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千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第74炼 利用几何关系求解圆锥曲线问题


第九章

第 74 炼 利用几何关系求解最值问题

解析几何

第 74 炼 利用几何关系求解最值问题
一 1 基础知识 利用几何关系求最值的一般思路: 1 抓住图形中的定点 定长 通常 求最值相关 2 时 遇到线段和差的最值 常在动点 定点共线的时候取到 因为当动点 定点 共线

便可围成 角形 从而由 角形性质可知两边之和大于第 边 两边之差小于第 边

无法取得最值 所以只有共线时才有可能达到最值 要注意动点 定点相对位置关系 一般 的 寻找线段和的最小值 则动点应在定点连成的线段 应在定点连成的线段延长线 3 若所求线段无法找到最值关系 则可考虑利用几何关系进行线段转移 将其中某些线 若寻找线段差的最小值 则动点

段用其它线段进行表示 进而找到最值位置 4 处理多个动点问题时 可考虑先只让一个动点运动 其他动点 动 察此动点运动

时最值选取的规律 再根据规律让其他点动起来 寻找最值位置 2 常 的线段转移 1 利用对称轴转移线段 2 在圆中 可利用 例1

半径相关的直角 角形 例如半弦 圆心到弦的垂线 半径 或是

线 半径 点 圆心的连线 通过勾股定理进行线段转移 3 在抛物线中 可利用 点到准线的距离等于 点到焦点的距离 的特点进行两个距离

的相互转化 4 在椭圆中 利用两条焦半径的和为常数 可将一条焦半径转移至另一条焦半径 5 在 曲线中 利用两条焦半径的差为常数 意点在 曲线的哪一支 3 1 圆相关的最值问题 已知圆 C 及圆外一定点 P 设圆 C 的半径为 r 则圆 点到 P 点
A

可将一条焦半径转移至另一条焦半径 注

距离的最小值为 PM = PC ? r 结 PC 并延长

最大值为 PN = PC + r

即连
C

P B

M 为 PC

圆的交点

N 为 PC 延长线 圆的交点

2 已知圆 C 及圆内一定点 P 最短的为 解 直径垂直的弦 MN

则过 P 点的所有弦中最长的为直径

弦长的最大值为直径 而最小值考虑弦长公式为 AB = 2 r ? d
2

2

若 AB 最小 则

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d 要取最大 在圆中 CP 为定值 在弦绕 P 旋转的过程中

d ≤ CP

所以 d = CP 时

AB 最小
3 已知圆 C 和圆外的一条直线 l 则圆 点到直线距离的
N

最小值为 PM = d C ? l ? r 过圆心 C 作 l 的垂线 向延长线交圆 C 于 N

距离的最大值为 PN = d C ? l + r

C

垂足为 P

CP

圆 C 交于 M


l
P M

4 已知圆 C 和圆外的一条直线 l 线 解 线长的最小值为 PM

则过直线 l

的点作圆的
M C

l

PM =

CP ? r 2

2

则若 PM 最小 则只需 CP 最小即可

所以 P 点为过 C 作 l 垂线的垂足时

CP 最小

P

∴ 过 P 作圆的 线 则 线长 PM 最短
4 圆锥曲线相关的最值关系 1 椭圆 设椭圆方程为

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) a 2 b2
最小值为 a ? c

焦半径 焦半径的最大值为 a + c

焦点弦 焦点弦长的最小值称为通径 为

2b 2 a

此时焦点弦 焦点所在的坐标轴垂直

2

x2 y2 曲线 设 曲线方程为 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0 ) a b
焦半径 焦半径的最小值为 a ? c 无最大值

焦点弦 焦点弦长的最小值称为通径 为 3 抛物线 设抛物线方程为 y 2 = 2 px

2b 2 a

此时焦点弦 焦点所在的坐标轴垂直

焦半径 由抛物线的焦半径公式可知 焦半径的最小值为原点到焦点的距离 焦点弦 当焦点弦 焦点所在坐标轴垂直时 弦长最小 为 2 p



p 2

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典型例题 例 1 已知在 面直角坐标系中 点 A ( ?1,1) , B ( 3,4 ) 的最小值为___________ 思路 从所求可联想到 点 共线时, 角形两边之和大

