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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第三篇导数及其应用第1节导数的概念与计算课件理


第三篇 导数及其应用选(修2-2)

第1节 导数的概念与计算

最新考纲 1.了解导数概念的实际 背景. 2.通过函数图象直观理 解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求 函数 y=C(C 为常
1 数),y=x,y= ,y= x

x2,y=x3,y= x 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数,并 了解复合函数求导法则,能求简单复合函 数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的 导数.

知识链条完善
考点专项突破 经典考题研析

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”有

何不同?
提示:(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为

k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点, 也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

知识梳理
1.函数的平均变化率 (1)概念:对于函数 y=f(x),
f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1

=

?y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的 ?x

平均

变化率.

(2)几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . (3)物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在 [x1,x2]上的 平均 速度.

2.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 ①定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim
f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y = lim 为函 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
?y = ?x ?0 ?x

数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′ |x ? x0 ,即 f′(x0)= lim
lim f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x

?x ?0

.

②几何意义

函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (x0,f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) .

(2)函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim
f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x
?x ?0

为 f(x)的导函数.

3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα (α ∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=α xα -1 f′(x)= cos x f′(x)= -sin x f′(x)= axln a f′(x)= ex f′(x)=
1 x ln a

f′(x)=

1 x

4.导数的运算法则和复合函数的导数
(1)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′=
f ? x?

; ②[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
③[

f′(x)±g′(x)

g ? x?

]′=

f ?? x ? g ? x ? ? f ? x ? g?? x ? ? ? g ? x ?? ?
2

(g(x)≠0).

(2)复合函数的导数
复合函数y=f(ax+b)的求导法则为[f(ax+b)]′=af′(ax+b). 【重要结论】 1.f′(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同. 2.f′(x0)不一定为0,但[f(x0)]′一定为0.

3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是
周期函数.

夯基自测
1.若函数 f(x)=2x -1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δ x,1+Δ y), 则
?y 等于( ?x
C )
2

(A)4

(B)4x
2

(C)4+2Δ x (D)4+2Δ x

?y f ?1 ? ?x ? ? f ?1? 解析: = ?x ?x

=

2 ?1 ? ?x ? ? 1 ? 2 ? 1
2

?x

=4+2Δx.

故选 C.

2.(2016孝感模拟)曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是( (A)x-3y+3=0 (C)2x-y+1=0 (B)x-2y+2=0 (D)3x-y+1=0

C )

解析:求导y′=cos x+ex,则曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线的斜率 k=cos 0+e0=2,由点斜式可得y-1=2(x-0),即切线方程为2x-y+1=0.

x2 3.(2016 雅安模拟)y= 的导数是( x?3

D

)

(A)y′= (C)y′=

x2 ? 6x

? x ? 3?
x2

2

x2 ? 6x (B)y′= x?3

? x ? 3?
2

2

(D)y′=
2

x2 ? 6x

? x ? 3?

2

x ?? ? x ? 3? ? x ? x ? 3?? 2 x ? x ? 3? ? x ? 解析:y′= =

2

? x ? 3?

2

? x ? 3?

2

=

x2 ? 6x

? x ? 3?

2

.

4.(2016房山模拟)设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0=

.

解析:f(x)=xln x,所以f′(x)=ln x+1,因为f′(x0)=2,所以x0=e. 答案:e

5.给出下列命题: ①y′=f′(x)在点 x=x0 处的函数值就是函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值. ②求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0). ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ⑤若 f(x)=f′(a)x +ln x(a>0),则 f′(x)=2xf′(a)+ 其中正确的是 .
2

1 . x

解析:①正确.根据导数的定义知其正确. ②错误.应先求 f′(x),再求 f′(x0). ③正确.如 y=1 是曲线 y=sin x 的切线,但其交点个数有无数个. ④错误.如 y=0 与抛物线 y2=x 只有一个公共点,但是 y=0 不是抛物线 y2=x 的切线. ⑤正确.f′(x)=[f′(a)x +ln x]′=[f′(a)x ]′+(ln x)′=2xf′(a)+
2 2

1 . x

答案:①③⑤

考点专项突破
考点一 导数的概念

在讲练中理解知识

【例1】 用定义法求函数f(x)=x2-2x-1在x=1处的导数.

