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命题的四种形式学案




高二数学 2-1

班级_____________姓名_______________N0.19

1.3.2 命题的四种形式
一般地, 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用﹁p 和﹁q 分

别表示 p 和 q 的否定. 于是

原命题:如果 P,则 q. 逆命题:如果 q,则 P. 否命题:如果¬P,则¬q. 逆否命题:如果¬q,则¬P.
互 逆

若 P,则 q
互 互 否 否 互 逆 逆 否 互

若 q,则 P
互 否

若¬P,则¬q

若¬q,则¬P

例题 1、写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假 (1) 如果 x
2

? 1 ,则 x ? 1。

逆命题是:_________________________________________________________;_____命题 否命题是:_________________________________________________________;_____命题 逆否命题是:________________________________________________________;_____命题 1



高二数学 2-1

班级_____________姓名_______________N0.19

(2)

如果四边形是菱形,则它的对角线互相垂直。

逆命题是:_________________________________________________________;_____命题 否命题是:_________________________________________________________;_____命题 逆否命题是:________________________________________________________;_____命题

(3) ?x, y ? R ,如果 xy

? 0 ,则 x ? 0 。

逆命题是:_________________________________________________________;_____命题 否命题是:_________________________________________________________;_____命题 逆否命题是:________________________________________________________;_____命题

?

?

?

(4)设 a , b 为向量,如果 a

? b ,则 a ? b ? 0 。

?

? ?

逆命题是:_________________________________________________________;_____命题 否命题是:_________________________________________________________;_____命题 逆否命题是:________________________________________________________;_____命题

注意: (1)要注意推出符号“ ? ”的意义,只有当“如果 p ,则 q ”形式的命题为真时, 才用推出符号“ ? ” ,记作 p ? q 。我们只研究“如果 p ,则 q ”形式的命题的四种形式。 (2)互为逆否的两个命题等价(同真或同假) 。因此,要证明原命题也可以只证明它 的逆否命题。 (3)互逆或互否的两个命题不等价 (4)否命题与命题的否定的区别:只有“如果 p ,则 q ”形式的命题才有否命题,形 式为“如果¬P,则¬q。 ”其他形式的命题只有“命题的否定” ,而没有否命题。其次,命 题的否定与原命题一真一假,而“如果 p ,则 q ”形式的命题否命题与原命题的真假可能 相同也可能相反。

2



高二数学 2-1

班级_____________姓名_______________N0.19

例如:原命题: ?ABC 中,角 否命题: ?ABC 中,角

A, B, C 对边分别为 a, b, c 。若 ?A ? ?B ,则 a ? b 。
A, B, C 对边分别为 a, b, c 。若 ?A ? ?B ,则 a ? b 。

命题的否定: ?ABC 中,角

A, B, C 对边分别为 a, b, c 。若 ?A ? ?B ,则 a ? b 。

巩固练习: 1、(2012 湖南理科)命题“若α = A.若α ≠

? ,则 tanα 4

≠1

B. D.
?

C. 若 tanα ≠1,则α ≠

? 4
?

? ,则 tanα =1”的逆否命题是( 4 ? 若α = ,则 tanα ≠1 4 ? 若 tanα ≠1,则α = 4
? ? ? ? ? ? ?

)

2、(2011 陕西理科) 设 a , b 为向量,命题“若 a = ? b ,则∣ a ∣= ∣ b ∣”的逆命题是
?

?

?





(A)若 a

? ? b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣
? ? ?

?

(B)若 a = ? b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ (D)若∣ a ∣= ∣ b ∣,则 a = ? b
2

?

(C)若∣ a ∣ ? ∣ b ∣,则 a (A)若 a+b+c≠3,则 a
2
2 2 2

? ?b

?

?

?

?

?

3、 (2011 山东文科)已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a

? b2 ? c2 ≥3”,的否命题是(



? b ? c <3 2 2 (B)若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (C)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3 2 2 2 (D)若 a ? b ? c ≥3,则 a+b+c=3
4、 (2011 安徽理科)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( .. (A)所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B)所有能被 2 整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 5、 (2012 辽宁理科)已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是( (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 (B) (C)
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1



)

? x ,x ? R,(f(x ) ? f(x )(x ? x )≤0 ? x ,x ? R,(f(x ) ? f(x )(x ? x )<0 (D) ? x ,x ? R,(f(x ) ? f(x )(x ? x )<0 6、(2011 辽宁文科)已知命题 P: ? n∈N,2 >1000,则 ? p 为( ) (A) ? n∈N,2 ≤1000 (B) ? n∈N,2 >1000 (C) ? n∈N,2 ≤1000 (D) ? n∈N,2 <1000 7、(2010 辽宁理科)已知 a>0,则 x 满足关于 x 的方程 ax= b 的充要条件是( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 (A) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 (B) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 (D) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1 n n n n n 0

3


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