 3.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验( A.H0:男性喜欢参加体育活动 B.H0:女性不喜欢参加体育活动 C.H0:喜欢参加体育活动与性别有关 D.H0:喜欢参加体育活动与性别无关 解析: 选 D 独立性检验假设有反证法的意味, 应假设两类变量(而非变量的属性)无关, 这时的 K2 应该很小,如果 K2 很大,则可以否定假设,如果 K2 很小,则不能够肯定或者否定 假设. 4.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问 100 名性别 不同的居民是否能做到“光盘”,得到如下的列联表: )

做不到“光盘” 男 女 45 30

能做到“光盘” 10 15

由此表得到的正确结论是(

)

A.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别 有关” B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有 关” D.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无 关” 解析:选 C 由 2×2 列联表得到 a=45,b=10,c=30,d=15. 则 a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100. 代入 K2= n?ad-bc?2 100×?675-300?2 ,得 K2 的观测值 k= ≈3.030.因 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 55×45×75×25

为 2.706<3.030<3.841. 所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有 关”. 5.若两个分类变量 X 与 Y 的列联表为: y1 x1 x2 10 40 y2 15 16

则“X 与 Y 之间有关系”这个结论出错的可能性为________. 解析:由题意可得 K2 的观测值 k= ?10+15+40+16?×?10×16-40×15?2 ≈7.227, ?10+15?×?40+16?×?10+40?×?15+16?

∵P(K2≥6.635)≈1%, 所以“x 与 y 之间有关系”出错的可能性为 1%. 答案:1% 6.对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的 跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 39 29 68 未发作过心脏病 157 167 324 合计 196 196 392

试根据上述数据计算 K2≈________, 能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有 差别的结论________(填“能”或“不能”). 解析: 根据列联表中的数据, 可以求得 K2 的观测值 k= 392×?39×167-29×157?2 ≈1. 779. 68×324×196×196

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K2<2.072 的概率为 0.85.作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结 论. 答案:1.779 不能 7.甲、乙两机床加工同一种零件,抽检得到它们加工后的零件尺寸 x(单位:cm)及个 数 y,如下表: 零件尺寸 x 零件个数 y 甲 乙 1.01 3 7 1.02 7 4 1.03 8 4 1.04 9 4 1.05 3 a

^ 由表中数据得 y 关于 x 的线性回归方程为 y =-91+100x(1.01≤x≤1.05),其中合格 零件尺寸为 1.03± 0.01(cm).完成下面列联表,并判断是否有 99%的把握认为加工零件 的质量与甲、乙有关? 合格零件数 甲 乙 总计 不合格零件数 总计

解: x =1.03, y =

a+49 a+49 ^ ,由 y =-91+100x 知, =-91+100×1.03,所以 a= 5 5

11,由于合格零件尺寸为 1.03± 0.01 cm,故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为:

合格零件数 甲 乙 总计
2

不合格零件数 6 18 24

总计 30 30 60

24 12 36

n?ad-bc?2 所以 K = ?a+b??c+d??a+c??b+d? = 60×?24×18-6×12?2 =10, 30×30×36×24

因 K2=10>6.635,故有 99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.

8.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调 查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 60 10 不喜欢甜品 20 10 总计 80 20

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总计

70

30

100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食 习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品.现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. P(K2≥k0) k0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635

解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 100×?60×10-20×10?2 100 K= = ≈4.762. 21 70×30×80×20
2

由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮 食习惯方面有差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω={(a1,a2, b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2), (a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. (其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2.bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3)Ω 由 10 个基 本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3), (b1,b2,b3)}. 事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= 7 . 10

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