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3.2(一)利用空间向量处理平行问题


学习目标

1.掌握空间点、 线、 面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;

会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题.

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案 (1)点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用 → → 向量OP来表示.我们把向量OP称为点 P 的位置向量. (2)直线:①直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. → → ②对于直线 l 上的任一点 P,存在实数 t,使得AP=tAB,此方程称为直线的向量参数方程. (3)平面:①空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条相交直线来确定.对于平面 α 上的任一点 P, → a,b 是平面 α 内两个不共线向量,则存在有序实数对(x,y),使得OP=xa+yb. ②空间中平面 α 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 形式 作用 直线 l 上一点 A 表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量) → → → 在直线 l 上取AB=a, 那么对于直线 l 上任意一点 P, 一定存在实数 t, 使得AP=tAB 定位置 定点 点 A 和向量 a 可以确定直线的位置 可以具体表示出 l 上的任意一点

(2)用向量表示平面的位置 ①通过平面 α 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定: 条件 形式 平面 α 内两条相交直线的方向向量 a,b 和交点 O → 对于平面 α 上任意一点 P,存在有序实数对(x,y)使得OP=xa+yb

②通过平面 α 上的一个定点 A 和法向量来确定: 平面的法向量 确定平面位置 直线 l⊥α,直线 l 的方向向量,叫做平面 α 的法向量 过点 A,以向量 a 为法向量的平面是完全确定的

(3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量 a,叫做直线 l 的一个方向向量

平面的法向量

直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 n,叫做平面 α 的法向量

(4)空间中平行关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 μ,v,则 线线平行 线面平行 面面平行 l∥m?a∥b?a=kb(k∈R) l∥α?a⊥μ?a· μ=0 α∥β?μ∥v?μ=kv(k∈R)

知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设 v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线 l1,l2 的方向向量.若直线 l1∥l2, 则向量 v1,v2 应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与 平面平行? (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线 l1∥l2,则直线 l1,l2 的方向向量共线,即 l1∥l2? v1∥v2?v1=λv2(λ∈R). (2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行. (3)关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明两平面平行. 梳理 利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运 算,研究平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论.

类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例 1 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.AB =AP=1,AD= 3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面 ACE 的一个法向量.

解 因为 PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形, 所以 AB,AD,AP 两两垂直. → 如图,以 A 为坐标原点,AB的方向为 x 轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则 D(0, 3,0),E(0, 3 1 , ),B(1,0,0),C(1, 3,0), 2 2

3 1 → → 于是AE=(0, , ),AC=(1, 3,0). 2 2 设 n=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, x+ 3y=0, → ? ? ? AC=0, ?n· 则? 即? 3 1 → ? ? AE=0, ?n· ? 2 y+2z=0,

?x=- 3y, 所以? ?z=- 3y,
令 y=-1,则 x=z= 3. 所以平面 ACE 的一个法向量为 n=( 3,-1, 3). 引申探究 若本例条件不变,试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量. 解 如图所示,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,1),C(1, 3,0),

→ 所以PC=(1, 3,-1), 即直线 PC 的一个方向向量. 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z). → 因为 D(0, 3,0),所以PD=(0, 3,-1).

→ ? PC=0, ?n· ?x+ 3y-z=0, 由? 即? → ? 3y-z=0, ? PD=0, ?n·

?x=0, 所以? 令 y=1,则 z= 3. ?z= 3y,
所以平面 PCD 的一个法向量为 n=(0,1, 3). 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为 n=(x,y,z). → → (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. → ? AB=0, ?n· (3)列方程组:由? 列出方程组. → ? AC=0 ? n· → ? AB=0, ?n· (4)解方程组:? → ?n· AC=0. ? (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取± 1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 跟踪训练 1 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形.平面 PAB⊥平面 ABCD, △PAB 是边长为 1 的正三角形,ABCD 是菱形.∠ABC=60° ,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点,试 建立恰当的空间直角坐标系,求平面 DEF 的法向量.

解 因为 PA=PB,F 为 AB 的中点,所以 PF⊥AB, 又因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PF?平面 PAB. 所以 PF⊥平面 ABCD,因为 AB=BC,∠ABC=60° , 所以△ABC 是等边三角形,所以 CF⊥AB. 以 F 为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所示).

