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充分条件和必要条件(第二课时)教案


第二课时

充分条件和必要条件

教学目标: 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义; 2.结合具体命题,学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法; 3.培养学生的辩证思维能力. 教学重点:理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 教学难点: 理解充分条件、必要条件的判断方法. 教学过程: 一.问题情境 1.情境: 同学们, 当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候, 你向老师介绍你的妈妈说: “这是我的妈妈. ”那么,大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说: “你是她的孩 子”呢?不会了!为什么呢?因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩 子.那么,这在数学中是一层什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题— —充分条件与必要条件. 2.问题:前面讨论了“若 p 则 q”形式的命题的真假判断,请同学们判断下列命题的真 假,并说明条件和结论有什么关系? 2 2 (1)若 x=y,则 x =y (2)若 ab = 0,则 a = 0 2 (3)若 x >1,则 x>1 2 (4)若 x=1 或 x=2,则 x -3x+2=0 (5)若两个三角形相似,则这两个三角形对应角相等 二.学生活动 1.一般地,命题“若 p 则 q”为真,记作“p ? q” “若 p 则 q”为假,记作“p ; 2.命题(1)中 x ? y

q” .

x2 ? y2 ; x2 ? y2 x? y; 命题(2)中 ab ? 0 a ? 0;a ? 0 ab ? 0 ; 2 命题(3)中 x ? 1 x 2 ? 1; x ? 1; x ? 1 命题(4)中 x ? 1 或 x ? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ; x 2 ? 3x ? 2 ? 0 x ?1 或 x ? 2;
命题(5)中两个三角形相似 两个三角形对应角相等 这两个三角形对应角相等; 两个三角形相似.

三.建构数学 1.一般地,如果 p ? q,那么称 p 是 q 的充分条件;同时称 q 是 p 的必要条件; 如果 p ? q,且 q ? p,那么称 p 是 q 的充分必要条件,简记为 p 是 q 的充要条件, 记作 p ? q ; 如果 p ? q,且 q p ,那么称 p 是 q 的充分不必要条件; 如果 p q,且 q ? p,那么称 p 是 q 的必要不充分条件;
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如果 p q,且 q p,那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 2.从集合的观点来看“ p ? q ,则 p 是 q 的充分条件” 给定两个条件 p, q ,要判断 p 是 q 的什么条件,也可考虑集合:

A ? ?x x满足条件p?, B ? ?x x满足条件q?

p ? q ,相当于 A ? B ; q ? p ,相当于 A ? B ; p ? q, 相当于 A ? B .
四.数学运用 1.例题分析: 例 1.用充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要填空: (1)如果 p : x ? 2 , q : x ? 2 ,则 p 是 q 的 条件.

(2) a ? b ? c ”是“ (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 0 ”的 “

条件.

例 2.已知 p : x ? 8x ? 20 ? 0 , q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0, (a ? 0) ,若 p 是 q 的充 分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2
2 2

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2.练习: 在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要: (1) a 和 b 都是偶数”是“ a ? b 是偶数”的 “ 条件. (2) a ? b ”是“ 2 a ? 2 b ”的 “ 条件. 条件. 条件.

(3) “直线 l 与平面 ? 内无数条直线垂直”是“ l ? ? ”的 (4) a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x ? ax( x ? R) 为偶函数” 的 “
2

(5) x ? M ? N ”是“ x ? M ? N ”的 “ 条件. 五.回顾反思 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义、掌握判断充分条件、必要条件、充要 条件的方法; 2.从集合的角度来理解充分条件、必要条件与充要条件的意义. 六.课后作业 1. ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 “ 条件.

2. M ? N ”是“ log 2 M ? log 2 N ”的 “

条件.

3.若 a, b 是两个非零向量,则“ a

?

2 b ”是“ a // b ” 的 3

条件.

4.已知 p : (5 x ? 1) ? a (a ? 0) , q : 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条
2 2

2

件,求实数 a 的取值范围.

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