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自动控制原理课后习题答案


第一章 引论
1-1 试描述自动控制系统基本组成,并比较开环控制系统和闭环控制系统的特点。 答: 自动控制系统一般都是反馈控制系统,主要由控制装置、被控部分、测量元件组 成。控制装置是由具有一定职能的各种基本元件组成的,按其职能分,主要有给定元 件、比较元件、校正元件和放大元件。如下图所示为自动控制系统的基本组成。

开环控制系统是指控制器与被控对象之间只有顺向作用, 而没有反向联系的控制 过程。此时,系统构成没有传感器对输出信号的检测部分。开环控制的特点是:输出 不影响输入,结构简单,通常容易实现;系统的精度与组成的元器件精度密切相关; 系统的稳定性不是主要问题;系统的控制精度取决于系统事先的调整精度,对于工作 过程中受到的扰动或特性参数的变化无法自动补偿。 闭环控制的特点是:输出影响输入,即通过传感器检测输出信号,然后将此信号 与输入信号比较,再将其偏差送入控制器,所以能削弱或抑制干扰 ;可由低精度元件 组成高精度系统。 闭环系统与开环系统比较的关键,是在于其结构有无反馈环节。 1-2 请说明自动控制系统的基本性能要求。 答: 自动控制系统的基本要求概括来讲, 就是要求系统具有稳定性、 快速性和准确性。 稳定性是对系统的基本要求,不稳定的系统不能实现预定任务。稳定性通常由系 统的结构决定与外界因素无关。对恒值系统,要求当系统受到扰动后,经过一定时间 的调整能够回到原来的期望值(例如恒温控制系统) 。对随动系统,被控制量始终跟 踪参量的变化(例如炮轰飞机装置) 。 快速性是对过渡过程的形式和快慢提出要求,因此快速性一般也称为动态特性。 在系统稳定的前提下, 希望过渡过程进行得越快越好, 但如果要求过渡过程时间很短, 可能使动态误差过大,合理的设计应该兼顾这两方面的要求。 准确性用稳态误差来衡量。在给定输入信号作用下,当系统达到稳态后,其实际 输出与所期望的输出之差叫做给定稳态误差。显然,这种误差越小,表示系统的精度 越高,准确性越好。当准确性与快速性有矛盾时,应兼顾这两方面的要求。 1-3 请给出图 1-4 炉温控制系统的方框图。 答:

炉温设定

+ -

放大器

电动机构

加热器

炉子

炉温

热电偶

1-4 请给出图 1-7 热工水温控制系统方框图,说明系统如何工作以保持热水温度为期 望值,并指出被控对象、控制装置、测量装置及输入量和输出量。 答:
冷水 流量计 蒸汽 + + 水温

给定水温

温度控制器

阀门

热交换器

温度计

冷水在热交换器中由通入的蒸汽加热,得到一定温度的热水,冷水流量变化用流 量计测量,温度传感器不断测量热水温度,并在温度控制器中与给定温度比较,当实 际水温高于设定温度值时,输出的偏差会控制蒸汽阀门关小,进入热交换器的蒸汽量 减少,水温降低,直至偏差为零。在该系统中,冷水流量为扰动量,当冷水流量变大 时,热水温度将有所降低。当流量计测得冷水流量变化时,系统按前馈控制温度控制 器,使其阀门开大或关小来改变蒸汽量,从而补偿因冷水流量变化引起的热水温度变 化。 被控对象:热交换器;控制装置:温度控制器;测量装置:流量计和温度计;输 入量:给定水温;输出量:实际水温。 1-5 如图 1-12 所示的家用电冰箱控制系统示意图, 请画出电冰箱温度控制系统原理方 框图,并说明其工作原理。 答:
冰箱室温设定 + 温度检测转换装置 控制盒 继电器 压缩冷却蒸发 冰箱 冰箱室温

控制盒是一个控制装置。冰箱室温由控制盒中元件设定,温度检测转换装置反应冰 箱实际室温的变化。室温的设定值与实际值比较,其偏差通过控制盒校正装置,控制 继电器闭合或断开,从而控制压缩机的运行或停止。由于压缩机的作用,管道内循环 气体的温度得到改变,蒸发器向室内散发冷气,直至箱体室温与设定室温一致。 1-6 图 1-13 为谷物湿度控制系统示意图。在谷物磨粉生产过程中,磨粉前需控制谷物 湿度,以达到最多的出粉量。谷物按一定流量通过加水点,加水量由自动阀门控制。 加水过程中,谷物流量、加水前谷物湿度及水压都是对谷物湿度的扰动。为提高控制 精度,系统中采用了谷物湿度顺馈控制,试画出系统方框图。

答:
输入谷物 湿度测量 水源 输出谷物 期望湿度 + 调节器 湿度测量 自动阀门 谷物流 输出谷物

第二章 控制系统数学模型
2-1 请列写出图 2-53 的系统传递函数,输入量为 u i (t) ,输出量为 u o (t) 。 答:
1 i1dt ? R1 ? i1 ? i2 ? ? 0 C1 ?
ui ? R1 ? i2 ? i1 ? ? uo

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

uo ? R2i2 ?