P 为 x 轴 一动点 则 PA + PB

于第 边 而 点共线时可能相等 ,由已知可得

AB = 5 ,但从图像 发现无论 P 在何处, PA + PB > AB ,无法取到等号。 即使 P, A, B 共线时
等号也 成立 ,为了取到最值。考虑利用对称转移所求线 段。作 A 关于 x 轴的对称点 A' ,从而有 AP = A' P ,所 以 PA + PB 转化为 PA + PB ,可知当 A , P, B
'

'

点共线时,

( PA
答案

'

+ PB

)

min

= A' B = 41 ,即 ( PA + PB )min = 41

41
1 点共线取得最值的条件 动点位于两定点之间时,则距离和取到最小

小炼有话说

值。同理 当动点位于两定点同一侧时,距离差的绝对值取到最大值。 2 处理线段和 差 最值问题时,如果已知线段无法找到最值关系,则可考虑利用 线

段转移法 ,将某一线段替换成另一长度相等线段,从而构造出取得最值的条件 例 2 设抛物线 y 2 = 4 x 的距离为 d 2 A. 思路 一点 P 到此抛物线准线的距离为 d1 到直线 l : 3 x + 4 y + 12 = 0

则 d1 + d 2 的最小值为 B.

3

16 5

C.

18 5

D.

4

通过作图可观察到直接求 d1 + d 2 的最值比较困难,所以考虑转移某个距离,由已知

可得 d1 为 P 到准线的距离, 所以可根据抛物线定义转移为 PF 其中 F 是抛物线的焦点, F (1,0 ) , 所以 d1 + d 2 = PF + d 2 ,

观察图像可得 答案 A

PF + d 2 ≥ d F ? l =

3 ? 1 + 12 5

=3

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例3

已知过抛物线 y = 4 x 的焦点 F 的弦 抛物线交于 A, B 两点 过 A, B
2

别作 y 轴的

垂线 垂足 别为 C , D

则 AC + BD 的最小值为__________

思路 设抛物线的准线为 l ,由抛物线 y 2 = 4 x 可知 l : x = ?1 , 而由抛物线定义可 观察图像可知 AC = d A ? l ? 1, BD = d B ? l ? 1 。 得

d A ? l = AF , d B ? l = BF







AC + BD = AF ? 1 + BF ? 1 = AB ? 2 , 即 要 求 出 AC + BD 的最小值,只需求出 AB 的最小值,即抛物线焦点弦
的 最 小 值 , 由 抛 物 线 性 质 可 知 当 AB ⊥ x 轴 时 , AB 最 小 , AB min = 2 p = 4 , 所 以

( AC
答案

+ BD )min = 2

2

例 4 已知点 P ? , ?1 ? 在抛物线 E : x = 2 py ( p > 0 ) 的准线
2

?3 ?2

? ?

过点 P 作抛物线的 线 点 N 在圆



点 A 在第一象限
2 2

F 是抛物线的焦点
则 MN 的最小值为 B.

点 M 在 直 线 AF

C : ( x + 2) + ( y + 2) = 1
A. 思路

1 5

6 5

C.

2

D.

6 2 ?1

由图像可知,固定 M 点,则圆 C 找到

到 M 距离的最小值 CM ? r = CM ? 1 ,所以

只需在直线

圆心 C 距离最小的点,即 C 到直线 AF

的距离。 需要确定抛物线方程和 A 点坐标, 由 P ? , ?1 ? 可得 准 线 方 程 为 y = ?1 , 所 以 p = 2 , 抛 物 线 方 程 为

?3 ?2

? ?

x2 = 4 y ? y =

1 2 ? 1 ? x , 焦 点 F ( 0,1) 设 A ? a , a 2 ? , 则 4 ? 4 ? 1 2 a +1 1 1 线斜率 k= a ,从而 k= 4 = a ? a = 4 , 即 A ( 4,4 ) , 3 2 2 a? 2

1 y' = x , 2

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k AF =

4 ?1 3 = , 所 以 直 线 4?0 4 ?6 + 8 + 4 1 ?1 = MN min = 2 5 32 + ( ?4 )

AF

方 程

3x ? 4 y + 4 = 0 , 从 而

答案 A 例 5 抛物线 y = ? x 2 A. 的点到直线 4 x + 3 y ? 8 = 0 距离的最小值是

1 4

B.

4 3

C.

8 5

D.

