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D2


第三节

高阶导数

一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则

一、高阶导数的概念
引例:变速直线运动
速度 加速度 即 即 v ? s?

a ? ( s?)?

定义. 若函数 y ? f ( x) 的导数 y? ? f ?( x) 可导, 则称
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 或 即

y?? ? ( y?)?

d2 y d dy 或 ? ( ) 2 d x dx dx

类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,

n ? 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作



例1. 设
解:



y? ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x 2 ? ? ? nan x n ?1 y?? ? 2 ?1a2 ? 3 ? 2a3 x ? ? ? n(n ? 1)an x n ? 2

依次类推 , 可得

y

( n)

? n! a n

(n) 例2. 设 y ? e a x , 求 y .

解:

2 ax 3 ax ? ? ? ? ? y? ? a e , y ? a e , y ? a e , ? , ax

y
例3. 设

( n)

?a e

n ax

特别有: (e x ) ( n) ? e x 求 解: y ? ?

1 y? ? ? 1? x
1 y?? ? ? (1 ? x) 2

1 1 2 1? 2 ? ? ? ? ? , y ? (?1) , , y ?? 2 3 1? x (1 ? x) (1 ? x)

?,

y

(n)

? (?1)

n ?1

(n ? 1)!
(1 ? x) n

例4. 设



解:

y? ? cos x ? sin( x ? π ) 2
π ? π) y?? ? cos( x ? π ) ? sin( x ? 2 2 2

? sin( x ? 2 ? π ) 2
π) y??? ? cos( x ? 2 ? π ) ? sin( x ? 3 ? 2 2

一般地 , 类似可证:

) (sin x) ( n ) ? sin( x ? n ? π 2

(cos x)

( n)

) ? cos( x ? n ? π 2

(n) ax 例5 . 设 y ? e sin bx (a , b 为常数 ) , 求 y .

解: y? ? a e a x sin bx ? b e a x cos bx

? e (a sin bx ? b cos bx)

ax

?e

ax

a ? b sin(bx ? ? )
2 2

b (? ? arctan ) a

y?? ? a 2 ? b 2
? a 2 ? b 2 e a x a 2 ? b 2 sin(bx ? 2? )
a ?( n b) ( y ?
2

??
2

b n sin b x ? cos b x ) a x 2 2 2 2 ? ) (? ? (a ? b2 ) e sin(bx a2 a 2? ?n b

a

cos ?

sin ?

b arctan ) a

(n) f (0) 存在的最高 求使 例6. 设 f ( x) ? 3x ? x x , 2 阶数
3 2

分析:

4 x3 , f ( x) ? 2 x3 ,

x?0 x?0

2 x3 ? 0 ? (0) ? lim ? f? 2 ?0 ? 12 x , x x? 0 ? f ?( x) ? 3 2 4x ? 0 6 x , ? f ? (0) ? lim ?0 ? x x? 0 6 x2 ? 0 ??(0) ? lim ? 又 f? 24 x , ?0 x x? 0 ? f ??( x) ? 12 x , 12 x 2 ? 0 ??(0) ? lim ? f? ?0 x x? 0 ???(0) ? 24 , ? f ???(0) 不存在 . 但是 f ? ???(0) ? 12 , f ?

x?0 x?0 x?0 x?0

二、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则

(C为常数)
n(n ? 1) 2! n(n ? 1) ? (n ? k ? 1) ??? k!

规律

莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律

例7.
2x


2

解: 设 u ? e , v ? x , 则

u ( k ) ? 2 k e 2 x ( k ? 1 , 2 ,?, 20 ) v? ? 2 x , v?? ? 2 ,

v (k ) ? 0
y
( 20)

(k ? 3 ,?, 20)
2

代入莱布尼茨公式 , 得

?2

20 2 x

20 ?19 18 2 x e ? x ? 20 ? 2 e ? 2 x ? 2 e ?2 2!
19 2 x

例8. 设



1 2 ? ?1 ( 1 ? x ) y ? y ? , 即 解: 2 1? x 用莱布尼茨公式求 n 阶导数

(1 ? x 2 )
令 由 由 即y
(n)

2x
得 得

2
y ( 2 m) (0) ? 0

得 y ( 2 m ?1) (0) ? (?1) m (2m) ! y ?(0)

n ? 2m (m ? 0,1, 2,?) (0) ? ? m m (? 1) ?(( 2 m , ( 2m n? ? ?(0 ? ? 1) ! ) !2 ym )1 ??

1) y ( 2 m?? (00 )? ,

内容小结
高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 如下列公式 ) (sin x) ( n ) ? sin( x ? n ? π 2

) (cos x) ( n) ? cos( x ? n ? π 2 n! 1 (n) n ? ? ? (?1) a?x (a ? x) n ?1

(4) 利用莱布尼茨公式


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