1 i2dt C2 ?

1 I1 ? s ? ? R1I1 ? s ? ? R1I 2 ? s ? ? 0 sC1
Ui ? s ? ? R1I 2 ? s ? ? R1I1 ? s ? ? U o ? s ?

Uo ? s ? ? R2 I 2 ? s ? ?
I2 ? s ? ? 1

1 I2 ? s ? sC2
Uo ? s?

? 1 ? ? R2 ? ? sC2 ? ?

I1 ? s ? ?

R1 Uo ? s? ? 1 ?? 1 ? ? R1 ?? R2 ? ? ? sC2 ? ? sC1 ??

(8)

Uo ? s?

? 1 ?? 1 ? ? R1 ?? R2 ? ? ? sC sC 2 ? ? 1 ?? ? Ui ? s ? ? 1 ?? 1 ? R1 ? R1 ?? R2 ? ? ?? sC sC sC1 2 ? ? 1 ??

(9)

2-3 试推出图 2-55 中无源网络的微分方程。 答:
Uo ? s ? Ui ? s ? ? R2 ? R1R2Cs R1 ? R2 ? R1R2Cs

(1) (2) (3)

R1R2CsU o ? s ? ? ? R1 ? R2 ?U o ? s ? ? R1R2CsU i ? s ? ? R2U i ? s ?

R1R2C uo ? t ? ? ? R1 ? R2 ? uo ? t ? ? R1R2C ui ? t ? ? R2ui ? t ?

2-5 已知系统的传递函数为: 系统的单位阶跃响应。 答:
C ?s? ? ?s 2 ? 3s ? 2 s ? s ? 1?? s ? 2?

C ?s? R?s?

?

2 ,系统初始条件为 C ? 0? ? ?1 , C ? 0 ? ? 0 ,试求 s 2 ? 3s ? 2

(1) (2) (3) (4)

? ? 1 e ? at e ? bt e ? ct F ?1 ? ? ? ?? ? ? s ? a ?? s ? b ?? s ? c ? ? ? ? b ? a ?? c ? a ? ? a ? b ?? c ? b ? ? a ? c ?? b ? c ? ?

C ? s? ?

1 4 2 ? ? s s ?1 s ? 2

C ? t ? ? ?2e?t ? e?2t , cons tan t ? ?1

2-6 某系统在阶跃信号 r(t)=1(t)、零初始条件下的输出响应 c ? t ? ? 1 ? e?2t ? e?t ,试求系统的传递 函数 G(s)和脉冲响应 c? ? t ? 。 答:
c?s? ? r ?s? ? 1 1 1 ? ? s s ? 2 s ?1 1 s

(1) (2)

G?s? ?

c? s? r ? s?

?

s 2 ? 4s ? 2 s 2 ? 3s ? 2

(3) (4)
x1 ? t ? ? r ? t ? ? c ? t ? ? n1 ? t ? x2 ? t ? ? K1x1 ? t ? x3 ? t ? ? x2 ? t ? ? x5 ? t ?

c? ? t ? ? c ? t ? ? ? ?t ? ? 2e?2t ? e?t

2-7 系统微分方程组:

? x3 ? t ? dt x5 ? t ? ? x4 ? t ? ? K 2n2 ? t ? T

dx4 ? t ?

d 2c ? t ? dt 2

?

dc ? t ? dt

? K0 x5 ? t ?

式中, K0 、 K 1 、 K 2 和 T 均为常数,试建立以 r ? t ? 、 n1 ? t ? 、 n2 ? t ? 为输入量,以 c ? t ? 为输出量 的系统结构图。 答:
n2 ? s ?

n1 ? s ?
r ?s?

K2 K1

- x1 ? s ? -

x2 ? s ?

x3 ? s ? 1 Ts -

x4 ? s ?

- x5 ? s ?

K0 s ?s
2

c?s?

