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高一数学函数的单调性1


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函数的简单性质——单调性(1)
【教学目的】 (1)了解单调函数、单调区间的概念 (2)理解函数单调性的概念;能用自已的语言表述概念;并能根据函数的图象指出单调性、 写出单调区间 (3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题;能运用函数的单调性定义证明简单函 数的单调性 【教学重点】函数的单调性的概念 【教学难点】利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教材分析】 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一, 函数的单调性一节中的知识 是今后研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小 等具体问题中均需用到函数的单调性;在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及; 同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学 教学 【教学过程】 一、问题情景:
王新敞
奎屯 新疆

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观察如图气温 ? 关于时间 t 的函数 ? ? f (t ) 图象 问(1)从图中你能读出哪些信息? (2)气温在哪些时间段内是逐渐升高的?在哪些 时间段内是逐渐下降的? 图1

又如:观察下列函数的图象指出图象变化的趋势

y

y

y

6

1 y= x

5

4

3

2

图2

1

O
3( 1)

xx

O
?1

1

2

x

O
-1

x

( 2)

( 3)

y=2x+1,x∈R

y=(x-1)2-1,x∈R

y?

1 ( x ? (0,?? )) x

二、建构理论,明确概念: 你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势” 的意思吗? 图象在该区间内呈上升趋势 ? 在某一区间内,当 x 的值增大时,函数值 y 图象在该区间内呈下降趋势 ? 在某一区间内,当 x 的值增大时,函数值 y 函数的这种性质称为函数的单调性 . ... (3)以图 1 中区间[4,14]为例,如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢?即怎样表
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述在区间[4,14]上当 x 的值增大时,函数 y 的值也增大? ①由于 6<10,有 f (6) ? f (10) ,能不能说:在区间[4,14]上随着 x 的增大,函数值 y 也随着 增大? ②由于 4<5<6<7<8<9<10<11<12<13<14, 有 f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) ? f (8) ? f (9)

? f (10) ? f (11) ? f (12) ? f (13) ? f (14) ,能不能说:在区间[4,14]随着 x 的增大,函数
值 y 也随着增大?(我们甚至可以将 x 的值取得更多) ③如果有 n 个数,由于 4 ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 14 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )

? ? ? f ( xn ) ,能不能就说:在区间[4,14]上随着 x 的增大,函数值 y 也随着增大? 无限
个呢? ④如果对于区间[4,14]上任意两个值 x1 和 x2 ,当 x1 < x2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,能不能就 说:在区间[4,14]上随着 x 的增大,函数值 y 也增大? 通过讨论,结合图 1、图 2 给出 f (x)在区间 I 上是单调增函数的定义: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,区间 I ? A

(单调减函数呢?)

注: 函数的单调性是函数的“局部性质”, 它与区间 密切相关, 此区间一定是定义域的 .. 三、数学运用: 例 1 画出下列函数图象,并写出单调区间: (1) y ? ? x 2 ? 2 y (2) y ?



1 ( x ? 0) x
y

x

x

问:能不能说,函数 y ?

1 (x≠0)在整个定义域上是单调减函数?为什么? x

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练习:观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的增函数: (1)y=(x-1)2 (2)y=|x-1|-1

△函数的最值 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A 如果存在 x0 ? A ,使得对于任意的 x ? A ,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的 最大值,记为 ymax ? f ( x0 ) ; 如果存在 x0 ? A ,使得对于任意的 x ? A ,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的 最小值,记为 ymin ? f ( x0 ) ; 例 2 函数 y ? f ( x) ,x ? [?5,5] 的图象 (如图所示) , 指出它的最大值、 最小值及单调区间。

y

-5
例 4 求下列函数的最小值: (1) y ? x ? 2x
2

-2

O

1

3

5 x

(2) y ?

1 , x ? [1,3] x

【小结】 1.有关单调性的定义; 2.关于单调区间的概念;
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【课后作业】 1. 课本 P37——1

姓名

2. 课本 P37——2

3. 课本 P37——3

4. 课本 P37——4(若有最值,求出其值)

5. 课本 P37——6 (1)

(2)

6. 如果函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,且对任意的 x ? R 恒有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) (1)试比较 f (1), f (2), f (4) 的大小。 (2)解不等式 f (? x ? x ? 1) ? f ( x ? 2 x ? 4)
2 2

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