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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1


1.二倍角的正弦、余弦、正切 ∵ sin(α+β)=sinαcos β+cosαsin β, ∴ 当α=β 时,sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα sin2α=2sinαcosα (S2 α) ∵ cos(α +β)=cosαcosβ -sinαsinβ ∴ 当α = β时, cos(α+β)=cos2α =cos2α -sin2α cos2α=cos2α-sin2α (C2 α)

tan ? ? tan ? ∵ tan(α + β)= 1 ? tan ? tan ? 2 tan ? ∴ 当α=β时, tan2α = 2 1 ? tan ? 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?

(T2 α )

利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为: cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α. 倍角公式: sin2α=2sinαcosα; cos2α=cos2α-sin2α =2cos2α–1 =1 –2sin2α; 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?

?? ? ? ? k? , ? ? ? ? k? ? ? 2 4 2 ? ? ?

k ?Z

运用这些公式要注意如下几点: (1)公式S2α 、C2α 中,角α 可以是任意角;但公式 ? k ? ? T2α 只有当 ? ? k? ? 且? ? ? (k ? Z ) 时 2 2 4 才成立,否则不成立。
当α=

?

但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱

2

+ kπ (k∈Z)时,虽然tanα的值不存在,

导公式, 即:tan2α=tan2( +kπ)=tan(π+2kπ ) 2 =tan π =0

?

(2)倍角公式不仅可运用于将2α 作为α 的2倍的情

? ? ? 3 ? α 作为 的2倍,将 作为 的2倍,将3α 作为 2 2 4 2 的2倍等等.

况,还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍,将

5 例1.已知sinα = ,α ∈( ? ,π ),求sin2α , 13 2 cos2α ,tan2α 的值. ? 解:∵sinα= 5 ,α∈( 2 , π ), 13 ∴cosα =- 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( 5 ) 2 ? ?12 . 13 13 5 119 2 cos2α =1-2sin2α =1-2× ( ) ? 5 12 120 ∴sin2α =2sinα cosα =2× ? (? ) ? ? 13 13 169 sin 2? 120 169 120 ?? ? ?? . tan2α = cos 2? 169 119 119

13

169

1 ? 例4 若 sin(? ? ) ? , 求 sin( ? 2? ). 6 3 6 ? ? ? 解: ? (2? ? ) ? ( ? 2?) ? , 3 6 2 ? ? ? ? ? sin ( ? 2?) ? cos[ ? ( ? 2?) ] ? cos (2? ? ) 6 2 6 3 2 1? 7 ? 2 ? ? 1 ? 2 sin( ? 2?) ? 1? 2? ? ? ? . 6 ? 3? 9

?

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? . 例5 求证: 2 2 tan ? 1 ? tan ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 证明:原式等价于 =tan2θ ① 1 ? sin 4? ? cos 4?
sin 4? ? (1 ? cos 4? ) 而①式左边= sin 4? ? (1 ? cos 4? )

2 sin 2? cos 2? ? 2 sin 2? ? 2 sin 2? cos 2? ? 2 cos 2 2? 2 sin 2? (cos 2? ? sin 2? ) ? 2 cos 2? (sin 2? ? cos 2? )
2

=tan2θ =右边 ∴ ①式成立. 即:原式成立。

2. 降幂公式 由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得: 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 cos ? ? , sin ? ? . 2 2 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即 用此式可达到“降次”的目的). 例6. 求值:cos215°+sin250°–cos175°· cos95° 1 ? cos 30? 1 ? cos 100? ? 解:原式= – cos5°sin5° 2 2 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? cos 30 ? sin 10 ? sin 10 2 2 2 3 ? 1? . 4

5 ? 例7. 已知sin( ? ? ) ? , 且0 ? ? ? , 4 13 4 求3 sin 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? cos 2 ? 的值。 2 2 解: 3 sin ? ? 4 sin ? cos ? ? cos ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ? 3? ? 2 sin 2? ? 2 2 ? 2 ? cos 2? ? 2 sin 2? ? 119 2 ? sin2? ? cos( ? 2? ) ? 1 ? 2 sin ( ? ? ) ? , 2 4 169 ? ? 120 ? 0 ? ? ? , ? 0 ? 2? ? , ? cos 2? ? , 4 2 169 ? 3 sin 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? cos 2 ? 120 119 20 ? 2? ? 2? ?? . 169 169 169

?

例8 求? :

? 1 ? cos ? (1) sin ? ; 2 2 1 ? cos ? 2? (3) tan ? . 2 1 ? cos ?
2

? 1 ? cos ? (2) cos ? ; 2 2
2

这三式有一个共同特点: 用单角的三角函数表示它们的一半即半角的 三角函数 。 ? 若知道cosα的值和 角的终边所在的象限, 2 将右边开方,就可以求得 sin ? , cos ? 和 tan ? . 2 2 2

半角公式: ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? ? , cos ? ? , 2 2 2 2 ? 1 ? cos ? sin? 1 ? cos ? tan ? ? ? ? . 2 1 ? cos ? 1 ? cos? sin ? 3 ? ? 1 ? ? 3 , cos 2 ? 例9 (1) 若cos? ? , 则sin ? 3 2 3 ? ? 3? ? 若? ? ( , 2?),则sin ? 3 , cos ? 2 2 2

6 3 . 6 3 .

1 ? cos 4 (2) 化简 等于 (A ) 2 (A)cos(2 - ? ) (B) cos2 (C) sin(2 - ? ) (D) sin2



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