2-8 已知系统结构图如图 2-56 所示,当 R ? s ? ? 0 、 N ? s ? ? 0 时,试求: (1) E ? s ? 到 C ? s ? 的前向通道传递函数 G ? s ? ; ( 2 ) E ? s ? 到 B ? s ? 的开环传递函数 GK ? s ? ; ( 3 ) R ? s ? 到 E ? s ? 的误差传递函数 GE ? s ? ; ( 4 ) R ? s ? 到 C ? s ? 的闭环传递函数 GB ? s ? 。 答:
G ?s? ? K1 Ts ? 1 K1K 2 Ts ? 1

(1) (2) (3)

GK ? s ? ?

GE ? s ? ?

1 K1K 2 1? Ts ? 1

K1 GB ? s ? ? Ts ? 1 KK 1? 1 2 Ts ? 1

(4)

2-9 试通过结构图等效变换,求图 2-57 所示各控制系统传递函数 C ? s ? / R ? s ? 。 答:
Ga ? s ? ? Gb ? s ? ? Gc ? s ? ? Gd ? s ? ? G1G2 ? G2G3 1 ? G2 H1 ? G1G2 H 2 G1G2 ? G2G3 1 ? G1G2 H1 G1G2G3 1 ? G1H1 ? G2 H 2 ? G3H3 ? G1H1G3H3 G1G2G3G4 1 ? G1G2G3G4 H3 ? G2G3H1 ? G3G4 H 2

(1) (2) (3) (4)

2-10 用结构图化简的方法,将图 2-58 所示结构图化简,并求出其给定信号和扰动信 号的闭环传递函数。 答:
GR ? s ? ? GN ? s ? ? G1G2G3G4 ? G1G2G5 1 ? G1G2G3G4 ? G1G2G5 ? G2G3H GN G1G2G3G4 ? GN G1G2G5 ? G3G4 ? G5 1 ? G1G2G3G4 ? G1G2G5 ? G2G3H

(1) (2)

2-11 试通过对结构图的化简,求图 2-59 所示系统的传递函数。 答:
C ? s? R?s? C ?s? R? s? E ?s? R?s? ? ? ? G1G2G3 ? G4 1 ? G1G2 H1 ? G2 H1 ? G2G3H 2 G1G2G3G4 1 ? G2G3H1 ? G3G4 H 2 ? G1G2G3G4 H3 1 1 ? G2G3H1 ? G3G4 H 2 ? G1G2G3G4 H3

(1) (2) (3)

2-12 绘制图 2-60 系统结构图对应的信号流图,并用梅逊公式求系统传递函数。

答:
? H1 ? s ?
R?s?

N ?s?
1

H2 ?s?

1

G1 ? s ?

1

G2 ? s ?

1

C ?s?

?H3 ? s ?

C ? s? R?s? C ?s?

? ?

G1G2 1 ? G2 H 2 ? G1G2 H3 G1G2 H1 ? G2 1 ? G2 H 2 ? G1G2 H3

(1) (2)

N ?s?

2-14 有一个复杂液位被控对象,其液位阶跃响应实验结果如表 2-4 所示:
表 2-4 液位阶跃响应实验结果 t/s h/cm 0 0 10 0 20 0.2 40 0.8 60 2.0 80 3.6 100 5.4 140 8.8 180 11.8 250 14.4 300 16.6 400 18.4 500 19.2 600 19.6

试: ( 1 )画出该液位被控对象的阶跃响应曲线; ( 2 )若该对象用有延迟的一阶惯性环节近似,请用近似法确定延迟时间 ? 和时间 常数 T 。 答:
20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

100

200

300

400

500

600

? ? 40s , T ? 270s 。

2-15 使用梅逊公式求图 2-62 系统信号流图的传递函数。 答:
C ?s? R? s? C ?s? R?s? ? ? G1G2G3G4G5 1 ? G2 H1 ? G3 H 2 ? G4 H3 ? G2G3G4G6 ? G2 H1G4 H3 abcd 1 ? af ? bg ? ch ? abce ? afch

(1) (2)

第三章 控制系统时域分析法
3-1 已知系统脉冲响应分别为
k ? t ? ? 0.0125e?1.25t , k ? t ? ? 5t ? 10sin(4t ? 45? )

试求系统闭环传递函数。 答:
?1 ? s ? ? 0.0125 1 s?4 , ?2 ? s ? ? 2 ? 5 2 ? 2 s ? 1.25 s s ? 16

3-2 已知二阶系统的单位阶跃响应为
c ? t ? ? 1 ? 1.25e?1.2t sin(1.6t ? 0.93)

试求系统的动态性能指标 ? % 和 t s 。 答:
1? e ???n t 1?? 2 sin ?n 1 ? ? 2 t ? ? ? 1 ? 1.25e ?1.2t sin ?1.6t ? 0.93?

?

?