3

2 思路一 直接利用点到直线距离公式得到距离关于 x 的函数,设抛物线 的点 P x, ? x ,

(

)

则 d P?l =

4 x ? 3x 2 ? 8 5

=

2 ? 20 ? 3? x ? ? + 3? 3 ? 5

2



20 1 4 4 ? = ,所以最小值为 3 5 3 3

思路二 本题也可将直线进行平移,平移至 抛物线相 ,则两直线之间的距离即为所求最 小值。所以只需求 已知直线平行且 抛物线相 的直线,设 线

点 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 所 求 函 数 的

数 y ' = ?2 x , 因 为

4 x + 3 y ? 8 = 0 平 行 , 所 以 ?2 x 0 = ? 4 2 y 0 = ? x0 = ? ,故 线方程为 9 y+

4 2 , 可 得 x0 = , 进 而 3 3 4 4? 2? = ? ? x ? ? ,整理后 9 3? 3?

? 4? ?8 ? ? ? ? 4 ? 3? 4 = , 可得 4 x + 3 y ? = 0 ,所以两直线距离 d = 3 5 3
即抛物线 的点到距离的最小值 答案 B 例 6 已 知 点 M 是 抛 物 线 y2 = 4x 的 一 点
2 2

F 为抛物线的焦点

A 在圆

C : ( x ? 4 ) + ( y ? 1) = 1
A. 思路 圆

则 MA + MF 的最小值为

2

B.

3

C. 动,

4

D.

5

本题含两个动点 M , A ,先固定一个点 距离 M 最 的点为 MC

找最小值的规律。考虑固定 M ,则

圆的交点,即 MA min = MC ? r = MC ? 1 ,所以只需考

虑 MC + MF 的最小值即可, 通过移动 M 可知, 无论 M 位于何处, MC + MF > CF ,

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所以 CF

是最小值。 考虑转移线段, 抛物线的准线 l : x = ?1 ,

则 MF = d M ? l ,所以 MC + MF = MC + d M ? l ≥ d C ? l = 5 即

C





线













MA + MF ≥ MC ? 1 + MF ≥ d C ? l ? 1 = 4
答案 C

x2 y2 例 7 已 知 动 点 P ( x, y ) 在 椭 圆 + =1 25 16 uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r AM = 1, PM ? AM = 0 则 PM 的最小值是
A. 思路

若 点 A 的 坐 标 为 ( 3,0 )

2

B.

3

C.

2

D.

3

由椭圆方程可知 A 即为椭圆的焦点,由 AM = 1 可知 M 是以 A 为圆心,半径为 1

uuuu r

的圆 的点, P 在圆外,且由 PM ? AM = 0 可得 PM ⊥ AM ,所以 PM 即为圆 的 线,

uuuu r uuuu r

uuuu r PM 的 最 小 值 即

线长的最小值,由圆的性质可得

PM =

PA ? r 2 =

2

PA ? 1 , 所以只需找到 PA 的最小 PA min = a ? c = 5 ? 3 = 2 ,故

2

值即可,由椭圆性质可知

PM

min

=

PA min ? 1 = 3

2

答案 B

x2 y2 例 8 设 F1 是椭圆 + = 1 的左焦点 P 是椭圆 的任意一点 25 16
点 M 的坐标为 ( 6,4 ) 则 PM + PF1 的最大值为___________

思路 先作出椭圆图像, 标出定点 M , F1 的位置, 若从 F1 M 入手, 则由图发现无论 P 在何处, PM + PF1 > F1 M 。 所求最大值 符。考虑进行线段转移,发现 PF1 为左焦半径,所以考虑作出右焦点 F2 ( 3,0 ) ,利用

PF1 + PF2 = 2a = 10 进 行线段 转移。 即 PM + PF1 = 10 + PM ? PF2 ,只需 求出

( PM

? PF2

)

max















PM ? PF2 ≤ F2 M





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F2 M =
答案 15 例 9

( 6 ? 3)

2

+ ( 4 ? 0 ) = 5 ,从而可得
2

( PM

+ PF1

)

max

= 10 + F2 M = 15

设 P 是椭圆
2

x2 y 2 + =1 9 5

一点

M,N

别是两圆 C1 : ( x + 2 ) + y = 1 和 C2 :
2 2

( x ? 2)

+ y 2 = 1 的点 则 PM + PN 的最小值和最大值 别为
B.

A. 4,8

2,6

C.

6,8

D.

