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大庆一中2012年高三考前综合模拟试卷


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高考派-高考志愿填报专家

大庆一中 2012 年高三考前综合模拟 理科数学能力测试
命题:高三数学组
_

2012.6.1.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题分别给出四个选项,只有一个 选项符合题意) 1.复数 z 满足 z(1+i)-(1+2i)(1-i)=0,则复数 z 对应的点在( ) A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限; 2.已知条件 p : | x ? 1 |? 2 ,条件 q : x ? a ,且 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围 可以是( ) A. a ? 1 ; B. a ? 1 ; C. a ? ? 1 ; D. a ? ?3 ; 3. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设 a ? f (3) ,

b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a
4. 框图表示的程序所输出的结果是( A.121 B.132 C.1320 D.11880 5. 已知 tan( ? ? ? ) ? A. )

) D. c ? b ? a

23 18

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 等于( 5 4 4 4 3 13 3 B. C. D. 22 22 18
B. 1 : 2 : 1 C. 2 : 1 : 1
cos x x



6.已知 ?ABC 平面内一点 P 满足 PA ? 2PB ? PC ? 0 ,则 S ?PAB : S ?PAC : S ?PBC ? ( A. 1 : 2 : 3 D. 1 : 1 : 1 7. 已知函数① f ( x) ? 3 ln x ;② f ( x) ? 3e 是( ) A.③ 8. 函数 y ? cos( x ?

)

;③ f ( x) ? 3e ;④ f ( x) ? 3 cos x .其中对于

f ( x) 定义域内的任意一个自变量 x1 都存在唯一个自变量 x2 , 使 f ( x1 ) f ( x2 ) =3 成立的函数

?
2

B.②③

) ? sin(

?

C.①②④

D.④ )

3

? x) ,其中下面正确性质是(

A. 最大值为 3 ,图象关于直线 x ? C. 最大值为 3 ,图象关于 (

?
6

对称

B. 最大值为 1,图象关于直线 x ? D. 最大值为 1,图象关于 (

?
6

对称

?
6

,0) 对称

?
6

,0) 对称

?a(a ? b) .若 F (x) ? max ? f ( x), g( x) ? ( x ?R) ,其 b ( a ? b ) ? 中奇函数 y=f(x)在 x=l 时有极小值-2, y=g(x)是正比例函数, 函数 y ? f ( x)( x ? 0) 与函数 y=g(x) 的图象如图所示.则下列关于函数 y ? F ( x) 的说法中,正确的是( ) A. y ? F ( x) 为奇函数. B. y ? F ( x) 有极大值 F(-1)且有极小值 F(0) C. y ? F ( x) 的最小值为-2 且最大值为 2. D. y ? F ( x) 在(-3,0)上为增函数.
9. 对任意的实数 a、b ,记 max ?a, b? ? ?

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10.曲线 y ? x 2 和曲线 y ?

,若点 P(x,y)是如图所 x 围成一个叶形图(如右上图所示阴影部分) 2y ? 2- x 示阴影部分内一动点, 若 z= ,则阴影部分的面积 S 及 z 的最小值为( ) x
1 , z min =2 2 2 B. S ? 1 , z min =3 3 C. S ? 1 , z min =2 3-1 2 D. S ? 1 , z min =2 2 3

A. S ?

11.已知: ? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同的

交点,它们围成的平面区域为 M,向区域 ? 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为( ) 2? 1 3 3 A. [ ,1] B. [0, C. [ D. [0,1] ,1] ] 2 3 3 x2 y 2 12.已知点 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右支上一点, F1 、 F2 为双曲线的左、右焦点, a b
P( M ) ,若 P ( M ) ? [
使 ( OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 (O 为坐标原点)且 PF1 ? A.
? ?? ? ?? ? ??

3 PF2 ,则双曲线离心率为(
D.

)

6 ?1 2

B. 6 ? 1

C.