(1) (2) (3) (4)

? ? 0.6 , ? ? 0.93 ?n ? 2.0 ,

?% ? e
ts ? 3

?

??
1? ? 2

? 100% ? e

?

3? 4

??n

? 2.5s

3-3 已知控制系统的单位阶跃响应为
h ? t ? ? 1 ? 0.2e?60t ? 1.2e?10t

试确定系统的阻尼比和自然频率。 答:
h? ? t ? ? ?12e?60t ? 12e?10t

(1) (2) (3)

h? ? s ? ?

600 s 2 ? 70s ? 600

2 ?n 600 ? 2 2 s ? 2??n s ? ?n s ? 70s ? 600 2

3-4 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G? s? ? K s ?Ts ? 1?

其中, K ? 3.2 , T ? 0.2 。求: ? 、 ?n 、 ? % 、 t s 。 答:
Gc ? s ? ? 3.2 0.2s 2 ? s ? 3.2
? 0.625? 1? 0.6252

(1)
t s ? 1.2 s ,

? ? 0.625 , ?% ? e ?n ? 4 ,

(2)

3-5 设图 3-35(a)所示系统的单位阶跃响应如图 3-35(b)所示,试确定系统参数。 答:
?? s? ? K2 K1 s 2 ? as ? K1
?

(1) (2) (3) (4) (5)

??
1? ? 2

?% ? e
tp ?

?

1 3

? ?n 1 ? ? 2

? 0.1

? ? 0.33 , ?n ? 33.3
K2 ? 3 , K1 ? 1109 , a ? 22

3-6 设角速度指示随动系统结构图如图 3-36 所示。若要求系统单位阶跃响应无超调,且调 节时间尽可能短,问开环增益应取何值,调节时间是多少? 答:
??s? ? K 0.1s 2 ? s ? K

(1) (2)

K ? 2.5 ,ts ?

3

??n

? 0.6s

3-7 已知系统的特征方程,试判别系统的稳定性,并确定在右半 s 平面根的个数及纯虚根。 答:
D ? s ? ? s5 ? 2s 4 ? s ? 2 ? 0 ,系统不稳定, s ? 1 , s ? i , s ? ?i ; D ? s ? ? s5 ? 2s 4 ? 24s3 ? 48s 2 ? 25s ? 50 ? 0 ,系统不稳定, s ? 1 , s ? 5i , s ? ?5i ;

D ? s ? ? s5 ? 3s 4 ? 12s3 ? 24s 2 ? 32s ? 48 ? 0 ,系统临界稳定, s ? 2i , s ? ?2i ;
D ? s ? ? s5 ? 2s 4 ? 2s 3 ? 4s 2 ? 11s ? 10 ? 0 ,系统不稳定,具有 2 个正实数根。

3-8 图 3-37 是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图,试确定使系统稳定的 K 值范围。 答:
?? s? ? K ? 4s 2 ? 2s ? 1? s5 ? s 4 ? 4s3 ? 4Ks 2 ? 2Ks ? K

(1) (2)

0.5361 ? K ? 0.9326

3-9 图 3-38 是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统,其目的在于获得希望的辐射水平,增益 4.4 是石墨棒位置和辐射水平的变换系数,辐射传感器的时间常数为 0.1,直流增益为 1,设 控制器传递函数为 1。 (1)求使系统稳定的功率放大器增益 K 的取值范围; (2)设 K=20,传感器的传递函数
H ?s? ? 1

? s ?1

? 不一定是 0.1,求使系统稳定的 ? 值取值范围。

答:
?? s? ?

? s ? ?1 ? 6? ? s 2 ? 6s ? 2.64K
3

2.64K ?? s ? 1?

(1) (2) (3)

0 ? K ? 36.36 ? ? 0.1 , K ? 20 , 0 ?? ? 0.3571

3-10 单位反馈系统的开环传递函数为
G ? s? ? K s ? s ? 3?? s ? 5?

要求系统特征根的实部不大于-1,试确定开环增益的取值范围。 答:
?? s? ? K s ? s ? 3?? s ? 5? ? K K s ? 1 s ? 2 ? 1 ?? 1 ?? s1 ? 4? ? K

(1) (2) (3)
1 ,若用其测量容器内的水温,当插入水中 4min 才能显 Ts ? 1

? ? s1 ? 1? ?

8 ? K ? 18

3-11 水银温度计的传递函数为

示出该水温度的 98%的数值(设温度计插入水前处在 0℃ 的刻度上) 。若加热容器使水温按 2℃ /min 的速度匀速上升,问温度计的稳态指示误差有多大? 答:
e
? 240 T

? 0.02 , T ? 61.35s
1 1 1 t ,R ? s ? ? ? 2 30 30 s

(1) (2) (3)

r ?t ? ?