8,12

思路 本题有 个动点 P, M , N ,但观察可得 PM , PN 之间没 有联系,所以若 PM + PN 达到最小,则只需 PM , PN 达 到
min

别 知














min

P







PM

= PC1 ? r1 = PC1 ? 1, PN

= PC2 ? r2 = PC2 ? 1

,所以 PM + PN ≥ PC1 + PC2 ? 2 ,可知 C1 ( ?2,0 ) , C2 ( 2,0 ) 恰好为椭圆两个定点, 所以由椭圆定义可得 可 知

PC1 + PC2 = 2a = 6 ,所以 ( PM + PN = PC1 + r1 = PC1 + 1, PN
max

)

min

= 6 ? 2 = 4 ,同理

PM
+ PN

max

= PC2 + r2 = PC2 + 1 , 所 以

( PM
例 10

)

max

=6+2 =8

答案 A 设 P, Q 别 为 ? C : x + ( y ? 6) = 2 和 椭 圆
2 2

x2 + y2 = 1 10
___________

的点

则 P, Q 两 点 间 的 最 大 距 离 是

思路 本题中 P, Q 均为动点,所以考虑先固定一点 动, 比如 Q 点, 找此时达到最值时 P 位置的规律, 进而再让

Q

动起来,找到最值。观察图像可得 Q 点固定时, PQ 达到的最大值时 P 在 QC 延长线

? C 的交点处,即 PQ ≤ QC + r ,由于 r = 2 ,所以只需找到 QC 的最大值即可,设

Q ( x, y ) ,而 C ( 0,6 ) ,则 QC = x 2 + ( y ? 6 ) ,由
2 2

x2 + y 2 = 1 可得 x 2 = 10 (1 ? y 2 ) ,代 10

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入消去 x 可得

2? 2 2 ? QC = 10 (1 ? y 2 ) + ( y ? 6 ) = ?9 y 2 ? 12 y + 46 = ?9 ? y + ? + 50 ,因 3? ? 2 2 时 , QC max = 50 ? QC ≤ 5 2 , 从 而 3

2

为 y ∈ [ ?1,1] , 所 以 当 y = ?

PQ ≤ QC + r ≤ 6 2
答案

6 2
历 好题精选

1

2014

安徽



面直角坐标系 xOy 中

已知向

r r r r r r a , b, a = b = 1, a ? b = 0 r r

点Q 满 区 域

足 OQ =

uuur

r r 2 a+b

(

)
B.

曲 线 C = P | OP = cosθ a + sin θ b,0 ≤ θ < 2π

{

uuu r

}

? = {P | 0 < r ≤ PQ ≤ R, r < R} 若 C I ? 为两段 离的曲线 则
A. 2

1< r < R < 3

1< r < 3≤ R

C.

r ≤1< R < 3
2

D. 1 < r < 3 < R 一动点 P 到直线

已知直线 l1 : 4 x ? 3 y + 6 = 0 和直线 l2 : x = ?1

则抛物线 y = 4 x

l1 , l2 的距离之和的最小值是
A.

2

B.

3 M 是椭圆

C.

11 5

D.

37 16

3

已知点 A ( 4,0 ) 和 B ( 2,2 )

x2 y 2 + = 1 一动点 则 MA + MB 的最大值 25 9

为_________ 4 已知点 P ? , ?1 ? 在抛物线 E : x = 2 py ( p > 0 ) 的准线
2

?3 ?2

? ?

过点 P 作抛物线的 线 若 点 N 在圆

点 A 在第一象限
2

F 是抛物线的焦点 点 M 在直线 AF
2

C : ( x + 2) + ( y + 2) = 1
A. 5

则 MN 的最小值为

1 5

B.
2

6 5
2

C.

2
2 2

D.

6 2 ?1
别是圆

已 知 圆 C1 : ( x ? 2 ) + ( y ? 3) = 1 的动点, P 为 x 轴

圆 C2 : ( x ? 3 ) + ( y ? 4 ) = 9 , M , N

C1 , C2

的动点,则 PM + PN 的最小值为 C. 6 ? 2 2 D. 17

A. 5 2 ? 4 6

B. 17 ? 1

该016 绵阳 模 已知点 P 在单位圆 x 2 + y 2 = 1

运动 点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 10 = 0

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x = 3 的距离 别记为 d1 , d 2
7 已知点 P 是
2

则 d1 + d 2 最小值为_________. 别是圆 ( x + 10 ) + y = 4 和
2 2

曲线

x2 y2 ? = 1 的右支 一点 36 64

M,N

( x ? 10 )

