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第1部分 第一章 1.1 1.1.2 集合的表示方法


第 一 章
集 合

1.1 集 合 与 集 合 的 表 示 方 法

知识点一 1.1.2 集 合 的 表 示 方 法 理解教材新知 知识点二

考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练

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观察下列集合: (1)中国古代四大发明组成的集合; (2)20的所有正因数组成的集合; (3)所有正偶数组成的集合. 问题1:上述三个集合中的元素能分别一一列举出来吗?

提示:(1)(2)能,而(3)不能.
问题2:(3)中的元素你能按规律写出来吗?

提示:能.一般表示为2,4,6,…,2n,….
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列举法 常常把集合的 所有元素 都列举出来,写在 花括号 “{ }” 内表示这个集合,这种表示集合的方法叫做列举法

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观察下列集合: (1)不等式x-2≥3的解集; (2)奇数组成的集合. 问题1:上述两个集合能用列举法表示吗? 提示:不能.

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问题2:它们的元素有何特性? 提示:(1)中元素都大于等于5;(2)中元素被2除余1. 问题3:如何表示这两个集合? 提示:把它们的特性写在花括号内,即{x|x≥5};{x|x

=2n+1,x∈Z}.

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描述法

(1)集合的特征性质
如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x 都具有性

质p(x) ,而不属于集合A的元素 都不具有性质p(x) ,则性
质 p(x)叫做集合A的一个特征性质. (2)特征性质描述法 集合A可以用它的特征性质p(x)描述为 {x∈I|p(x)},它表 示集合A是由集合I中 具有性质p(x) 的所有元素构成的.这

种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.
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(1) 列举法通常适用于有限集,其优点是可以明确集合

中的具体元素及元素的个数.对具有特殊规律的无限集,
也可以用列举法.但必须把元素间的规律表示清楚后才能

用省略号.
(2)描述法是用集合中元素的特征性质来表示集合,它

的一般表示方法是在大括号内竖线左边写上代表元素的字
母,竖线的右边是只有集合内的元素才具备的特征性质.
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[例1]

用列举法表示下列集合:

(1)小于7的所有正偶数组成的集合;

(2)方程x2=x的解集.
[思路点拨] (1)中要明确小于7的所有正偶数都有哪些;

(2)中要明确方程x2=x的实数根有哪些. [精解详析] (1)设小于7的所有正偶数组成的集合为A,

又小于7的所有正偶数是2,4,6,故A={2,4,6}. (2)设方程x2=x的解集为B,解方程x2=x,得x=0,1, 则B={0,1}.
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[一点通]

用列举法表示集合时,应明确集合中的元

素所满足的特征,然后把集合中的元素一一列举出来,
写在“{ }”内,即表示了这个集合,其中“{ }”具有“所

有”“整体”的含义.

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1.集合A={(1,2),(0,3)}中共有________个元素. 答案:2

2.用列举法表示集合A={x|-2<x≤2,x∈Z}为________.
答案:{-1,0,1,2} 3.用列举法表示下列集合: (1)M={x|(x-2)2(x-3)=0}; (2)P={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};

(3)Q={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.

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解:(1)∵2 和 3 是方程的根,∴M={2,3}; (2)∵y=-x2+6≤6,且 x∈N,y∈N, ∴x=0,1,2,∴y=6,5,2,∴P={6,5,2}. (3)点(x,y)满足条件 y=-x2+6,x∈N,y∈N,
?x=0, ? 则? ?y=6, ? ?x=1, ? ? ?y=5, ? ?x=2, ? ? ?y=2, ?

∴Q={(0,6),(1,5),(2,2)}.
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[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)正奇数集; (2)被3除余2的正整数集合; (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. [思路点拨] 用描述法表示集合时要先确定集合中

元素的特征,再给出其满足的性质.

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[精解详析]

(1){x|x=2n-1,n∈N+}.

(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元 素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正 整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}. (3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少 有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点组成的集合可 表示为{(x,y)|xy=0}.
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[一点通] (1)用特征描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性, 是数集、点集,还是其他的类型.一般地,数集用一个字 母代表其元素,而点集则用一对有序数对来表示. (2)描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母 说明其含义或指出取值范围,如(1)、(2)小题.

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4.已知A={x|3-3x>0},则有 A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.-1?A

(

)

解析:A={x|3-3x>0}={x|x<1},∴0∈A. 答案:C

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5.集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________.

答案:{x|x=2n,n∈N+,且n≤6}

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6.用描述法表示下列集合: 1 2 3 4 5 (1){ , , , , }; 3 4 5 6 7 (2)坐标平面内在第一、三象限内的点组成的集合; (3)全体三角形所构成的集合. n 解:(1){x|x= ,n∈N*,且 n≤5}; n+2
(2)第一、 三象限内点的特征是横、 纵坐标符号相同, 因而可写成{(x,y)|xy>0,且 x∈R,y∈R}; (3){x|x 是三角形}.
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[例 3]

(8 分)用适当的方法表示下列集合:

(1)绝对值小于 3 的所有整数组成的集合 A;
?2x+y=8, ? (2)方程组? ?x-y=1 ?

的所有解组成的集合 B;

(3)大于 4 的全体奇数构成的集合.

[思路点拨]

先明确集合中元素的特点,再选

择适当的方法来表示.

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[精解详析]

(1)∵|x|<3,x∈Z, (3 分)

∴x=-2,-1,0,1,2.∴A={-2,-1,0,1,2};?
?2x+y=8, ? (2)解方程组? ?x-y=1, ? ?x=3, ? 得? ?y=2, ?

∴B={(3,2)};? (5分) (8 分)

(3){x|x=2k+1,k≥2,k∈N}.?

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[一点通]

寻找适当的方法来表示集合时,应该“先

定元,再定性”.一般情况下,元素个数无限的集合不 宜采用列举法,因为不能将元素一一列举出来,而描述 法既适合元素个数无限的集合,也适合元素个数有限的 集合.

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7.用适当的方法表示下列集合: (1)集合P={x|x=2n,0≤n≤2且n∈N}; (2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合; (3)直线y=x上去掉原点的点的集合.

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解:(1)列举法:P={0,2,4}.

? ??y=x2-2x ? ? ?; (2)描述法:?(x,y)?? ? ??y=0 ? ? 或列举法:{(0,0),(2,0)}. (3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.

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8.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程x2-x-2=0的解集; (2)大于1且小于5的所有整数构成的集合.

解:(1)设方程x2-x-2=0的实数根为x,则x满足条件x2
-x-2=0,因此用描述法表示为{x∈R|x2-x-2=0}.方 程x2-x-2=0有两个不相等的实数根,为-1和2,故用 列举法表示为{-1,2}. (2)设大于1且小于5的整数为x,则 x满足条件x∈Z,且1<x<5,因此用描述法表示为

{x∈Z|1<x<5}.大于1且小于5的整数为2,3,4,因此用列举
法表示为{2,3,4}.
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(1)用列举法表示集合时,只需把它的元素一一列举 出来即可,不必考虑元素间的顺序.要注意,并不是所 有集合都可以采用列举法表示. (2)用特征性质描述法表示集合时,要特别注意这个 集合中的元素是什么,它应具备哪些特征性质,从而准 确地理解集合的意义.例如:集合{(x,y)|y= x},{y|y = x},{x|y= x},它们的元素特性是不同的.

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