E ?s? ?

1 Ts ? 1 1 Ts ? 1 1? ? T s
Ts 1 1 T ? ? 2? Ts ? 1 30 s 30
7 ? s ? 1?

lim sE ? s ? R ? s ? ? s ?
s ?0

(4)

3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G ?s? ?

s ? s ? 4 ? ? s 2 ? 2s ? 2 ?

试分别求出当输入信号 r ? t ? ? 1? t ? 、 t 和 t 2 时系统的稳态误差。 答:
lim sE ? s ? R ? s ? ? s ?
s ?0

1 ? R?s? 1 ? G?s?

(1) (2) (3) (4)

ess1 ? 0

ess 2 ?

7 8

ess 3 ? ?

3-13 单位反馈系统的开环传递函数为
G ?s? ? 25 s ? s ? 5?

求各静态误差系数和 r ? t ? ? 1 ? 2t ? 0.5t 2 时稳态误差。 答:
lim sE ? s ? R ? s ? ? s ?
s ?0

1 ? R?s? 1 ? G?s?

(1) (2) (3)

Kv ? 5 , Ka ? 0 Kp ? ? ,

1 A B C r ? t ? ? A ? Bt ? Ct 2 ,ess ? ? ? 2 1 ? K p Kv K a

3-14 系统结构图如图 3-39 所思。已知 r ? t ? ? n1 ? t ? ? n2 ? t ? ? 1? t ? ,试分别计算 r ? t ? 、 n1 ? t ? 和 n2 ? t ? 作用时的稳态误差,并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的稳态误差的影响。 答:
E ?s? R?s? ? 1 K 1 1 1? ? ? T1s ? 1 s T2 s ? 1

(1)

1 1 ? s T2 s ? 1 ?? K 1 1 N1 ? s ? 1? ? ? T1s ? 1 s T2 s ? 1 E ?s? 1 T2 s ? 1 ?? K 1 1 N2 ? s ? 1? ? ? T1s ? 1 s T2 s ? 1 E ?s?
essr ? 0 , essn1 ? ?

(2)

(3)

1 essn 2 ? 0 , K

(4)

3-15 大型天线伺服系统结构图如图 3-40 所示,其中 ? ? 0.707 、 ?n ? 15 、? ? 0.15s 。当干扰信 号 n ? t ? ? 10 ?1? t ? ,输入 r ? t ? ? 0 时,试确定能否调整 K a 的值使系统的稳态误差小于 0.01? 答:
E ?s? ?? 1?
2 ?n 2 s ? s ? 2??n s ? ?n ? 2 2 ?n Ka ? 2 2 s ? s ? 2??n s ? ?n ? ? s ?1

N ?s?

(1)

K a ? 1000

(2)

3-16 系统结构图如图 3-41 所示。 (1)为确保系统稳定,如何取 K 值? (2)为使系统特征根全部位于 s=-1 的左侧,K 应取何值? (3)若 r ? t ? ? 2t ? 2 时,要求系统稳态误差 ess ? 0.25 ,K 应取何值?

答:
0 ? K ? 15 1.02 ? K ? 9.3 8 ? K ? 15

(1) (2) (3)

3-17 复合控制系统结构图如图 3-42 所示,图中 K 1 、 K 2 、 T1 、 T2 均为大于零的常数。 (1)确定当闭环系统稳定时,参数 K 1 、 K 2 、 T1 、 T2 应满足的条件; (2)当输入 r ?t ? ? V0t ,选择校正装置 Gc ? s ? ,使得系统无稳态误差。 答:
C ? s? R?s? ? s ?T1s ? 1??T2s ? 1? ? K1K2 Gc ? s ??T1s ? 1? ? K1K2

(1) (2)

K1K 2T1T2 ? T1 ? T2

K2 ?1 s ?T2 s ? 1? E ?s? ? R?s? ? K1 K2 1? ? T1s ? 1 s ?T2 s ? 1? ?Gc ? s ? ?

(3)

Gc ? s ? ?

s ?T2 s ? 1? K2

(4)

3-18 设计题 答:
??s? ?
?

Ka s 2 ? ?1 ? Ka K2 ? s ? Ka K1
?? 0.1

(1)

??
1? ? 2

e

(2) (3) (4) (5) (6)

3.5

??n

?? 9s

2 K a ? ?n

1 ? K a K 2 ? 2??n

? ?? 0.6 , ?n ?? 0.65 rad s , K1 ? 1 , K a ? 0.42 , K 2 ? 0.5238

第四章 控制系统的根轨迹法
4-1 已知系统开环零点分布如图 4-28 所示,试绘制相应的根轨迹图。 答:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) 4-2 已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数如下: (1) G ? s ? ? (3) G ? s ? ?
s 2 ? s ? 2?? s ? 4? K s ? s ? 4? ? s 2 ? 4s ? 20? K ? s ? 1?