由题意得 F(0,0,0),P(0,0,

3 3 3 3 3 ),D(-1, ,0),C(0, ,0),E(0, , ). 2 2 2 4 4

3 3 3 → → 所以FE=(0, , ),FD=(-1, ,0). 4 4 2 设平面 DEF 的法向量为 m=(x,y,z). → ? 4 y+ 4 z=0, ? FE=0, ?m· 则? 即? → 3 ? FD=0, ?m· ?-x+ 2 y=0. 3 3 z=-y, ? ? 所以? 令 y=2,则 x= 3,z=-2. 3 x= y, ? 2 ? 所以平面 DEF 的一个法向量为 m=( 3,2,-2). 类型二 利用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F. 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0), C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),

→ → → 所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1). 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量, → → 则 n1⊥DA,n1⊥AE, → ? ?x1=0, DA=2x1=0, ?n1· ? 即? 得? ?z1=-2y1, → ? ? AE=2y1+z1=0, ?n1· 令 z1=2,则 y1=-1, 所以 n1=(0,-1,2). → 因为FC1· n1=-2+2=0, → 所以FC1⊥n1. 又因为 FC1?平面 ADE, 所以 FC1∥平面 ADE. → → — → (2)因为C1B1=(2, 0, 0), 设 n2=(x2, y2, z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.由 n2⊥FC1, n2⊥C1B1,

→ ? ? FC1=2y2+z2=0, ?n2· ?x2=0, 得? 得? ?z2=-2y2. — → ? ? C1B1=2x2=0, ?n2· 令 z2=2,得 y2=-1, 所以 n2=(0,-1,2), 因为 n1=n2, 所以平面 ADE∥平面 B1C1F. 反思与感悟 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和 平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题. 跟踪训练 2 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45° , 1 底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,PA=BC= AD=1,问在棱 PD 上是否存在 2 一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,求出 E 点的位置;若不存在,请说明理由.

解 分别以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,

∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), → → 设 E(0,y,z),则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,-1), → → ∵PE∥PD, ∴y(-1)-2(z-1)=0, → ∵AD=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量, → 又CE=(-1,y-1,z),CE∥平面 PAB, → → ∴CE⊥AD,∴(-1,y-1,z)· (0,2,0)=0. 1 ∴y=1,代入①得 z= , 2 ∴E 是 PD 的中点, ∴存在 E 点,当点 E 为 PD 中点时,CE∥平面 PAB. ①

1.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为( A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 答案 A

)

→ → 解析 因为AB=(2,4,6),所以与AB共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量. 2.已知直线 l1 的方向向量 a=(2,-3,5),直线 l2 的方向向量 b=(-4,x,y),若 l1∥l2,则 x,y 的值分别是( )

A.6 和-10B.-6 和 10C.-6 和-10D.6 和 10 答案 A 2 -3 5 解析 由 l1∥l2,得两向量 a,b 平行,即 = = , y -4 x 所以 x,y 的值分别是 6 和-10. 3.若 μ=(2,-3,1)是平面 α 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是( A.(0,-3,1) C.(-2,-3,1) 答案 D 解析 能作为平面 α 的法向量的向量与 μ=(2,-3,1)共线,(-2,3,-1)=-μ. 1 ? 4.若直线 l∥α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为? ?1,2,2?,则 m 为( A.-4B.-6C.-8D.8 答案 C 1 ? 解析 ∵l∥α,平面 α 的法向量为? ?1,2,2?, ) B.(2,0,1) D.(-2,3,-1) )

?1,1,2?=0, ∴(2,m,1)· ? 2 ?
1 ∴2+ m+2=0,∴m=-8. 2 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ACD1 的一个法向量为________. 答案 (1,1,1)(答案不惟一) 解析 不妨设正方体的棱长为 1,建立空间直角坐标系,则各点坐标为 A(1,0,0),C(0,1, 0),D1(0,0,1),

设平面 ACD1 的一个法向量 a=(x,y,z),

→ → 则 a· AC=0,a· AD1=0. → → 因为AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),
??-1?· x+1· y+0· z=0, ? 所以? ??-1?· x+0· y+1· z=0, ? ?x-y=0, ? 所以? ? ?x-z=0, ? ?x=y, 所以? 不妨取 x=1, ?x=z, ?

则 a=(1,1,1). (注:答案不惟一,只要与所给答案共线都对)

1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明 线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面 α 的法向量为 n1=(a1,b1,c1),平面 β 的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则 α∥β?n1∥n2 ?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R).

