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等差数列与等比数列的性质及其应用



××××中学教学设计方案
年 课 题
等差数列与等比数列的性质及其应用

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星期





第三章 第四节

教 学 目 的

知 识 目 标 能 力 目 标 德 育 目 标

能在实际问题中建立等差、等比数列、递推数列模型,并能运用数列知识来解 决实际问题。

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

通过在实际问题中对知识的应用树立学生严谨的学习态度,良好的学习习惯。

教学重点

等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质。

教学难点

等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质。

教学方法

讲授法

以等差、等比数列为载体,构建数列与个章节的联系,显示了两种申数列的性质的综

学法指导

合度和灵活度,不仅对性质进行记忆,而且具备应用数列知识解决问题的意识。





黑板、粉笔

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教学环节
(一) 高考要求









(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方 法,并能根据递推公式写出数列的前几项; (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简 单的实际问题; (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简 单的实际问题。

(二) 知识点

1.一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= ? 2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d

S1 ( n ? 1) ?S n ? S n ?1 ( n ? 2) ?
(其中 a1 为首项、

an=ak+(n-k)d

ak 为已知的第 k 项) 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个常 数
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3.等差数列的前 n 项和公式:Sn= na1 ? Sn= na n ?

n(n ? 1) d 2

Sn=

n( a1 ? a n ) 2

n( n ? 1) d 2

当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时(a1≠0) n=na1 是关 ,S 于 n 的正比例式
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4.等差数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an=

S 2 n ?1 2n ? 1

5.等差中项公式:A=

a?b 2

(有唯一的值) 。 an= ak qn-k (其中 a1 为首项、ak 为已

6.等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 知的第 k 项,an≠0)

7.等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1

(是关于 n 的正比例式);

a1 (1 ? q n ) 当 q≠1 时,Sn= 1? q
8.等比中项公式:G= ? ab

Sn=

a1 ? a n q 1? q

(ab>0,有两个值)

9.等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m S3m、……仍为等差数列。 10.等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq 11.等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq

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教学环节









12.等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m S3m、……仍为等比数列(当 m 为偶数且公比为-1 的情况除外)
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13.两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 14.两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an ? bn}、 ? 等比数列
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? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为 ? bn ? ? b n ?

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15.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16.等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列

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17.三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 18. 三个数成等比的设法: a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法: 3,a/q,aq,aq3 (因 a/q 为其公比为 q 2 >0,对于公比为负的情况不能包括) 19.{an}为等差数列,则 c

? ? (c>0)是等比数列
an

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20.{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c ? 1) 是等差数列。 (三) 题型讲解 例 1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比 q 。 解:设等差数列的通项 an = a1+(n-1)d (d≠0) 根据题意得 解得 a32 = a2a6
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即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),

1 a1 ? ? d 2

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a a ? 2d 所以 q ? 3 ? 1 ? a2 a1 ? d

1 ? d ? 2d 2 ? 3. 1 ? d ?d 2

例 2 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1 成等比数列,且 a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项 an,bn 解: 依题意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 ① ②
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∵ an、bn 为正数, 由②得 an?1 ?

bn bn?1 , an?2 ? bn?1bn?2 , bn ? bn?2 ,

代入①并同除以 bn?1 得: 2 bn?1 ? ∴ { bn } 为等差数列。 ∵ b1 = 2 , a2 = 3 , a 2 ? b1b2 , 则b2 ?
2

9 2

第 3 页 共 6 页

教学环节










bn ? 2 ? (n ? 1)(

9 2 (n ? 1) 2 , ? 2) ? (n ? 1),? bn ? 2 2 2
n(n ? 1) , 2 n(n ? 1) 2
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∴当 n≥2 时, a n ?

bn bn ?1 ?

又 a1 = 1,当 n = 1 时成立, ∴ a n ?

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例 3 在等比数列{an}的前 n 项中,a1 最小,且 a1+an=66,a2 an-1=128,前 n 项和 Sn=126, 求 n 和公比 q
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解:∵{an}为等比数列 ∴a1·an=a2·an-1 由 a1·an=128 , a1+an=66 且 a1 最小 得 a1=2 ,an=64

Sn ? 126,?
解得 q ? 2

a1 ? an q 2 ? 64q ? 126,即 ? 126 1? q 1? q

? 2 ? qn?1 ? 64,? 2n ? 6,
解得 n=6, ∴n=6,q=2
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例 4 已知:正项等比数列{an}满足条件: ① a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 121; ②

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 25 ; a1 a2 a3 a4 a5
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求 ?an ? 的通项公式 an

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解:易知 q ? 0 , q ? 1 ,

由已知得

a1 (1 ? q 5 ) ? 121 1? q

①,

1 (1 ? q 5 ) a5 ? 25 1? q



①÷②得 a1 a5 ?

121 121 11 2 ,即 a 3 ? ,∴ a3 ? 25 25 5

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教学环节
①×②得









(1 ? q 5 ) 2 1 ? q ? q2 ? q3 ? q4 ? 552 ,即 ? 55 , q 4 (1 ? q) 2 q2

即 (q ?

1 2 1 1 7?3 5 ) ? (q ? ) ? 56 ? 0 ,∴ q ? ? 7 ,即 q ? q q q 2
n ?3

∴ a n ? a3 q

?

11 7 ? 3 5 n?3 ( ) 5 2

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教学环节
补充作业
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1.数列 1,1/3,1/7,1/16,1/31,…的一个通项公式为 an= 2. 数列 a,b,a,b,…的一个通项公式 an=

答案:1/(2n─1) ; 答案: [(a+b)+(─1)n─1(a─b)] ; ; 答案:2─1/2n─1
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1 2

3.数列{an}的前 n 项之和为 Sn=3+2n,则其通项公式为 an= 4.数列{an}满足 a1=1,an=an─1/2+1 (n?2),求其通项公式
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5.数列{an}中,已知 a1=c,an+1=pan+q, (p≠1),求 an 的通项公式 6.数列{an}满足 a1=1/2,a1+a2+…+an=n2an,求 an
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答案: (略)

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答案:a1+a2+…+an=n2an,a1+a2+…+an─1= (n ? 1) 2 an─1 ?an/an─1=(n─1)/(n+1) 取 n=2,3,4,…,n 代入上式,各式相乘得:

an/a1=

2a1 n ?1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 3 2 1 1 ? ? ? ??? ? ? = = n ?1 n n ?1 n ? 2 5 4 3 n(n ? 1) n(n ? 1)

本课小结

等差、等比数列的定义、通项公式、性质。

布置作业

课后练习 补充作业

课后自评

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