+ y 2 = 1 的点 则 PM ? PN 的最大值为_________

题答案 1 答案 A

解析 由 a , b 的特点可以以 a , b 所在直线为坐标轴建系 则有 a = (1,0 ) , b = ( 0,1) 线C 点的坐标为 ( cos θ ,sin θ ) 即圆心是原点的单位圆 另一方面 OQ =

r r

r r

r

r

所以曲

uuur

(

2, 2 可得

)

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解析几何

Q

(

2, 2 , OQ = 2

)

所以 ? 区域为以 Q 为圆心

r, R 为半径的圆环 通过数形结合可 r, R 为半径的圆均 单位圆相交 所

得若 C I ? 为两段

离的曲线 意味着以 Q 为圆心

? OQ > r + 1 ? 以 ?R > 1 ? r <1< R < 3 ? OQ < R ? 1 ?
2 答案 A 察直线 l2 的方程恰好是抛物线的准线 所以想到 P 到 l2 的距离

解析

PF 相等 F 是
通过作图 且

抛物线的焦点

以此为突破口进行线段转移 所以 d P ? l1 + d P ? l2 = d P ? l1 + PF 等号成立条件

察可得 d P ? l1 + PF ≥ d F ? l1

P 为 F 到 l1 的垂线 抛物线的焦点 =2

F (1,0 )
3 答案

所以 d P ? l1 + d P ? l2 10 该 10

(

)

min

= d F ? l1 =

4?0+6 5

解析

可知 A 是椭圆的右焦点

如图所示

设椭圆的左焦点为

A1 ( ?4,0 ) 连接 BA1 并延长交椭圆于 M 1 则 M 1 是使 MA + MB
取得最大值的点. 实 对于椭圆 的任意点 M 有

MA + MB = 2a ? MA1 + MB ≤ 2a + A1 B = 2 × 5 + 62 + 22 = 10 + 2 10
4 答案 A

解析 由点 P ? , ?1 ? 在抛物线准线 可得

?3 ?2

? ?

p=2

∴ E : x2 = 4 y ? y =

1 2 x 4

∴ y' =

1 x 2

1 2 a +1 1 ? 1 2? ' 4 设 A ? a, a ? ∴ k AP = y |x = a ? = a 解得 a = 4, a = ?1 舍 3 2 ? 4 ? a? 2 3 ∴ A ( 4,4 ) 由 F ( 0,1) 可得 AF 的方程为 y ? 1 = x ? 3x ? 4 y + 4 = 0 4
Q M 在直线 AF

N 在圆

MN ≥ d C ? l ? r =

3 × ( ?2 ) ? 4 × ( ?2 ) + 4 32 + 42

?1 =

6 1 ?1 = 5 5

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解析几何

5

答案

A 即?

解析 设圆 C1 , C2 的半径为 r1 , r2

?r1 = 1 ?r2 = 3

可知 PM ≥ PC1 ? r1 , PN ≥ PC2 ? r2

PM + PN ≥ PC1 + PC2 ? r1 ? r2 = PC1 + PC2 ? 4 C1 ( 2,3) 关于 x 轴对称点为 C1' ( 2, ?3) ∴ PC1 + PC2 = PC1' + PC2 ≥ C1'C2 =
∴ PM + PN ≥ 5 2 ? 4
6 答案 等号成立条件

( 2 ? 3)

2

+ ( ?3 ? 4 ) = 5 2
2

C1' , C2 , P 共线

5?

4 5 5
可得 d1 =

解析 设点 P ( cos θ ,sin θ )

3cos θ ? 4sin θ ? 10 3 +4
2 2

=

10 + 4sin θ ? 3cosθ 5

d 2 = 3 ? cosθ 所以 d1 + d 2 = 5 + 4 5 5

1 4 5 sin (θ ? ? ) 所以 d1 + d 2 ( 4sin θ ? 8cosθ ) = 5 + 5 5

的最小值为 5 ? 7 答案 15

解析 在 曲线

x2 y2 ? = 1中 36 64

a = 6, b = 8, c = 10

∴ F1 ( ?10,0 ) , F2 (10,0 )

PF1 ? PF2 = 2a = 12

Q MP ≤ PF1 + MF1 , PN ≥ PF2 ? NF2
∴ PM ? PN ≤ PF1 + MF1 ? PF2 + NF2 = 15



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