解:法一 Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)2-2(x+Δx)-1-(x2-2x-1) =x2+2x·Δx+(Δx)2-2x-2Δx-1-x2+2x+1 =(2x-2)Δx+(Δx)2, 所以 f′(x)= lim x]=2x-2. 所以函数 f(x)=x2-2x-1 在 x=1 处的导数为 f′(1)=2×1-2=0.
?y = lim ?x ?0 ?x ?x ?0

? 2x ? 2? ?x ? ? ?x ?
?x

2

= lim [(2x-2)+Δ
?x ? 0

(教师备用)法二 Δy=f(1+Δx)-f(1) 2 2 =(1+Δx) -2(1+Δx)-1-(1 -2×1-1) 2 2 =1+2Δx+(Δx) -2-2Δx-1+2=(Δx) ,
?x ? ?y ? 所以 f′(1)= lim = lim = lim Δx=0. ?x ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
2

反思归纳

(1)求函数f(x)的导数的步骤

①求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);

?y f ? x2 ? ? f ? x1 ? ②计算平均变化率 = ; ?x x2 ? x1 ?y ③计算导数 f′(x)= lim . ?x ?0 ?x
(2)利用定义法求解f′(a),可以先求出函数的导数f′(x),然后令x=a即 可求解,也可直接利用定义求解.

【即时训练】 用导数的定义求函数 y=

1 解:记 f(x)= , x

1 在 x=1 处的导数. x

则Δy=f(1+Δx)-f(1)=

1 1 ? 1 ? ?x -1= = 1 ? ?x 1 ? ?x

?1 ?

1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x

?

??

?

?=
?

1 ? ?x 1 ? 1 ? ? x

?

??x

?

,

1 ?y =, ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ? x

?

?1 ?y 所以 y′|x=1= lim = lim ?x ? 0 ?x ?0 ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ? x

?

?

1 =- . 2

考点二 导数的计算
【例 2】 求下列函数的导数: (1)y=ln x+ (2)y=
1 ; x

cos x ; x e
2 2-x

(3)y=(x +2x-1)e .

1 1 1 1 解:(1)y′=(ln x+ )′=(ln x)′+( )′= - 2 . x x x x ? cos x ?? e x ? cos x ? e x ?? sin x ? cos x cos x (2)y′=( x )′= =. 2 x x e e ?e ? (3)y′=(x2+2x-1)′e2-x+(x2+2x-1)(e2-x)′
=(2x+2)e2-x+(x2+2x-1)·(-e2-x)

=(3-x2)e2-x.

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变形对函数进行 反思归纳 化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数 或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商 的求导法则,减少运算量; (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量, 确定复合过程,然后求导.

【即时训练】 求下列函数的导数: (1)y=( x +1)(
1 -1); x

解:(1)因为 y= x ·
1 2 ? 1 2

1 1 - x+ -1 x x

=- x + x

,
1 2 ? 1 2

所以 y′=-( x )′+( x
3 ? 1 ?1 1 =- x 2 - x 2 2 2

)′

=-

1 2 x

(1+

1 ). x

(2)y=xsin(2x+

π π )cos(2x+ ); 2 2

π π 解:(2)因为 y=xsin(2x+ )cos(2x+ ) 2 2

=

1 xsin(4x+π) 2 1 xsin 4x, 2 1 1 sin 4x- x·4·cos 4x 2 2

=-

所以 y′==-

1 sin 4x-2xcos 4x. 2

e2 x ? e?2 x (3)y= x ? x . e ?e

e ?e ? ?2 ? e ?e 解:(3)因为 y= x ? x = e x ? e? x e ?e
2x ?2 x
x ?x 2

2 2e x x -x =e +e - x =e +e - 2 x , ?x e ?e e ?1
x -x

2e x 所以 y′=(e )′+(e )′-( 2 x )′ e ?1
x -x

=ex-e-x-

2e x ? e2 x ? 1? ? 2e x ? 2e2 x

?e

2x

? 1?

2

=ex-e-x-

2e x ?1 ? e2 x ?

?1 ? e ?

2x 2

.

考点三

导数的几何意义及其应用(高频考点)

考查角度1:求切线方程. 高考扫描:2010高考新课标全国卷,2012高考新课标全国卷 【例3】 曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 解析:由y=x(3ln x+1)得y′=3ln x+4, 则所求切线斜率为4, 则所求切线方程为y=4x-3. 答案:y=4x-3 .

