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必修4平面向量


珠海一中平沙校区 2015-2016 第二学期高一数学期末复习

必修 4 平面向量
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考试要求 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景; (2)理解平面向量的概念,理解两个向量 相等的含义; (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解 其几何意义; (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义; (3)了解向量线性运算的性质及其几何意 义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义; (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示; (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法 与数乘运算; (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条 件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理 意义; (2)了解平面向量的数量积与向量投影的 关系; (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平 面向量数量积的运算; (4)能运用数量积表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题; (2)会用向量方法解决某些简单的力学问 题及其他一些实际问题. 本章重点: 1. 向量的各种 运算; 2. 向量的坐标 运算及数形结合 的思想; 3. 向量的数量 积在证明有关向 量相等、两向量垂 直、投影、夹角等 问题中的应用. 本章难点: 1. 向量的直角 坐标运算在证明 向量垂直和平行 问题中的应用; 2. 向量的夹角 公式和距离公式 在求解平面上两 条直线的夹角和 两点间距离中的 应用. 向量是近代数学中重 要和基本的数学概念之一, 它是沟通代数、 几何与三角 函数的一种工具, 有着极其 丰富的实际背景, 同时又是 数形结合思想运用的典范, 正是由于向量既具有几何 形式又具有代数形式的 “双重身份”, 所以它成为 中学数学知识的一个交汇 点 .在高考中,不仅注重考 查向量本身的基础知识和 方法,而且常与解析几何、 三角函数、 数列等一起进行 综合考查. 在考试要求的层次上更加 突出向量的实际背景、 几何 意义、运算功能和应用价 值. 重难点击 命题展望

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知识网络

4.1 平面向量的概念及线性运算
典例精析
题型一 向量的有关概念 【例 1】 下列命题: ①向量 AB 的长度与 BA 的长度相等; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同; ④向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 必在同一直线上. 其中真命题的序号是 . 【解析】①对;零向量与任一向量是平行向量,但零向量的方向任意,故②错;③显然 错; AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 可在同一直线上,也可共面但不在同一直线上, 故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键,注意到特殊情况,否定某个命题 只要举出一个反例即可. 【变式训练 1】下列各式: ①|a|= a ? a ; ②(a ? b) ? c=a ? (b ? c); ③ OA - OB = BA ; ④在任意四边形 ABCD 中,M 为 AD 的中点,N 为 BC 的中点,则 AB + DC =2 MN ; ⑤a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且 a 与 b 不共线,则(a+b)⊥(a-b). 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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【解析】选 D.| a|= a ? a 正确;(a ? b) ? c≠a ? (b ? c); OA - OB = BA 正确;如下图 所示,

MN = MD + DC + CN 且 MN = MA + AB + BN ,
两式相加可得 2 MN = AB + DC ,即命题④正确; 因为 a,b 不共线,且|a|=|b|=1,所以 a+b,a-b 为菱形的两条对角线, 即得(a+b)⊥(a-b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图,ABCD 是平行四边形,AC、BD 交于点 O,点

M 在线段 DO 上,且 DM =

1 DO ,点 N 在线段 OC 上 , 且 3

1 ON = OC ,设 AB =a, AD =b,试用 a、b 表示 AM , AN , MN . 3
【解析】在?ABCD 中,AC,BD 交于点 O, 1 1 1 所以 DO = DB = ( AB - AD )= (a-b), 2 2 2 1 1 1 AO = OC =2 AC =2( AB + AD )=2(a+b). 1 1 又 DM = DO , ON = OC , 3 3 1 所以 AM = AD + DM =b+ DO 3 1 1 1 5 =b+ × (a-b)= a+ b, 3 2 6 6 1 AN = AO + ON = OC +3 OC 4 4 1 2 = OC = × (a+b)= (a+b). 3 3 2 3 所以 MN = AN - AM 2 1 5 1 1 = (a+b)-( a+ b)= a- b. 3 6 6 2 6 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共 线的向量表示,即平面向量基本定理的应用,在运用向量解决问题时,经常需要进行这样的 变形. 【变式训练 2】O 是平面 α 上一点,A、B、C 是平面 α 上不共线的三点,平面 α 内的动 1 点 P 满足 OP = OA +λ( AB + AC ),若 λ= 时,则 PA ? ( PB + PC )的值为 . 2 【解析】由已知得 OP - OA =λ( AB + AC ), 1 1 即 AP =λ( AB + AC ),当 λ= 时,得 AP = ( AB + AC ), 2 2 所以 2 AP = AB + AC ,即 AP - AB = AC - AP ,
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所以 BP = PC , 所以 PB + PC = PB + BP =0, 所以 PA ? ( PB + PC )= PA ? 0=0,故填 0. 题型三 向量共线问题 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【解析】(1)证明:因为 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 所以 BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 AB , 所以 AB , BD 共线.又因为它们有公共点 B, 所以 A,B,D 三点共线. (2)因为 ka+b 和 a+kb 共线, 所以存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 所以(k-λ)a=(λk-1)b. 因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量, 所以 k-λ=λk-1=0,所以 k2-1=0,所以 k=± 1. 【点拨】(1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表 示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 【 变 式 训 练 3 】 已 知 O 是 正 三 角 形 BAC 内 部 一 点 ,

