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高中数学第一章1.2.2测量角度问题课件新人教A版必修


1.2.2 测量角度问题

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关 计算角度的实际问题.

1.复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节). 水平面 的夹角.坡度(坡比) 2.坡角是指斜坡所在平面与________ 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比 是指___________________________________________ .

练习:沿坡角为 45°的斜坡直线向上行走 80 m,实际升高 40 2 了________m.
解析:h=80×sin45°=40 2 .

1.仰角、俯角、坡角都是锐角吗?

答案:是. 2.方位角与方向角的范围一样吗?
答案:不一样,方位角的取值范围为0°~360°,方向角一 般指锐角.

题型1

船的航向问题

例1:如图 1-2-11,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75° 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏

东 32°的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接
从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少 距离(角度精确到 0.1°,距离精确到 0.01 n mile)?

图 1-2-11 思维突破:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对 的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC 边,再根据正弦定理算出

AC 边和AB 边的夹角∠CAB.

自主解答:在△ABC 中,∠ABC=180° -75° +32° =137° , 根据余弦定理, AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC = 67.52+54.02-2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15. BC AC 由正弦定理,得 = , sin∠CAB sin∠ABC BCsin∠ABC 54.0×sin137° sin∠CAB= ,= ≈0.3255, AC 113.15 所以∠CAB=19.0° , 75° -∠CAB=56.0° .
答:此船应该沿北偏东 56.0° 的方向航行,需要航行 113.15 n mile.

解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用
余弦定理求角.因为余弦函数在(0,π)上是单调递减的,而正 弦函数在(0,π)上不是一一对应,一个正弦值可以对应两个角.
? ? π 但角在?0, ? 2? ?

上时,用正、余弦定理皆可.

【变式与拓展】 1.当甲船位于 A 处时获悉在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息 告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船 应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1°)? 解:如图 D5,要求乙船的航向, 即求∠ACB 的度数.

易知 C<90°,AB=20,AC=10,
∠CAB=120°. 图 D5

在△CAB 中, 1 ∵CB =10 +20 +2×10×20× =700, 2
2 2 2

∴CB=10 7. CB AB 10 7 20 ∵ = ,∴ = . sin C sin C sin∠ CAB 3 2 21 ∴sinC= .∴∠C≈40° . 7

故乙船应朝北偏东 70°方向直线前往 B 处.

题型2

解三角形与函数的综合

例2:在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台
2 风中心位于城市O(如图1 -2 -12)的东偏南θ(cosθ= ) 方向 10 300 km 的海面 P 处,并以 20 km/h 的

速度向西偏北 45°方向移动,台风侵袭

的范围为圆形区域,当前半径为 60 km,
并以 10 km/h 的速度不断增大,问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭?受到

台风的侵袭的时间有多少小时?
图 1-2-12

自主解答:设经过 t 小时台风中心移动到点 Q 时,台风边 沿恰经过 O 城, 由题意,可得 OP=300,PQ=20t,OQ=r(t)=60+10t. 2 7 2 4 因为 cosθ= 10 ,α=θ-45° ,所以 sinθ= 10 ,cosα= 5. 由余弦定理, 得 OQ2=OP2+PQ2-2· OP· PQ· cosα, 4 2 2 2 即(60+10t) =300 +(20t) -2· 300· 20t· 5, 即 t2-36t+288=0. 解得 t1=12,t2=24,t2-t1=12. 答:12 小时后该城市开始受到台风侵袭,受到台风的侵袭 的时间有 12 小时.

【变式与拓展】 2.如图 1-2-13,甲船在 A 处发现乙船在北偏东 45°与 A 的距离为 10 海里的 C 处,正以 20 海里/小时的速度向南偏东 75°的方向航行,已知甲船的速度是20 3 海里/小时.问:甲船 沿什么方向,用多少时间才能与乙船相遇?

图 1-2-13

解:设 t 小时后相遇,则 BC,AB 的长分别为 20t 海里、 20 3 t 海里.

由图可知:∠ACB=120°.
由余弦定理,得

AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB,
即(20 3t) =10 +(20t)
2 2 2

? 1? -2×10×20t×?- ?. ? 2?

1 1 解得 t=2或-4(舍去). 1 故 AB=20 3× =10 3(海里), 2

1 BC=20×2=10(海里). AB BC 由正弦定理,得 = , sin∠ACB sin∠BAC 3 10× 2 1 即 sin∠BAC= = . 10 3 2

∴∠BAC=30°.∴甲船应沿北偏东 75°方向航行. 答:甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能与乙船相 遇.

3. 在海岸 A 处, 发现北偏东 45° 方向, 距 A 处( 3-1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile 的速度追截走私 船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?

解:设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC =( 3-1)2+22-2· ( 3-1)· 2· cos120° =6.

2 3 2 AC ∴BC= 6.sin∠ABC=BC· sin∠BAC= · =2. 6 2 ∴∠ABC=45° ,∴BC 与正北方向垂直. ∵∠CBD=90° +30° =120° , BD· sin∠CBD 在△ BCD 中,由正弦定理,得 sin ∠ BCD = = CD 10tsin120° 1 =2. 10 3t

∴∠BCD=30° .即缉私船沿东偏北 30° 方向能最快追上走私船.

例3:某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°的方向,由 A 城出 发的一条公路,走向是南偏东 40°,由 C 处测得距 C 为 31 km

的公路上 B 处,有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 km 后到
达 D 处,此时 CD 的间距为 21 km,问:这个人还走多少千米 到达 A 城?

试解:在△ACD 中,已知 CD=21 km,∠CAD=60°, 只需再求出一个量即可.

如图 D4,设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD 中,由余弦定理,得

BD2+CD2-BC2 cosβ= 2BD· CD 202+212-312 1 = =-7, 2×20×21 3 ∴sinβ= 7 . 4

图 D4

而 sinα=sin(β-60° )=sinβcos60° -sin60° cosβ 3 1 3 1 5 3 = 7 ×2+ 2 ×7= 14 . 21 AD ∵在△ACD 中,sin60° =sinα, 21×sinα ∴AD= sin60° =15(km).
∴这个人再走 15 km 就可到达 A 城. 易错点评:本题在解△ACD 时,利用余弦定理求AD,会 得出两个根,产生了增根,应对其进行验证,若应用正弦定理 来求解可避免这种情况.

4

1.测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问 题.在实际生活中,要测量角的大小,求三角形中角度的大小, 求不能直接测得的角,求轮船航行时航速与航向等问题均可结 合正弦定理及余弦定理,通过解三角形求解.在解决与测量问

题有关的题目时,要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含
义,合理的构造三角形求解,即把实际问题数学化.

2.解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况,如下:
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正 弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择 条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问 题的解.



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