(2) G ? s ? ? (4) G ? s ? ?

K s ? s ? 1?? s ? 2?? s ? 5?
s ? s ? 1? ? s 2 ? 4 s ? 16 ? K ? s ? 1?

K>=0,画出系统的根轨迹图。 答:

(1)

(4)

4-3 给定系统如图 4-29 所示,K>=0,试画出系统的根轨迹,并分析增益对系统阻尼特性的 影响。 答: 随着 K 值的增加,系统的阻尼越小,系统将产生振荡,但结构参数决定了系统稳定。

4-4 已知系统的开环传递函数为
G?s? H ?s? ? s 2 ? s ? 1?? s ? 4? Kr ? s ? 2 ?

试画出系统根轨迹的渐近线。 答:
??
n m

? p ??z
i ?1 i j ?1

j

n?m

? ?1

(1) (2)

??

? 2k ? 1?? ? ? , ? ? ,?
n?m 3 3

4-5 已知系的开环传递函数为
G?s? H ?s? ?

? s ? 1?? s ? 2?? s ? 3?

Kr

试画出该系统根轨迹与虚轴的交点。 答:

4-6 同 4-5,求相应的开环根轨迹增益的临界值。 答:
K r ? 60

(1)

4-7 给定控制系统如图 4-30 所示,K>=0,试用系统的根轨迹图确定速度反馈增益 K 为何值 时能使闭环系统极点阻尼比等于 0.7。 答:
1? 10 Ks ?0 s 2 ? s ? 10

(1)

4-8 已知系统的开环传递函数为
G ?s? H ?s? ? Kr s ? s ? 1?? s ? 2?

试绘制该系统完整的根轨迹图。 答: 4-9 已知系统的开环传递函数为
G?s? H ?s? ? Kr s ? s ? 2? ? s 2 ? 2s ? 2?

试绘制该系统的根轨迹图。 答:

4-8 4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G?s? ? K s ? s ? 1?? 0.5s ? 1?

4-9

试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益 K 的范围。 答:

4-11 已知系统的开环传递函数为
G? s? ? K s ? 0.05s ? 1? ? 0.05s 2 ? 0.2s ? 1?

画出系统概略的根轨迹。 答:
G' ? s ? ? K s ? 0.05s ? 0.2s ? 1?
2

(1)

4-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G' ? s ? ? K s ? s ? 1?? 0.5s ? 1?

要求系统的闭环极点有一对共轭复数极点,其阻尼比为 0.5。试确定开环增益 K,并近似分 析系统的时域性能。 答:

4-13 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G ?s? ? s ? s ? 4 ?? s ? 6 ? ? s 2 ? 1.4s ? 1? K ? s 2 ? 2s ? 4 ?

, K ?? 0

试画出系统的根轨迹图,并分析系统稳定时 K 的取值范围。 答:

0 ? K ? 17.8 , 66.8 ? K ? 164

(1)

4-14 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G ? s? ?

K s ? s ? 1?? s ? 2?

K>=0,试画出系统的根轨迹图。 答:

第五章 控制系统的频域分析
5-1 试求图 5-65 的频率特性。 答:
G?s? ? R2 ? R1R2Cs R1 ? R2 ? R1R2Cs R2 ? R1R2Cj? R1 ? R2 ? R1R2Cj?
2 R2 ? ? R1R2C? ? 2 2

(1) (2)
R1R2C? R1 ? R2

G ? j? ? ?

A ?? ? ?

? R1 ? R2 ?

2

? ? R1R2C? ?

, ? ?? ? ? arctan R1C? ? arctan

(3)

1 ,试根据频率特性的物理意义,求在输入 s ?1 信号为 r ? t ? ? sin ? 4t ? 作用下系统的稳态输出 c ? t ? 和 e ? t ?

5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为 G ? s ? ?

答:
c ?t ? ? 2e?2t ? 2cos 4t ? sin 4t 10
9sin 4t ? 2cos 4t 10

(1) (2)
K ,当系统输入 r ? t ? ? sin ?10t ? 时,闭环系 s ?Ts ? 1?

e ?t ? ? r ?t ? ? c ?t ? ?

5-3 已知单位负反馈的开环传递函数为 G ? s ? ?

