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第六讲:等差等比数列应用举例及作业


第六讲:等差、等比数列应用举例 一、知识精点 1、等差数列 ?an ? 中 Sn 的最值问题: (1)当 a1 ? 0, d ? 0 (2)当 时,满足 ? ?

am ? 0 ?a m?1 ? 0

的项数 m 使得 S m 取最大值. 的项数 m 使得 S m 取最小值。

a ?0 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ? ?a m ? 0 ? m?1

2、数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题,常考虑 用数列的知识来解决. 二、基础精练 1、一种细胞每 3 分钟分裂一次,一个分裂成两个,如果把一个这种细胞放入某个容器内,恰好一小时充满该容 器,如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内,则细胞充满该容器的时间为 ( ) A.15 分钟 B.30 分钟 C.45 分钟 D.57 分钟 2、首项为正数的等差数列{a n } ,其中 S 3 =S 11 ,问此数列前几项和最大? 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4、 .设数列{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确的是( A.a2>b2 w。wB.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6 5、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( ) 6、设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 7.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2 1 8、在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=_______;|a1|+|a2|+…+|an|=_______ . 2 9.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 10 、 已 知 函 数 f ( x ) ?
x

)

2 , 等 差 数 列 {ax } 的 公 差 为 2 . 若 f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 , 则 . log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??? f (a10 )] ?

三、范例精析 题型一:求基本量及递推公式的应用 例 1、 (1)已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,则公比 q 的值为( ) 1 1 A.1 或- B.1C.- D.-2 2 2 (2)非常数数列 {an } 是等差数列,且 {an } 的第 5、10、20 项成等比数列,则此等比数列的公比为 ( A.



1 5

B.5

C.2

D.

1 2


(3)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 B.4 C. 3 D. 2 题型二:性质的应用 例 2(1)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a4 a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ?log3 a9 ?
2

。 )

(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,am-1+am+1-am -1=0,S2m-1=39,则 m 等于( w。w-w*k&s%5¥A.10 B.19 C.20 D.39 (3)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 (4)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=_______. 题型三:等差、等比数列求通项
5

例 3(1)数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn=2n2-n+1,则 an= (2) 设数列{an}、 {bn}都是等差数列, 且 a1=25,b1=75,a2+b2=100, 那么 an+bn 所组成的数列的第 37 项的值是( A.0 B.37 C.100 D.-37 (3)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a2 等于( ) A.4 B.2 C.1 D.-2 (4)已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 题型四:等差、等比数列求和 例 4(1)在 100 和 500 之间能被 9 整除的所有数之和为( A.12699 B.13266 C.13833 ) )

) D.14400

(2)正项等差数列 ?an ? 中, a7 a9 ? a7 a6 ? a8 a9 ? a8 a6 ? 16, 则 S14 ? _________. (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8 等于( A.18 B.36 C.54 D.72 (4)设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项的和为( A.128 B.80 C.64 D.56 (5)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? (A)16( 1 ? 4
?n

) ) ) (D)



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( 4 32 ?n ?n (B)16( 1 ? 2 ) (C) (1 ? 4 ) 3

32 ?n (1 ? 2 ) 3

(6)已知数列{an}是等差数列,首项 a1<0,a2005+a2006<0,a2005· a2006<0,则使前 n 项之和 Sn<0成立的最大 自然数 n 是( ) A 4008 B 4009 C 4010 D 4011 (7)在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项之和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn=( ) A 2n+1-2 B 3n C 2n D 3 n-1 题型五、数列应用 例 5.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以后每年比前 一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元;两种方 案的使用期都是 10 年,到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案 中,哪种获利更多? (取 1.0510 ? 1.629 ,1.310 ? 13.786,1.510 ? 57.665)

6

第六讲:等差、等比数列应用举例(作业)姓名: 一、选择题 (A)9 1、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m=( (B)10 (C)11 (D)12 ) )

2、已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? 1 ? 的前 5 项和为(
? ? ? an ?

(A) 15 或 5
8

(B) 31 或 5
16

(C) 31
16

(D) 15
8

3、已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4 a5a6 =(



4、已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 ,

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? ( 2 a7 ? a8



A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2 5、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于(



A.6 B.7 C.8 D.9 6、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? ( ) A. n(2n ? 1) ,若
S6 S3

B. (n ? 1) =3 ,则

2

C. n = (

2

D. (n ? 1)

2

7、设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn

8、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s 4 =( A.7 B.8 C.15 D.16
2
5 ? 1 ], 2

S9 S6

) A. 2 B. )

7 C. 3

8 D.3 3

9、设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { 5 ? 1 },[ A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 值的 n 是( ) 11、数列 {an } 的通项 a

5 ?1 ( 2



10、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大 A.21
2 2

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 B.20 C.19

D. 18 )

n

n? n? ,其前 n 项和为 S ,则 S 为( n 30 ? n (cos ? sin 2 ) 3 3

A. 470 B. 490 C. 495 D. 510 12、等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是( A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 二、填空题 1、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则



an 的最小值为__________. n

2、在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。

3、设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 T

n

?

设 n0 17 Sn ? S2 n , n ? N *. an?1

T 为数列{ Tn }的最大项,则

n0 =



7

4、设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



n+1 5、已知数列{an}的通项公式 an =log2( ) (n∈N*),其前 n 项之和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正整数 n 的最小值是 n+2 _____ 三、简答题 1、已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1 (n ? N? ,且 n ? 2) , a4 ? 81 . ⑴求数列的前三项 a1 , a2 , a3 ; ⑵数列 ? an ? p ? 为等差数列,求实数 p 的值;
? n ? ? 2 ?

⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

2、 .设等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 , 2 且数列 ?an ? 各项均正。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

3 1 1 3、 .已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= (n∈N*). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

8


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