OA +2 OB +3 OC =0,则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是(
3 A. 2 C.2 2 B. 3 1 D. 3



【解析】如图,在三角形 ABC 中, OA +2 OB +3 OC =0,整理可得 OA + OC +2( OB + OC )=0.令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E,BC 边的中点为 F,则点 O 在点 F 与点 E 连 1 线的 处,即 OE=2OF. 3 1 h h 1 设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h, 则 S△OAC=S△OAE+S△OEC= ? OE ? ( + )= OE· h, 2 2 2 2 1 1 1 S△OAB= AB ? h= AB·h, 2 2 4 2 由于 AB=2EF,OE= EF,所以 AB=3OE, 3

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1 S△OAC 2 OE ? h 2 所以 = = .故选 B. 3 S△OAB 1 AB ? h 4

总结提高
1.向量共线也称向量平行,它与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合)的情形, 而向量平行则包括共线(即重合)的情形. 2.判断两非零向量是否平行,实际上就是找出一个实数,使这个实数能够和其中一个向 量把另外一个向量表示出来. 3.当向量 a 与 b 共线同向时,|a+b|=|a|+|b|; 当向量 a 与 b 共线反向时,|a+b|=||a|-|b||; 当向量 a 与 b 不共线时,|a+b|<|a|+|b|.

4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示
典例精析 题型一 平面向量基本定理的应用 【例 1】 如图?ABCD 中,M,N 分别是 DC, BC 中点.已知 AM =a, AN =b,试用 a, b 表示 AB ,

AD 与 AC
【解析】易知 AM = AD + DM 1 = AD + AB , 2 1 AN = AB + BN = AB +2 AD , 1 ? AD ? AB ? a, ? ? 2 即? ? AB ? 1 AD ? b. ? 2 ? 2 2 所以 AB = (2b-a), AD = (2a-b). 3 3 2 所以 AC = AB + AD = (a+b). 3 【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算,平面内任何向量都可以用基底来表示.此处 方程思想的运用值得仔细领悟. 【变式训练 1】 已知 D 为△ABC 的边 BC 上的中点, △ABC 所在平面内有一点 P, 满足 PA + BP + CP =0,则 1 A. 3

| PD | 等于( | AD |
1 B. 2

) C.1 D.2

【解析】由于 D 为 BC 边上的中点,因此由向量加法的平行四边形法则,易知 PB + PC =2 PD ,因此结合 PA + BP + CP =0 即得 PA =2 PD ,因此易得 P,A,D 三点共线且 D 是 PA 的中点,所以

| PD | =1,即选 C. | AD |

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题型二 向量的坐标运算 【例 2】 已知 a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b. (1)若 u=3v,求 x;(2)若 u∥v,求 x. 【解析】因为 a=(1,1),b=(x,1), 所以 u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3), v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1). (1)u=3v?(2x+1,3)=3(2-x,1) ?(2x+1,3)=(6-3x,3), 所以 2x+1=6-3x,解得 x=1. (2)u∥v ?(2x+1,3)=λ(2-x,1) ?2 x ? 1 ? ? (2 ? x), ?? ?3 ? ? ?(2x+1)-3(2-x)=0?x=1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说,向量相等即坐标相等,这一点在解题中很重要,应 引起重视. nπ nπ 【变式训练 2】已知向量 an=(cos ,sin )(n∈N*),|b|=1.则函数 y=|a1+b|2+|a2+b|2 7 7 +|a3+b|2+?+|a141+b|2 的最大值为 .

【解析】设 b=(cos θ,sin θ),所以 y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+?+|a141+b|2=(a1)2 π π 141π 141π +b2+2(cos ,sin )(cos θ,sin θ)+?+(a141)2+b2+2(cos ,sin )(cos θ,sin θ)=282 7 7 7 7 π +2cos( -θ),所以 y 的最大值为 284. 7

总结提高
1.向量的坐标表示,实际是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,即可使向量运 算完全代数化,将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体,很多几 何问题可转化为熟知的向量运算. 2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用. 3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则,坐标 形式即代入向量的直角坐标.