统的稳态输出为 c ?t ? ? sin ?10t ? 90? ? ,试计算参数 K 和 T 的数值。 (提示:可根据频率特性的物 理意义求解。 ) 答:
A ?? ? ? 1 ?1 T 1 2 ? j? ? ? ? j? ? ? 1 K K

(1)

? ? ? ? ? 1 ?? ?? T 1 2 2 ? ? ? j? ? ? ? j? ? ? 1 ? ? K ?K ?

(2)

T ? 0.1s K ? 10 ,

(3) (2) G ? s ? H ? s ? ?
250 ? s ? 1?

5-4 试绘制下列开环传递函数的幅相特性,并判断其负反馈闭环时的稳定性。 (1) G ? s ? H ? s ? ? 答:
250 s ? s ? 5?? s ? 15?

s ? s ? 5?? s ? 15?
2

(1)系统稳定

(2)系统稳定 5-5 已知系统开环传递函数为
G? s? H ?s? ? K ? s ? 2? s ? s ? 1?

试用乃奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性,并确定使系统稳定的 K 的取值范围。 答:

K ? 1 时系统稳定

5-6 已知最小相位系统的幅相特性,如图 5-66 所示。 (1)试写出该幅相特性相应的传递函数; (2)用奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性; (3)标出增益交界频率、相位交界频率、相位裕量,并写出幅值裕量表达式。 答:

G? s? H ? s? ?

s ? s ? ?1 ?? s ? ? 4 ?? s ? ? 5 ?
2

K ? s ? ? 2 ?? s ? ? 3 ?

?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ,

(1) (2)

GM ? ?20lg G ? j?g ? H ? j?g ?

5-7 若单位负反馈的开环传递函数
G ? s? ? Ke?0.8 s , K ?0 s ?1

试确定使系统稳定的 K 值范围。 答:
G ? j? ? ? K j? ? 1

(1) (2) (3) (2) G ? s ? ? (4) G ? s ? ?
200 s 2 ? s ? 1??10s ? 1?
s ? 6s ? 1? ? s 2 ? 4s ? 25 ? ?10s ? 1?
2

? ? ? ? arctan ?g ? 0.8?g K ? ?g ,
? ? 0 ,0 ? K ? 3.5872

5-8 试绘制下列传递函数的对数幅频特性渐近曲线。 (1) G ? s ? ?

? 2s ? 1??8s ? 1? 40 ? s ? 0.5 ? (3) G ? s ? ? s ? s ? 0.2 ? ? s 2 ? s ? 1? 8 ? s ? 0.1? (5) G ? s ? ? 2 2
答:

2

20 ? 3s ? 1?

s ? s ? s ? 1?? s ? 4s ? 25 ?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 5-9 若传递函数
G ?s? ? K G0 ? s ? s?

证明
?g ? K ?
1

5-10 已知最小相位系统的对数幅频特性渐近曲线如图 5-68 所示,试确定系统的开环传递函 数。 答:
100 G1 ? s ? ? ? 1 ?? 1 ? ? s ? 1?? s ? 1? ? ? ? 1 ?? 2 ?
G2 ? s ? ? ? ?c3 ? 1 ? s ? 1? ?1 ? ?2 ? ? 1 ? s 2 ? s ? 1? ? ? 1 ?

1 G3 ? s ? ?

?1

s

? ? 1 ?? 1 ? s ? 1? ? s ? 1? ? ? ? 2 ?? 3 ?

5-11 已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图 5-69 所示。 (1)写出其开环传递函数; (2)画出相频特性图,并从图上求出和标明相角裕量和幅值裕量; (3)求出该系统达到临界稳定时的开环比例系数 K ; (4)在复数平面上画出奈奎斯特曲线,并标明点 ?1 ? j 0 的位置。 答:
G? s? ? s ? 0.5s ? 1?? 0.2s ? 1?
2

2 ? 2s ? 1?

(1)

(2)

(3)

(4)

5-12 已知 G1 ? s ? 、 G2 ? s ? 和 G3 ? s ? 均为最小相位系统的传递函数,其对数幅频特性渐近曲线如 图 5-70 所示。试概略绘制传递函数
G4 ? s ? ? 1 ? G2 ? s ? G3 ? s ? G1 ? s ? G2 ? s ?

的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。 答:
G1 ? s ? ? K1 ? 180 , G2 ? s ? ?
180 1 , G3 ? s ? ? 9s , G4 ? s ? ? ?1 ? s ?1.25s ? 1? s ? s ? 1? ?8 ?

5-13 已知系统开环传递函数,试根据奈氏判据,确定其闭环稳定的条件:
G ?s? ? K , K ?0 ,T ?0 s ?Ts ? 1?? s ? 1?