3 ?1 2

3 ?1

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体 的体积为_________
0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0005

频率

0.04 组距

分数

40 50 60 70 80

90 100

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14、统计某校 1000 名学生的数学会考成绩,得到样本频率分布直方图如右图示,则这次数学成 绩的中位数等于________
2 2 2 15. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?

1 ac. 当 b=2 时,则 2

△ABC 面积的最大值为______. 16、从 P 点出发三条射线 PA,PB,PC 两两成 60°,且分别与球 O 相切于 A,B,C 三点,若 4π 球的体积为 ,则 OP 的距离为__________. 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写 在答题卡上的指定区域内) 17. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 ( n ? N ) (1)求 a2、a3、a4 的值; (2)由(1)猜想 {an } 的通项公式,并给出证明.
?

18、 (本小题满分 12 分)某商场决定从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商 品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 m 的奖 金.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 能使促销方案对商场有利?

1 ,试问:商场应将每次中奖金额 m 最高定为多少元,才 2

19. (本小题满分 12 分)如图所示,在边长为 12 的正方形 ADD1 A1 中,点 B, C 在线段 AD 上, 且 AB ? 3 , BC ? 4 ,作 BB1
AA1 ,分别交 A1 D1 , AD1 于点 B1 , P ,作 CC1 AA1 ,分别交

A1 D1 , AD1 于点 C1 , Q ,将该正方形沿 BB1 , CC1 折叠,使得 DD1 与 AA1 重合,构成如图所

示的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 . (1)求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (2)若点 E 为四边形 BCQP 内一动点,且二面角 E-AP-Q 的余弦值为
A B C P Q A1 B1 C1 D1 C A A1 B P Q C1 B1

3 3

,求|BE|的最小值.

D

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20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标平面内,已知点 A(2, 0), B(?2, 0) , P 是平面内一动点,直 线 PA 、 PB 斜率之积为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜 率 k 的取值范围.

1 2

21、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ln x ,g ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) , 直线 l 与函数 f ( x ) 、 2 2 g ( x) 的图象都相切,且与函数 f ( x) 的图象的切点的横坐标为1 . (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数),求函数 h( x) 的最大值; b?a (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a) ? . 2a
B

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

⌒ 的中点,BD 交 AC 于 E. 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是AC
(Ⅰ)求证: DC 2 ? DE ? DB ; (Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r . A O. C E D

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?

? ? x ? 1+t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ? ? y ? 3t

正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? + 2 ? sin ? ? 2 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | .

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24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲
已知对于任意的实数a(a ? 0)和b, 不等式 | a ? b | ? | a - b |?| a | (| 2 x - 1 | ? | x - 2 |)恒成立, 求实数x的取值范围.

大庆一中 2012 年高三考前综合模拟
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 C

理数
9 B 10 B

参考答案
11 D 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

5 3 3

14.

500 7

15.

15 3

16. 3

三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分)解: (1)由 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 得 an ?1 ?

9 ? 2an 1 , ? 2? 4 ? an an ? 4

7 13 19 , a3 ? , a4 ? 3 5 7 6n ? 5 (2)猜想 an ? 2n ? 1
求得 a2 ? 证明:① 当 n=1 时,猜想成立。 ② 设当 n=k 时 (k ? N ?) 时,猜想成立,即 ak ? 则当 n=k+1 时,有 ak ?1 ? 2 ?

……4 分 ……6 分 ……8 分

1 1 6k ? 1 6(k ? 1) ? 5 , ……10 分 ? 2? ? ? 6k ? 5 ak ? 4 ? 4 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1

6k ? 5 2k ? 1

所以当 n=k+1 时猜想也成立. 综合① ② ,猜想对任何 n ? N ? 都成立。 ……12 分 18. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)记事件 A: 选出的 3 种商品中至少有一种日用商品 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?
3 C4 31 .……4 分 ? 3 C7 35

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为 X, 其所有可能值为 0, m ,2 m ,3 m .……6 分
0 X=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P? X ? 0? ? C3 ? ? ?? ? ?