反思归纳

已知切点求切线方程,解决此类问题的步骤为

(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))
处切线的斜率; (2)由点斜式求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).

考查角度2:求切点坐标.

【例4】 (2014高考江西卷)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线
2x-y+1=0,则点P的坐标是 .
1 =1+ln x, x

解析:由题意得 y′=ln x+x· 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2. 设 P(m,n), 则 1+ln m=2, 解得 m=e, 所以 n=eln e=e, 即点 P 的坐标为(e,e).
答案:(e,e)

反思归纳

已知斜率k,求切点(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.

考查角度3:求参数的取值(范围). 高考扫描:2015高考新课标全国卷Ⅰ,2015高考新课标全国卷Ⅱ 【例5】 (2015高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点

(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=
解析:因为f(x)=ax3+x+1, 所以f′(x)=3ax2+1,

.

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=3a+1,
又f(1)=a+2, 所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1), 因为点(2,7)在切线上, 所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 答案:1

反思归纳

求参数的取值(范围),利用导数的几何意义,建立关于

参数的方程(不等式)求解.

备选例题
【例1】 f(x)=x(2 015+ln x),若f′(x0)=2 016,则x0等于( (A)e2 (B)1 (C)ln 2 (D)e 解析:f′(x)=2 015+ln x+1=2 016+ln x, 故由f′(x0)=2 016得2 016+ln x0=2 016, 则ln x0=0,解得x0=1. )

故选B.

【例 2】等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a8),则 f′(0) 等于( (A)26 ) (B)29 (C)212 (D)215

解析:f′(x)=(x-a1)(x-a2)?(x-a8)+x(x-a2)?(x-a8)+?+x(x-a1)?(x-a7),
所以f′(0)=a1a2?a8=(a1a8)4=212.故选C.

1 3 4 【例 3】 已知曲线 y= x + . 3 3

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程;

解:(1)因为y′=x2, 所以曲线在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),

即4x-y-4=0.

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 1 3 4 解:(2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 3 3

A(x0,

1 3 4 x0 + ),则切线的斜率 k=y′ |x ? x0 = x 02 . 3 3 1 3 4 2 3 4 x 0 + )= x 02 (x-x0),即 y= x 02 ·x- x 0 + . 3 3 3 3
2 0

所以切线方程为 y-

2 3 4 因为点 P(2,4)在切线上,所以 4=2 x - x 0 + , 3 3
3 3 即 x0 -3 x 02 +4=0,所以 x 0 + x 02 -4 x 02 +4=0,

所以 x 02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

经典考题研析

在经典中学习方法
导数几何意义的应用

【典例】(2015高考新课标全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线

与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=
审题指导

.

关键点
曲线y=x+ln x在点(1,1)的切线

所获信息
切线斜率为y′|x=1 切线为曲线y=ax2+(a+2)x+1过点 (1,1)的切线

切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切

解题突破:可以将切线方程与曲线方程y=ax2+(a+2)x+1联立,利用 判别式Δ=0求a的值;还可以先求出曲线y=ax2+(a+2)x+1上的切点 坐标,再求a的值

解析:法一

因为 y′=1+

1 , x

所以 y′|x=1=2, 所以 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 所以 y=2x-1. 又切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 当 a=0 时,y=2x+1 与 y=2x-1 平行,故 a≠0,
2 ? ? y ? ax ? ? a ? 2 ? x ? 1, 由? ? ? y ? 2 x ? 1,

得 ax +ax+2=0, 因为Δ=a -8a=0,所以 a=8.
2

2

(教师备用)法二 因为 y′=1+

1 ,所以 y′|x=1=2, x

所以 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 所以 y=2x-1, 又切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, 当 a=0 时,y=2x+1 与 y=2x-1 平行,故 a≠0. 因为 y′=2ax+(a+2),所以令 2ax+a+2=2,得 x=代入 y=2x-1,得 y=-2, 所以点(1 ,-2)在 y=ax2+(a+2)x+1 的图象上, 2 1 2 1 ) +(a+2)×(- )+1,所以 a=8. 2 2 1 , 2

故-2=a×(答案:8

命题意图:本题主要考查利用导数求曲线的切线,直线与抛物线的位置关 系的问题,意在考查考生的运算求解能力,对数形结合思想与分类讨论思 想的应用也有较高要求.



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