4.3 平面向量的数量积及向量的应用
典例精析
题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知 a,b 夹角为 120° ,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|; (2)(a+2b) ·(a+b); (3)a 与(a+b)的夹角 θ. 【解析】(1)(a+b)2=a2+b2+2a·b 1 =16+4-2× 4× 2× =12, 2 所以|a+b|=2 3.
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(2)(a+2b) ·(a+b)=a2+3a·b+2b2 1 =16-3× 4× 2× +2× 4=12. 2 1 (3)a·(a+b)=a2+a·b=16-4× 2× =12. 2 所以 cos θ= 12 3 π a ? ( a ? b) = = ,所以 θ= . 6 2 3 2 | a | | a ? b | 4×

【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题. 【变式训练 1】已知向量 a,b,c 满足:|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则 a 与 b 的 夹角大小是 . 【解析】由 c⊥a?c·a=0?a2+a·b=0, 1 所以 cos θ=- ,所以 θ=120° . 2 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题 【例 2】 在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值. 【解析】①当∠A=90° 时,有 AB · AC =0, 2 所以 2× 1+3·k=0,所以 k=- ; 3 ②当∠B=90° 时,有 AB · BC =0, 又 BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3), 11 所以 2× (-1)+3× (k-3)=0?k= ; 3 ③当∠C=90° 时,有 AC · BC =0, 所以-1+k·(k-3)=0, 3± 13 所以 k2-3k-1=0?k= . 2 2 11 3± 13 所以 k 的取值为- , 或 . 3 3 2 【点拨】 因为哪个角是直角尚未确定, 故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积, 应注意方向及两向量的夹角. 【变式训练 2】△ABC 中,AB=4,BC=5,AC=6, 求 AB · BC + BC · CA + CA · AB . 【解析】因为 2 AB · BC +2 BC · CA +2 CA · AB =( AB · BC + CA · AB )+( CA · AB + BC · CA )+( BC · CA + BC · AB ) = AB ·( BC + CA )+ CA ·( AB + BC )+ BC ·( CA + AB ) = AB · BA + CA · AC + BC · CB =-42-62-52=-77. 77 所以 AB · BC + BC · CA + CA · AB =- . 2 题型三 平面向量的数量积的综合问题 π 【例 3】数轴 Ox,Oy 交于点 O,且∠xOy= ,构成一个平面斜坐标系,e1,e2 分别是与 3 Ox,Oy 同向的单位向量,设 P 为坐标平面内一点,且 OP =xe1+ye2,则点 P 的坐标为(x,
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y),已知 Q(-1,2). (1)求| OQ |的值及 OQ 与 Ox 的夹角; (2)过点 Q 的直线 l⊥OQ,求 l 的直线方程(在斜坐标系中). 1 【解析】(1)依题意知,e1·e2= , 2 且 OQ =-e1+2e2, 所以 OQ 2=(-e1+2e2)2=1+4-4e1·e2=3. 所以| OQ |= 3. 又 OQ · e1=(-e1+2e2) ·e1=-e2 1+2e1 ? e2=0. 所以 OQ ⊥e1,即 OQ 与 Ox 成 90° 角. (2)设 l 上动点 P(x,y),即 OP =xe1+ye2, 又 OQ ⊥l,故 OQ ⊥ QP , 即[(x+1)e1+(y-2)e2] ·(-e1+2e2)=0. 1 所以-(x+1)+(x+1)-(y-2) · +2(y-2)=0, 2 所以 y=2,即为所求直线 l 的方程. 【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算,并且与不等式、函数、方程、三角函 数、数列、解析几何等相交汇,体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势. 【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(5,0).对于某个正实数 k,存在函数 f(x) =ax2(a>0), 使得 OP =λ ? (

OA OQ + )(λ 为常数), 其中点 P, | OA | | OQ |
) B.(3,+∞) D.(8,+∞)

Q 的坐标分别为(1,f(1)),(k,f(k)),则 k 的取值范围为( A.(2,+∞) C.(4,+∞) 【解析】如图所示,设

OA OQ = OM , = ON ,OM + ON = OG ,则 OP =λ OG . | OQ | | OA |
k ak2 k , + 2 2 4 2 2 4), OG =( 2 k +a k k +a k k +a2k4

因为 P(1,a),Q(k,ak2), OM =(1,0), ON =( 1,

ak2 ak2 ) ,则直线 OG 的方程为 y = x,又 OP =λ OG ,所以 P(1,a)在直线 k2+a2k4 k+ k2+a2k4

ak2 2 2 OG 上,所以 a= 2 2 4,所以 a =1-k . k+ k +a k 2 因为| OP |= 1+a2>1,所以 1- >0,所以 k>2. 故选 A. k

总结提高
1.本节是平面向量这一章的重要内容, 要准确理解两个?向量数量积的定义及几何意义, 熟练掌握向量数量积的性质及运算律;数量积不满足结合律,即(a·b) ·c≠a·(b·c);数量 积不满足消去律,即 a·b=a·c 推不出 b=c. 2.通过向量的数量积,可以计算向量的长度,平面内两点间的距离,两个向量的夹角,

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判断两直线是否垂直. 3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识,在解决向量与不等式、函数、 方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时,往往要找到其内在的联系以获得正确的 解题途径.

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