?1? ?1? ? 2? ? 2?

0

3

1 , ……7 分 8

3 ?1? ?1? 同理可得 P? X ? m? ? C ? ? ? ? ? ? , ……8 分 8 ? 2? ? 2?
1 3

1

2

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2 1

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?1? ?1? 3 P? X ? 2m? ? C32 ? ? ? ? ? ? , ……9 分 ? 2? ? 2? 8

1 ?1? ?1? P? X ? 3m? ? C ? ? ? ? ? ? . ……10 分 8 ? 2? ? 2?
3 3

3

0

于 是 顾 客 在 三 次 抽 奖 中 所 获 得 的 奖 金 总 额 的 期 望 值 是

1 3 3 1 EX ? 0 ? ? m ? ? 2m ? ? 3m ? ? 1.5m .……11 分 8 8 8 8
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额, 因此应有 1.5m ? 150 ,所以 m ? 100 , 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. …… 12 分 19. (本小题满分 12 分)解: (1)在正方形 ADD1 A1 中,因为 CD ? AD ? AB ? BC ? 5 , 所以三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面三角形 ABC 的边 AC ? 5 . 因为 AB ? 3 , BC ? 4 ,所以 AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ,所以 AB ? BC . 因为四边形 ADD1 A1 为正方形, AA1
BB1 ,所以 AB ? BB1 ,而 BC BB1 ? B ,

所以 AB ? 平面 BCC1 B1 .----------- 4 分 ( 2) 因为 AB , BC , BB1 两两互相垂直. 以 B 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz , 则 A ? 0, 0, 3? , B ? 0, 0, 0 ? , C ? 4, 0, 0 ? , P ? 0, 3, 0 ? , Q ? 4, 7, 0 ? , 所以 AP ? ,A , (0,3,-3) Q? (4,7,-3) 设平面 PQA 的一个法向量为 n1 ? ( x , y , z) .
uuur ? ?3 y ? 3z ? 0 ? n1 ?AP ? 0 则由 ? uuuu ,即 ? 令 x ? ?1 , r 4 x ? 7 y ? 3z ? 0 ? n ? AQ ? 0 ? ? 1
A

uu u r

uur

z
A1

y
B P Q C1 B1

则 y ? z ? 1 .所以 n ? (?1,1,1) .

x

C

设点 E(m,n,0), 则AE=(m,n,3), PE=(m,n-3,0).设面EAP的法向量n2 =(x,y,z)

?mx+(n-3)y=0 n ?n 3 得:m+2n-6=0 由? , 得n2 =(3-n,m,m) .由 cos? ? cos n1 , n2 ? 1 2 ? n1 n2 3 ?mx+ny-3z=0

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所以|BE|的最小值为点 B 到线段: m+2n-6=0 的距离 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为 (x, y ) ,依题意,有 化简并整理,得

6 5 ------- 12 分 5

y y 3 ? ? ? ( x ? ?2) . ……… 3 分 x?2 x?2 4

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3 x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . ………………… 5 分 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 4 3 1 1 (Ⅱ)解法一:依题意,直线 l 过点 ( , 0) 且斜率不为零,故可设其方程为 x ? my ? , 2 2 1 ? x ? my ? ? ? 2 由方程组 ? 2 消去 x ,并整理得 4(3m2 ? 4) y 2 ? 12my ? 45 ? 0 … 6 分 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4 3m 设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则? y1 ? y2 ? ? , 3m2 ? 4 y ? y2 3m ∴ y0 ? 1 ?? 2 2(3m2 ? 4) y0 1 2 m ∴ x0 ? my0 ? ? ,? k ? ,……………………………… 8 分 ? 2 2 3m ? 4 x0 ? 2 4m2 ? 4 (1)当 m ? 0 时, k ? 0 ; …………………………………………… 9 分 1 1 1 4 4 ?0 ? ? . | 4m ? |? 4 | m | ? ?8 (2)当 m ? 0 时, k ? 4 4 8 m |m| 4m ? 4m ? m m 1 1 1 ? 0 ?| k |? .? ? ? k ? 且 k ? 0 . ………………… 11 分 8 8 8 1 1 综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ? ? k ? .……………… 12 分 8 8 1 21. (本小题满分 12 分)解:(Ⅰ) f ?( x ) ? ,? f ?(1) ? 1 . x ∴直线 l 的斜率为 1 ,且与函数 f ( x ) 的图象的切点坐标为 (1, 0) . ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . ………… 2 分 又∵直线 l 与函数 y ? g ( x) 的图象相切, ? y ? x ?1 ? ∴方程组 ? 1 7 有一解. y ? x 2 ? mx ? ? ? 2 2