(1) T ? 2 时, K 值的范围; (2) K ? 10 时, T 值的范围; (3) K 、 T 值的范围。 答:
G ? j? ? ? G ? j? ? ? G ? j? ? ? K ? ?1 ? j 0 j? ? 2 j? ? 1?? j? ? 1? 10 ? ?1 ? j 0 j? ?Tj? ? 1?? j? ? 1? K ? ?1 ? j 0 j? ?Tj? ? 1?? j? ? 1?
10 ? s 2 ? 2 s ? 5 ?

(1) (2) (3)

5-14 已知系统开环传递函数
G ?s? ?

? s ? 2 ?? s ? 0.5?

试概略绘制幅相特性曲线,并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 答:

P ? 1 , R ? ?1 , Z ? P ? R , Z ? 2 ,系统不稳定

5-15 典型二阶系统的开环传递函数
G?s? ?
2 ?n s ? s ? 2??n ?

若已知 10% ? ? % ? 30% ,试确定相角裕量的范围;若给定 ?n ? 10 ,试确定系统带宽的范围。 答:
?% ? e
?

??
1? ? 2

(1)
1 2?

??

?
2

? arctan

(2) (3)

?b ? ?n 1 ? 2? 2 ? 2 ? 4? 2 ? 4? 4

5-16 设单位反馈控制系统的开环传递函数
G ?s? ? as ? 1 s2

试确定相角裕量为 45 度时的参数值。 答:
?g ? 1 , ? ? arctan ? a?g ? ?

?
4

(1) (2)

a ?1

5-17 已知系统中
G?s? ? 10 , H ? s ? ? 1 ? Kh s s ? s ? 1?

试确定闭环系统临界稳定时的 K h 。 答:
G ? j? ? H ? j? ? ?
K h ?? 0.1

10 ?1 ? Kh j? ? j? ? j? ? 1?

? ?1 ? j 0

(1) (2)

5-18 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图 5-71 所示。要求: (1)写出系统开环传递函数; (2)利用相角裕度判断系统的稳定性; (3)将其对数幅频特性向右平移十倍频程,试讨论对系统性能的影响。 答:
G?s? ? 10 s ?10s ? 1?? 0.05s ? 1?

(1) (2) (3)

? g ? 1 ,? 2 ?
G ? s? ?

?
2

? arctan ?10?g ? ? arctan ? 0.05?g ?

100 ?3 ? ?2 , s ? s ? 1?? 0.005s ? 1?

5-19 对于典型二阶系统,已知参数 ?n ? 3 、 ? ? 0.7 ,试确定截止频率和相角裕度。 答:
?g ? ?n
1 ? 4? 4 ? 2? 2 , ? ?

?
2

? arctan

?g 2??n ? arctan ? arctan 2??n ?g

2? 1 ? 4? 4 ? 2? 2

5-20 对于典型二阶系统,已知 ? % ? 15% 、 t s ? 3s ,试计算截止频率和相角裕度。 答:
?% ? e
ts
??5%
?

??
1? ? 2

(1) (2) (3) (4)

?

3

??n
1 ? 4? 4 ? 2? 2
2? 1 ? 4? 4 ? 2? 2

?g ? ?n
? ? arctan

5-21 某控制系统,其结构图如图 5-72 所示,图中
G1 ? s ? ? 10 ?1 ? s ? 1 ? 8s

, G2 ? s ? ?

4.8 s ? ? s ?1 ? ? 20 ? ?

试按: (1) ? 、 ?g , (2) M r 、 ?g ,来估算时域指标 ? % 和 t s 。 答:
? % ? 0.16 ? 0.4 ?
ts ? K?

? 1 ? ? 1? ? sin ? ?
? 1 ? ? 1 ? ? 1? ? 2.5 ? ? 1? sin ? sin ? ? ? ? ?
2

(1-1) (1-2) (2-1)
2

?g

,K ? 2 ? 1.5 ?

? % ? 0.16 ? 0.4 ? M r ? 1?
ts ? K?

?g

,K ? 2 ? 1.5? M r ? 1? ? 2.5? M r ? 1?

(2-2)

5-22 单位负反馈系统的闭环对数幅频特性如图 5-73 所示。若要求系统具有 30 度的相角裕 度,试计算开环增益应增大的倍数。 答:
Gc ? s ? ? 1

? s ? 1?? 0.8s ? 1?? 0.2s ? 1?
0.5 s ? 0.08s ? 0.508s ? 1?
2

(1) (2) (3)

Go ? s ? ?

? ? arctan

1 ? 0.08?c2 ? ? 0.508?c 6
0.5K
2 2 c 2

?c

?1 ? 0.08? ? ? ? 0.508? ?
c

?1

(4)



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