40 分钟课时作业
一、选择题 1.已知 l1 的方向向量为 v1=(1, 2, 3), l2 的方向向量为 v2=(λ, 4, 6), 若 l1∥l2, 则 λ 等于( A.1B.2C.3D.4 答案 B 1 2 解析 ∵l1∥l2,∴v1∥v2,则 = ,∴λ=2. λ 4 2.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可以是( 1 1 1 A.2, B.- , C.-3,2D.2,2 2 3 2 答案 A ) )

λ+1 2 λ=2, λ=-3, ? ? ? ? ? ? = , 6 2 λ 解析 由题意知? 解得? 1 或? 1 μ= ? ?μ=2. ? 2 ? ? 2 μ - 1 = 0 , ? 3.直线 l 的方向向量 s=(-1, 1, 1), 平面 α 的一个法向量为 n=(2, x2+x, -x), 若直线 l∥α, 则 x 的值为( )

A.-2B.- 2C. 2D.± 2 答案 D 解析 易知-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0, 解得 x=± 2. 2 1 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别在 A1D, AC 上, 且 A1E= A1D, AF= AC, 则( 3 3 A.EF 至多与 A1D,AC 中的一个垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 答案 B → → → 解析 以 D 点为坐标原点,分别以DA,DC,DD1的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空 间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1, 1 1 2 1 → → 0),E( ,0, ),F( , ,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),∴A1D=(-1,0,-1),AC=(-1, 3 3 3 3 1 → 1 1 → 1,0),EF=( , ,- ),BD1=(-1,-1,1), 3 3 3 1→ → → → → → ∴EF=- BD1,A1D· EF=0,AC· EF=0, 3 从而 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选 B. 5.设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 b,若 a· b=0,则( A.l∥αB.l?αC.l⊥αD.l?α 或 l∥α 答案 D 解析 当 a· b=0 时,l?α 或 l∥α. 6.已知平面 α 内两向量 a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且 c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 为平 面 α 的法向量,则 m,n 的值分别为( A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2 答案 A 解析 c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1) =(m+4,m+2n-4,m-n+1), ) ) )

? ? a=0, ?c· ?m=-1, 由 c 为平面 α 的法向量,得? 得? ?c· ?n=2. b=0, ? ?

二、填空题 7.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ABC 内,则 x 的值 为________. 答案 11 解析 ∵点 P 在平面 ABC 内, ∴存在实数 k1,k2, → → → 使AP=k1AB+k2AC, 即(x-4,-2,0)=k1(-2,2,-2)+k2(-1,6,-8),
? ? ?2k1+6k2=-2, ?k1=-4, ∴? 解得? ?k1+4k2=0, ?k2=1. ? ?

∴x-4=-2k1-k2=8-1=7, 即 x=11. 8.已知 l∥α, 且 l 的方向向量为 m=(2, -8, 1), 平面 α 的法向量为 n=(1, y, 2), 则 y=____. 答案 1 2

解析 ∵l∥α,∴l 的方向向量 m=(2,-8,1)与平面 α 的法向量 n=(1,y,2)垂直, 1 ∴2×1-8×y+2=0,∴y= . 2 9.设平面 α 的法向量为 m=(1,2,-2),平面 β 的法向量为 n=(-2,-4,k),若 α∥β,则 k=________. 答案 4 1 2 -2 解析 由 α∥β 得 = = ,解得 k=4. -2 -4 k 10.已知平面 α 与平面 β 垂直,若平面 α 与平面 β 的法向量分别为 μ=(-1,0,5),v=(t,5, 1),则 t 的值为________. 答案 5 解析 ∵平面 α 与平面 β 垂直, ∴平面 α 的法向量 μ 与平面 β 的法向量 v 垂直, ∴u· v=0,即-1×t+0×5+5×1=0,解得 t=5. 三、解答题 11.已知平面 α 经过点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量. 解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), → → ∴AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3).

设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z), → ? ? AC=0, ?n· ?2x-4y-3z=0, 依题意有? 即? ?x-2y-4z=0, → ? ? n· AB=0, ?
? ?z=0, 解得? 令 y=1,则 x=2, ?x=2y, ?

∴平面 α 的一个法向量是 n=(2,1,0). 19? 5? 5? ? ? 12.已知 A? ?0,2, 8 ?,B?1,-1,8?,C?-2,1,8?是平面 α 内的三点,设平面 α 的法向量 a=(x,y,z),求 x∶y∶z 的值. 7? → ? 7? → 解 AB=? ?1,-3,-4?,AC=?-2,-1,-4?, → ? ?x-3y-4z=0, AB=0, ?a· 由? 得? 7 → ? AC=0, ?a· ?-2x-y-4z=0, 7

?x=3y, 解得? 4 ?z=-3y,
4 ? 2 则 x∶y∶z= y∶y∶? ?-3y?=2∶3∶(-4). 3 13.已知空间四边形 ABCD,P,Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心,求证:PQ∥平面 ACD. 证明 如图,连接 AP 并延长交 BC 于点 E, 连接 ED,易知 Q 在线段 ED 上,

2

∵P,Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心, → → → 1 → 1→ 1 → → 1 → ∴PQ=EQ-EP= ED- EA= (ED-EA)= AD, 3 3 3 3 → → ∴PQ∥AD,即 PQ∥AD, 又 AD?平面 ACD,PQ?平面 ACD, ∴PQ∥平面 ACD.



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