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高考数学解题方法指导《函数方程的应用》


函数方程的应用 一、函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问 题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系 求解. 【例 1】 设不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立,求 x 的取 值范围. 【解析】 问题可以变成关于 m 的不等式: 即(x2-1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立, 设 f(m)=(x2-1)m-(2x-1), ?f?2?=2?x2-1?-?2x-1?<0, ? 则? 2 ? ?f?-2?=-2?x -1?-?2x-1?<0, 2 ? ?2x -2x-1<0, ? 即 2 ?2x +2x-3>0, ? 解得 7-1 3+1 <x< , 2 2 故 x 的取值范围为? 【类题通法】 ? 7-1 3+1?. ? ? 2 , 2 ? 一般地,对于多变元问题,需要确定合适的变量和参数,反客为主,主客换位思考,创设 新的函数,并利用新的函数创造性地使原问题获解.求解本题的关键是变换自变量,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题. 【对点训练】 1.若 0<x1<x2<1,则( A. e 2 ? e 1 >ln x2-ln x1 x x ) B. e 2 ? e 1 <ln x2-ln x1 x x C.x2 e x1 >x1 e x2 【答案】C 【解析】设 f(x)=ex-ln x(0<x<1), x 1 xe -1 则 f′(x)=e -x= x . x D.x2 e x1 <x1 e x2 令 f′(x)=0,得 xex-1=0. 1 根据函数 y=ex 与 y= 的图象可知两函数图象交点 x0∈(0,1),因此函数 f(x)在(0,1)上不是 x 单调函数,故 A、B 选项不正确. ex?x-1? ex 设 g(x)= x (0<x<1),则 g′(x)= . x2 又 0<x<1,∴g′(x)<0. ∴函数 g(x)在(0,1)上是减函数. 又 0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2), ∴x2 e x1 >x1 e x2 ,故选 C. 2.已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g′(x),满足 g′(x)-g(x)<0,若函数 g(x)的 g?x? 图象关于直线 x=2 对称,且 g(4)=1,则不等式 x >1 的解集为________. e 【答案】(-∞,0) 【解析】∵函数 g(x)的图象关于直线 x=2 对称, ∴g(0)=g(4)=1. g?x? 设 f(x)= x , e g′?x?ex-g?x?ex g′?x?-g?x? 则 f′(x)= = . ex ?ex?2 又 g′(x)-g(x)<0,∴f′(x)<0, ∴f(x)在 R 上单调递减. g?0? 又 f(0)= 0 =1,∴f(x)>f(0),∴x<0. e 3.已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+ 4x 恒成立,求 x 的取值范围. 1 ? 【解析】∵t∈[ 2,8],∴f(t)∈? ?2,3?. 原题转化为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立, 当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 1 ? 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈? ?2,3?. 1 ? 问题转化为 g(m)在 m∈? ?2,3?上恒大于 0, 1? 1 ? ?


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