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2015-2016学年高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(第2课时)学案设计 新人教A版必修5


第三章

不等式

3.3.2

简单的线性规划问题(第 2 课时)
学习目标

1.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题. 2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力.

合作学习
一、设计问题,创设情境 练习 1:已知实数 x,y 满足求: (1)z1=x+y 的最大值和最小值; (2)z2=3x+y 的最小值; (3)z3=x+4y 的最小值.

问题 1:上面的问题中,可行域是不变的,但是三个目标函数取得最大值时,最优解所对 应的位置不同,这是什么原因导致的呢?

练习 2:若已知目标函数 z=ax+y 在可行域中的点 B 处取得最小值,求实数 a 的取值范围.

练习 3:若在练习 1 中的不等式组中增加条件“x,y∈N”,再求目标函数 z1=x+y 的最小值, 该如何探求最优解呢?

二、信息交流,揭示规律 问题 2:上述两种探究方法有没有共同之处? 你觉得哪种方法更简洁?

三、运用规律,解决问题 【例题】要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格 的小钢板的块数如下表所示: 规格类 型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A 规 格 2 1 B 规 格 2 2 C 规 格 2 3

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今需 A,B,C 三种规格的成品分别为 15,18,27 块,用数学关系式表示上述要求,并作出其平面 区域.

各截这两种钢板多少张可得所需 A,B,C 三种规格的成品,且使所用钢板张数最少?

问题 3:用线性规划解答实际问题要经历怎样的步骤?

四、变式训练,深化提高 变式训练 1:营养学家指出 ,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合 物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪.每 1kg 的食物 A、食物 B 中,碳水化合物、蛋白质、脂 肪的含量如下表所示: 食 物 (kg) A B 碳水化合物 (kg) 0.105 0.105 蛋 白 质 (kg) 0.07 0.14 脂 肪 (kg) 0.14 0.07

每 1kg 的食物 A、食物 B 的花费分别为 28 元、21 元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要 求,同时花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?

变式训练 2:已知实数 x,y 满足则的最小值是 ,的最小值是 . 问题 4:你如何认识条件?也就是说将条件中的数量关系用什么表示 ?体现了什么思想? 那么条件和图形结合起来了后,要解决这个问题,结论需要怎么“看待”?也就是要找到结论 的几何意义,大家联想前面所学的知识,思考分别有什么几何意义呢?

五、反思小结,观点提炼 问题 5:通过这节课的学习,你认为“二元”不等式问题解决的一般策略是什么?既然是 数形结合,那么在解题中就不能将“数”与“形”脱离开来,你能举例说明这一点吗?









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一、设计问题,创设情境

练习 1:(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域. 将 z1=x+y 变形为 y=-x+z1,这是斜率为-1、随 z1 变化的一簇平行直线. z1 是直线在 y 轴 上的截距.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数 z1=x+y 取得最值. 由图可见,当直线 z1=x+y 经过可行域上的点 B 时,截距 z1 最小. 解方程组 得 B 点的坐标为 x=,y=. 所以 z1 的最小值为. 同理,当直线 z1=x+y 与可行域的边界 x+y=6 重合时,z1 最大为 6.

(2)同理将 z2=3x+y 化为 y=-3x+z2,这是斜率为-3 的一簇平行直线.如图所示,当它过可行 域上的点 A(0,6)时,z2 最小为 6.

(3)同理将 z3=x+4y 化为 y=-x+,它是斜率为-的一簇直线.如图所示,当直线经过可行域 上的点 C 时,最大,即 z3 最大. 解方程组 得点 C 的坐标为 x=,y=. 所以 z3 的最小值为. 问题 1:是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的直线的斜率的大小关系不 同导致的. 练习 2:解:z=ax+y 可化为 y=-ax+z, 因为 z=ax+y 在可行域中的点 B 处取得最小值, 所以,直线 z=ax+y 与可行域只有一个公共点 B 或与边界 AB 重合,或与边界 BC 重合. 因此-2≤-a≤-. 所以实数 a 的取值范围是. 练习 3:学生探究一:可以把可行域中的所有“整点”都求出来.求这些最优解时,可根 据可行域对 x 的限制条件,先令 x 去整数,然后代入到可行域,求出 y 的范围,并进一步求出 y 的整数值. 学生探究二 :由于 x,y ∈N, 则必有 x+y ∈N.又因为当 x=,y=时 ,z1 的最小值为 ,且直线 z1=x+y 应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相应的 z1 的值大于. 所以令 z1=x+y=5,即 y=-x+5,代入得

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即 1≤x≤3,所以当或时,z1 取得最小值 5. 问题 2:结合等量关系,将“二元”问题转化为“一元”问题求解.当可行域范围较小, 包含的整点个数很少时,方法一比较简洁;反之,方法二较为简洁. 二、运用规律,解决问题

【例题】解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,则 用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分). 由题意,得目标函数为 z=x+y.

可行域如图所示. 把 z=x+y 变形为 y=-x+z,得到斜率为-1、在 y 轴上截距为 z 的一族平行直线. 由图可以看出,当直线 z=x+y 经过可行域上的点 M 时,截距 z 最小. 解方程组 得点 M.而此问题中的 x,y 必须是整数,所以 M 不是最优解.经过可行域内整点且使截距 z 最小的直线是 y=-x+12,经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8),它们是最优解. zmin=12. 答:要解得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板张数最小的方法有两种,第一种截法 是第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张;第二种截法是第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张.两种截 法都最少要两种钢板 12 张. 问题 3:规律:(1)找出实际问题中的数量关系,根据数量关系设出合理的两个变量 x,y; (2)用 x,y 表示实际问题中的数量关系,得到线性约束条件和目标函数; (3)用图解法解答线性规划问题的最优解,必要时要探求“整点”; (4)用最优解作答实际问题. 四、变式训练,深化提高 变式训练 1:解:设每天食用 x kg 食物 A,y kg 食物 B,总成本为 z,那么 可化为目标函数为 z=28x+21y. 作出不等式组表示的平面区域,即可行域. 平移直线 z=28x+21y 知,当直线经过表示的点时, zmin=28×+21×=16. 答:每天食用食物 A 约 143g,食物 B 约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低 成本为 16 元. 问题 4:条件中的不等式组对应平面区域;图形;数形结合;也和图形结合起来;表示可行

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域内

的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;表示可行域内的点(x,y)与点(0,3)的距离. 变式训练 2:解析:如图所示,可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线是介于直线 OC 和 y 轴 之间,根据斜率的变化规律,直线 OC 的斜率最小为,所以的最小值为表示可行域内的点(x,y) 与点 P(0,3)的距离,所以结合图形可以知道点 P 到直线 AB 的距离就是的最小值为. 答案: 五、反思小结,观点提炼 问题 5:数形结合;平移直线时,要根据目标函数对应直线的斜率确定该直线与可行域边 界直线的相对位置关系;在图形变化的过程中,寻求对应的斜率的变化范围,等等.

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