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2

由上述方程消去 y ,并整理得 x2 ? 2(m ? 1) x ? 9 ? 0 解之,得 m ? 4 或 m ? ?2

依题意,方程①有两个相等的实数根,? ? ? ? 2( m ? 1) ? ? 4 ? 9 ? 0

m ? 0 ? m ? ?2 . ……… 4 分 1 2 7 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 g ( x) ? x ? 2 x ? , ? g ?( x) ? x ? 2 2 2 1 ?x ?1 ? ? h( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2( x ? ?1) .? h?( x) ? . ……… 6 分 x ?1 x ?1 ∴当 x ? (?1, 0) 时, h ?( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) 时, h ?( x) ? 0 . ∴当 x ? 0 时, h( x) 取最大值,其最大值为 2. …………………… 8 分 a?b b?a ? ln(1 ? ). (Ⅲ) f (a ? b) ? f (2a ) ? ln(a ? b) ? ln 2a ? ln 2a 2a 1 b?a 0 ? b ? a , ? ?a ? b ? a ? 0 , ? ? ? ? 0 .…………………10 分 2 2a 由(Ⅱ)知当 x ? (?1,0) 时, h( x) ? h(0) ∴当 x ? (?1, 0) 时, ln(1 ? x) ? x , b?a b?a b?a ? ln(1 ? )? . f (a ? b) ? f (2a) ? . …………………… 12 分 2a 2a 2a
(22) (本小题满分 10 分)解: (I)证明:∵?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴ △BCD ~△ CED ,∴

DE DC ? ,∴ CD 2 =DE· DB; DC DB

…………5 分

23. (本小题满分 10 分)解:(1)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ?

3(x -1) -----2 分

? x ? ? cos ? 由? 代入得直线的极坐标方程: ? sin ? ? ? y ? ? sin ?
(Ⅱ )曲线 C 的直角坐标方程为: x -y +2y=0
2 2

3(? cos ? -1) .-------5 分

将直线 l 的参数方程代人曲线 C 的直角坐标方程得: 2t 2 -(2 3+2)t-1=0

1 因为t1 +t 2 = 3+2>0 , t1 ? t 2 = - <0 2

则|AB|=|t1 -t 2 |= (t1 +t 2 )2 -4t1 ? t 2 = 9+4 3 -----10 分
24. (本小题满分 10 分) 解: 因为对任意的实数a(a ? 0)和b, 不等式 | a ? b | ? | a - b |?| a | (| 2 x - 1 | ? | x - 2 |)恒成立,

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则 | 2 x - 1 | ? | x - 2 |? [

|a ? b|? |a-b| ]min , 又 | a ? b | ? | a - b |? |(a ? b) ? (a - b)|=2 | a | |a|

所以 | 2 x - 1 | ? | x - 2 |? 2 1 1 1 1 (1)当x< 时,由:(1-2x)+(2-x) ? 2得 >x ? , (2)当 ? x ? 2时,由:(2x-1)+(2-x) ? 2, 2 2 3 2 1 得 ? x ? 1,(3)当x>2时,由:(2x-1)+(x-2) ? 2,无解. 2 所以x的取值范围是: [ 1 3 ,1]


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